河北省衡水市冀州一中高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2019-2020学年河北省衡水市冀州一中高一(下)期末数

学试卷

1.复数z=(1-2i)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知向量方=(1,吗,方=。,3),若一与方共线，则|益|=()

A.V2B.V3C.2D.4

3.幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用[0,10]

内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取8位小区居民，

他们的幸福指数分别是3,4,5,6,7,8,9,5,则这组数据的第70百分位数是

()

A.6B.7C.7.5D.8

4.函数f(x)=ln(x+l)-1的零点所在的大致区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

5."0<1"是"sin/<sinxw的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.在使一万2+2x4M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做-/+2x的上确

界，若a>0,b>。,且a+b=1,则——1的上确界为()

2ab

A.-3B.-4C.--D.--

42

7.已知函数f(x)=-产一3/一5%+3,若/(Q)+-2)>6,则实数。的取值范

围是()

A.(—8,3)B.(3,+8)C.(1,+8)D.(—8,1)

8.已知圆锥的表面积为3江，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为()

A.—7iB.27rC.-7iD.V3TT

33

9.两条异面直线与同一平面所成的角可能是()

A.均为锐角B.一个0度，一个90度

C.均为0度D.均为90度

10.函数/(%)=鱼sin(m%+九)，下列命题为真命题的是()

A.VmGR,f(x+2TT)=/(x)B.Bm6R,f(x+1)=/(x)

C.Vm6/?,f(x)都不是偶函数D.3m6/?,f(%)是奇函数

11.有一组样本数据%i，…，％n，另一组样本数据、2,…，为，其中%=-2C。=

1,2/-,n),c为非零常数,则()

A.两组样本数据平均数相同

B.两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等

C.两组样本数据方差相同

D.两组样本数据极差相同

12.已知一圆锥底面圆的直径为3,高为苧，在该圆锥内放置一个棱长为。的正四面体，

并且正四面体在圆锥内可以任意转动，则”的值可以为()

A.-B.V2C.1D.-

34

13.将函数/(%)=2sin2x的图象向左平移g个单位后，得到函数g(x)的图象，则g(0)的

6

值为.

14.某工厂有4,B,C三个车间，A车间有600人，8车间有500人.若通过比例分配

的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中8车间10人，则样本中C

车间的人数为.

15.在正三棱柱ABC—481cl中，48=力&=1,点P满足而=zn舐+兀西，其中

m=1,ne[0,1],则三角形力B]P周长最小值是.

16.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1人

击中，则飞机被击落概率为0.2,若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6,若3人

击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为.

17.在直角坐标系X。)，中，已知点4(1,1),8(2,3),C(3,2).

(1)若+而+定=6,求赤的坐标.

(2)若赤=mAB+n^C(m,nGR),且点P在函数y=x+1的图象上，试求m-n.

18.已知函数/'(x)=2sin(2x-g)(xeR).

X

71

2X-302n

71

2sin(2x—§)

(1)请结合所给表格，在所给的坐标系中作出函数/(x)一个周期内的简图;

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

(3)求/(x)的最大值和最小值及相应x的取值.

TTx

6

第2页，共14页

19.已知在四面体ABCQ中，4B=AC,DB=DC,点、E,F,G,M分别为棱AO,BD,

DC,BC上的点，且BM=MC,DF=2FB,DG=2GC,AE=AAD^O<A<1).

(回)当，=g时，求证：AM〃平面EFG；

(团)当；I变化时，求证：平面40ML平面EFG.

20.正三角形ABC的边长为4,D,E,尸分别在线段AB,BC,CA上，且。为A8的

中点，DE1DF.

(1)若NBCE=60。，求三角形OEF的面积；

(2)求三角形DE尸面积的最小值.

21.为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校

进行了一次问卷调查(共12道题)，从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对

的题数，将统计结果分成[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]六组,得到如下频率

分布直方图.

(1)若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分(同一组中的

数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)若从答对题数在[2,6)内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2,4)内

的概率.

22.如图，在四棱锥P-ABC。中，△P4B是正三角形，四边形ABCD是正方形.

(团)求证：PC=PD；

(回)若2PD=店CD,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，复数与复平面内对应点之间的关系，属于

基础题.

根据两个复数代数形式的乘法法则化简复数，再根据复数与复平面内对应点之间的关系,

求得复数对应点的坐标，从而得出结论.

【解答】

解：由于复数z=(l-2i)i=2+i,它在复平面内对应的点的坐标为(2,1),

故选：4

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了向量的模，两向量共线的条件，属于基础题.

由两向量的坐标，根据两向量共线的条件求出产的值，即可确定出|码的值.

