高等材料力学课件第六章平面问题

高等材料力学课件第六章平面问题目录§6.1

平面问题的基本方程§6.2

应力函数－逆解法与半逆解法§6.3

梁的平面弯曲§6.4

三角级数解§6.1平面问题的基本方程平面问题平面应变平面应力变形与应力基本方程应力解法基本方程§6.1基本方程2构件几何形状特征:具有很长的纵向轴的柱体，横截面大小和形状沿轴线不变；外力与轴线垂直并且沿轴线不变；柱体的两端受固定约束。

可以假设柱体是无限长的。任意横截面都是结构对称面。变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。

平面应变问题

§6.1基本方程3平面应变问题

§6.1基本方程4平面应变问题

平面应变问题的物理方程

平面应变问题只有应力σ

x，σ

y，σz=(σ

x+σ

y)和τxy不等于零，而且这些应力均为x，y的函数，与坐标z无关。§6.1基本方程5位移分量u=u(x,y),v=v(x,y),w=0。

平面应变问题

应力分量σ

x，σ

y，σz=(σ

x+σ

y)和τxy不等于零，而且这些应力均为x，y的函数，与坐标z无关。应变分量εx，εy，γxy

均为坐标x,y的函数，而其余应变分量εz=γ

xz=γ

yz=0。

§6.1基本方程6平衡微分方程

平面应变问题_基本方程

几何方程平面应变本构关系

§6.1基本方程7变形协调方程

平面应变问题_基本方程

面力边界条件应力解法_应力分量表示变形协调方程将物理方程带入变形协调方程§6.1基本方程8平面应变问题_基本方程

应力解法_应力分量表示变形协调方程体力为常量情况下莱维（Lévy）方程

§6.1基本方程9构件几何形状特征:薄板,厚度为h；外力平行于中面,沿厚度均匀分布；表面不受外力作用。

表面面力边界条件:

平面应力问题

薄板厚度很小,应力分量均匀分布σz=0,τxz=0,τyz=0σx，σy，τxy均为x，y的函数§6.1基本方程10平面应力问题

平面应力问题的物理方程

平面应力问题只有应变ε

x，ε

y，ε

z和γxy不等于零，而且这些应变均为x，y的函数，与坐标z无关。§6.1基本方程11平衡微分方程

平面应力问题_基本方程

几何方程平面应力本构关系

§6.1基本方程12变形协调方程

平面应力问题_基本方程

面力边界条件平衡微分方程，几何方程，变形协调方程以及面力边界条件相同。平面应力与平面应变的不同主要在本构方程，注意到二者之间的差别只是一个常数。因此，不论平面应力还是平面应变问题，若物体截面形状及侧面受力相同，则基本方程和边界条件相同。平面问题基本方程§6.1基本方程13注意到

二者未知应力应变关系表达式只是常数的不同。

平面应变与平面应力问题的差别z向位移wz向正应力sz正应变分量w=0 w≠0§6.1基本方程14§6.1基本方程15常体力下的基本方程

平面问题_应力函数解法

通解+特解

特解：§6.1基本方程16齐次方程的通解

平面问题_应力函数解法

引入任意函数§6.1基本方程17平衡微分方程的解

平面问题_应力函数解法

应力分量还需满足变形协调方程

应力函数使得平面问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。f（x,y)称艾雷（Airy）应力函数，简称应力函数。

平面应力问题的近似性如果物体截面形状及侧面受力相同，平面应力和平面应变问题的基本方程和边界条件也相同。因此具有相同的应力解。但是二者z方向的正应力不同；应变和位移表达式不同。平面应力问题解的近似性。§6.1基本方程18平面应力问题的近似性讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。平面应变问题是完全满足的平面应力问题-----第四，五两式自动满足-----第二，三，六式还要求

§6.1基本方程19这要求σ

x+

σ

y满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。

通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。对于薄板问题，ε

z很小，可以认为ε

z近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解

§6.1基本方程20误差与板厚的平方成正比。薄板问题误差可以忽略不计平面应力问题解的近似性的理解——无奈的选择§6.1基本方程21误差项§6.2应力函数－逆解与半逆解法平面问题应力解的未知函数为3个应力分量求解2个平衡微分方程和1个变形协调方程利用应力函数可以简化为一个未知应力函数对应一个基本方程体力为0体力为常数应力函数使得平面问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。f（x,y)称艾雷（Airy）应力函数，简称应力函数。

§6.2应力函数2基本方程应力函数的物理意义及边界条件表示平面问题的求解有赖于应力函数选取应力函数是求解问题的关键应力函数的边界性质§6.2应力函数3应力函数的物理意义及边界条件表示§6.2应力函数4AB应力函数的物理意义及边界条件表示§6.2应力函数5AB从定点A到动点B作积分

线性项ax+by+c对于应力分量没有影响

应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y轴负