【解答】

解：•.,向量方=(l,x),b=(x,3),且五与坂共线，

即_3,

x3

则|五|=V1+%2—2,

故选：C.

3.【答案】B

【解析】解：因为8x70%=5.6,把数据从小到大排列为：3,4,5,5,6,7,8,9,

则第6位数为：7,

故选：B.

利用百分位数定义可解.

本题考查百分位数定义，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

第4页，共14页

本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端

点处的函数值异号.

计算f(l)和/(2)即可.

【解答】

解：易知函数在定义域上单调递增，

•••/(I)=ln(l+l)-2=ln2-2<0,

而/'(2)=ln3-l>lne-l=0,

••・函数f(x)=ln(x+1)的零点所在区间是(1,2),

故选：B.

5.【答案】A

【解析】解：a0<x<1"=>0<x2<x<l=>sinx2<sinx,反之不成立.例如：x=2,

sin4<0<sin2.

故选：A.

由"0<x<l"，可得0<%2<%<1,进而得出sin/<sinx,反之不成立.可以举

例说明.

本题考查了正弦函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：,>'a>0.b>0,且a+b=l,

•"专V=_(a+b)(专+6=%+2+专+的£_©+2^^)=一泉

当且仅当b=2a=|时取等号，

——［的上确界为一：.

2ab2

故选：D.

利用基本不等式和上确界的意义即可得出.

本题考查了基本不等式和上确界的意义，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题给出多项式函数，求解关于a的不等式，着重考查了利用导数研究函数的单调性和

不等式的解法等知识，属于中档题.

由函数的解析式，算出f(-乃+/。)=6对任意的工均成立.因此原不等式等价于/(a-

2)>f(—a),再利用导数证出/(x)是R上的单调减函数，

可得原不等式即a-2<-a,由此即可解出实数a的取值范围.

【解答】

解：,­,/(x)=—X5—3x3—5x+3,

/(-x)=x5+3x3+5x+3,可得/'(-x)+/(x)=6对任意的x均成立.

因此不等式f(a)+f(a-2)>6,即f(a-2)>6-/(a),

等价于/(a-2)>/(-a)

'''f'C.x)=-5芯4_9/—5<o恒成立,

是R上的单调减函数，

所以由f(a—2)>/(—a)得到a-2<—a>即a<1.

故选：D.

8.【答案】A

【解析】解：设圆锥的底面半径为r,圆锥的母线长为/,

由=2nr,得I=2r,

又S=irr2+nr-2r=371T2=3兀,

r2=1,解得r=1,

二圆锥的高为h=V/2—r2=V22—l2=>/3,

二圆锥的体积为U=371r2h—xI2xy/3=^71.

故选：A.

设圆锥的底面半径为r,圆锥的母线长为/,由已知列式求出圆锥的底面半径、母线长与

高，再由圆锥的体积公式计算.

本题考查圆锥的表面积与体积计算，考查运算求解能力，是基础题.

9【答案】ABC

【解析】解：根据题意，作正方体4BCD-&B1GD1，连接AD】与Bi。,

对于选项A,由图可知，异面直线和反(?与平面ABCQ的夹角都为锐角，故A正确；

对于选项3,由图可知，异面直线和BBi与平面A8CD的夹角分别为0°和90。，故8

正确；

对于选项C,由图可知，异面直线4Di和与平面ABC。的夹角都为为0。，故C正确：

对于选项。，由线面垂直的性质，知若两条直线垂直于同一个平面，则两直线平行，故

不可能异面，故£>错误.

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故选：ABC.

根据题意，作出适当的立体图形，结合图形一一判断即可.

本题考查了线面角的计算，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：对于A,若命题f(x+2?r)=V2sin[?n(x+2兀)+n]=V2sin(mx+n)成立,

则m必须为整数，故A是假命题；

对于B,当UI=2TI•时，函数/(x)=d^sin(7nx+n)满足/(x+1)=&sin(2?rx+2兀+

n)=&sin(2/rx+n)=/(x),故8真命题；

对于C,当n=/时，/(x)=V2cosmx,/(—x)=V2cos(—mx)=V2cosmx=/(x),

满足/(x)=/(—x),故C假命题；

对于D,当ri-2?1'时，f(x)-V2sinmx»满足/(—x)-V2sin(—mx)=—&sinm工—

-/(%),故。真命题.

故选：BD.

取特殊值，利用正弦型函数的运算性质进行判断.

本题考查三角函数的性质、正弦函数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：设样本数据与，形，…，事的平均数为3则样本数据力,%，…，为，

其中％=4-2c(i=1,2,…,n)的平均数为x-2c,故4错误，

<%=々一2c(i=1,2,…,n),c为非零常数,

二样本外的全部数据都减少2c,两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等，故8

正确，

设样本数据%1，右，…，功的平均数为。(X),则样本数据y2'%，其中％=x,-

2c(i=1,2,-,n)的方差为。(Y)=12D(X)=O(X),故C正确,

一组样本数据X1，乂2,…，Xn，另一组样本数据、1，丫2,…，%，其中%=x£—2c(i=1,2,…，

n),c为非零常数，

则样本数据Xl，%2,…，X"中最小值与最大值变化的量相同，

故两组样本数据极差相同.

故选：BCD.

根据已知条件，结合极差，方差，平均数的定义，即可求解.

本题主要考查统计的知识，考查极差，方差，平均数的定义，属于基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：根据题意可知，当a最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.

设圆锥内切球的圆心为尸，半径为厂，圆锥的底面圆心为O,半径为上顶点为S,作出

轴截面，连接OS,PB,如图所示.

.4-------Q-------B

因为。4=。8=|,0S=当,所以SA=SB=VOS2+OA2=3,

所以aSAB为等边三角形，且P为ASAB的中心，

则r=0P=0B-tanzPBO=R-tan30°=y.

结合正方体的外接球问题，易知棱长为a的正四面体的外接球半径为当如

4

故9amax=r，解得amax=V2«1.414>3B1.047.

故选：ACD.

根据题意可知，当a最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球，结合内切、外接球问题,

即可求解.

本题考查棱锥的几何特征，考查学生的运算能力，属于中档题.

13.【答案】V3

【解析】

【分析】

本题主要考查函数y=Asin(3x+@)的图象变换规律，属于基础题.

根据函数y=Asin(3x+租)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，可得g(0)的值.

【解答】

解：将函数/(x)=2sin2x的图象向左平移£个单位后，得到函数g(x)=2sin(2x+g)的

图象，

则g(0)=2sin；=V3,

故答案为：>/3.

14.【答案】8

【解析】解：设C车间共有x人，样本中C车间的人数为〃;

由分层抽样的性质得:500_10

600+500+X30'

解得％=400.

故n=30x400=8；

500+600+400

故答案为：8.

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利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果.

本题考查实数值的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方

程思想，是基础题.

15.【答案】V2+V5

【解析】解：由题意在正三棱柱4BC-ABC中，4B=44i=1,点尸满足丽=mBC+

nBB；,其中m=1,n6[0,1],

所以P在线段CG上，所以AHBiP周长为+4P+B1P,

如图所示，当点P在与CG的交点处时，周长取得最小值：V1T4+V2=V2+V5.

-------------------------------------?

■

p

♦

.

X

ACB

故答案为：V2+y/5.

结合4=1得到P在线段CG上，利用侧面展开图，求解距离的最小值即可;

本题考查空间几何体的结构特征，表面距离的最值的求法，是中档题.

16.【答案】0.492

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

利用相互独立事件概率乘法公式能求出飞机被击落的概率.

【解答】

解：甲、乙、丙三人向同一飞机射击，击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,

若只有1人击中，则飞机被击落概率为0.2,

若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6,

若3人击中，则飞机一定被击落，

则飞机被击落的概率为：

p=(0.4x0.5x0.2+0.6x0.5x0.2+0.6x0.5X0.8)x0.2+(0.4x0.5x0.2+0.4

x0.5x0.8+0.6x0.5x0.8)x0.6+0.4x0.5x0.8x1=0.492.

故答案为:0.492.

17.【答案】解：(1)设赤的坐标为(x,y),

由万+PB+PC=0,可得(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(0,0),

可得丽的坐标为(2,2)；

(2)点4(1,1),B(2,3),C(3,2),可得

四=(1,2),=(2,1),

设丽的坐标为(曲,yo)，由而=小荏+几万,

可得项)=m4-2n,yQ=2m+n,

点尸在函数y=x+1的图象上，可得yo=%o+l,

即为2m+n=m+2n+l,

可得m—n=l.

【解析】(1)设丽的坐标为(x,y)，运用向量的加法运算，解方程可得x,/

(2)求得向量AB,AC的坐标，可得P的坐标，代入函数的解析式，即可得到巾-n的值.

本题考查向量的坐标运算，注意运用点满足函数解析式，考查化箍整理的运算能力，属

于基础题.

18.【答案】解：(1)/0)=25也(2%一》(%€/?).

列表如下：

n57r27rUTT7TT

X

612-3~~nT

n7137r

2X07127r

-32T

71

2sin(2%--)020-20

描点连线可得函数图象如下:

(2)v/(x)=2sin(2x—^-)(xGR).

二由---F2/CTT<2.x—<—F2/CTT=-----F2kliS2.x<---F2/CTT,

23266

.---^+kn<x<^+kn,即单调递增区间为[-,+k噂+kn](keZ).

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(3)/0)max=2=2#_(=(+2/OT,即％=居+上兀，(fc€Z);

fQ)min=_2o2x_1=_；+2/OT,HPX=~^+kn,(keZ).

【解析】⑴由已知利用五点法作函数y=4sin(3x+w)的图象即可得解.

(2)由一2+2kn<2%—-<-+2kn=»--+2kn<2x<—+2kn,即可得解函数/(%)

23266

单调递增区间.

(3)利用正弦函数的图象和性质即可求解f(x)的最大值和最小值及相应x的取值.

本题主要考查了五点法作函数y=Zsin(3x+e)的图象，正弦函数的图象和性质，考查

了数形结合思想的应用，属于基础题.

19.【答案】证明:(囱)当4=却寸，AE=^AD,

•••四面体ABC。中，AB=AC,DB=DC,

点E,F,G,M分别为棱AD,BD,DC,BC上的点，BM=MC,DF=2FB,DG=2GC,

EF//AB,EGHAC,又EFflEG=E,AB[}AC=A,

二平面4BC〃平面EFG,

"AMu平面ABC,AM〃平面EFG.

(0)AB=AC,DB=DC,点、E,F,G,M分别为棱AO,BD,DC,8c上的点，

BM=MC,DF=2FB,DG=2GC,AE=AAD{0<A<1).

•••AM1BC,DM1BC,BC//GF,

vAMC\DM=M,：.BCJ_平面ADM,

•：GF//BC,：.GF1平面ADM,

■■■GFu平面EFG,

二当4变化时，平面ADMJ■平面EFG.

【解析】(回)当；I=凯寸，AE=^AD,推导出EF〃4B,EG〃AC,从而平面ABC〃平面

EFG,由此能证明4M〃平面EFG.

(国)推导出AMJ.BC,DM1BC,BC//GF,从而BC_L平面AOM,GFADM,由

此能证明当;l变化时，平面平面EFG.

本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基

础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)根据题意，知2D=BD=2,

因为NBDE=60°,所以DE=2,

又因为DE1DF,

所以乙40F=30°,

因此。尸=ADcos30°=V3,

故SADEF=10E•。尸=百；

(2)根据题意，设NBDE=。，0°<0<90°,

在ABDE和AW中，由正弦定理知喘x就fDF_4D

sin600sin(3(r+。)'

化简得DE=,DF=

sin(6O0+0)$皿30。+8)'

故SADEF=-DF=2制6。。+—皿3。。+8)'

因为sin(60°+0)sin(3O°+0)=(?cos。+1sin0)(|cos0+?sin。)=|sin20+弓,

所以SADEF=f=12-6百，

sin28+号1+y

故三角形£>EF面积的最小值为12-6V3.

【解析】(1)根据题意，结合面积公式，即可求解；

(2)根据题意，设4BDE=。，结合正弦定理，以及三角恒等变换，即可求解.

本题考查了三角形面积以及与面积有关的最值问题，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为答对题数的平均数约为：(1x0.025+3x0.025+5x0.0375+

7X0.125+9x0.1875+11X0.1)x2=7.9.

所以这40人的成绩的平均分约为7.9x10=79.

(2)答对题数在［2,4)内的学生有0.025x2X40=2人，记为4,B；

答对题数在［4,6)内的学生有0.0375x2x40=3人，记为c,d,e.

从答对题数在［2,6)内的学生中随机抽取2人的情况有(4B),(4,c),(4d),(A,e),(B,c),

(B,d),(B,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种，恰有1人答对题数在［2,4)内的情况有(4c),

(4d),(4e),(B,c),(B,d),(B,e),共6种，

故所求概率P=盘=：.

105

【解析】本题考查由频数分布表、直方图求平均数和概率，频率分布直方图坐标轴的应

用，属于基础题.

(1)平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和.

(2)写出基本事件的个数和事件发生的个数，进而求出概率.

22.【答案】解：(助证明：取A8的中点M及CZ)的中点N,连结PM,PN,MN.

由APAB是正三角形，四边形ABCD是正方形得4B1PM,AB1MN,

又PM,MNu平面PMN,PMCMN=M,

所以4B_L平面PMN.

因为AB〃CD,所以CD_L平面PMN,

第12页，共14页

又PNu平面PMN,所以CD_LPN,

又CO的中点是N,所以PC=PD.

（团）法一：过3作BH_L平面PCD,垂足为H,连接PH,BH,

乙BPH为直线PB与平面PCD所成角，sin^BPH=—.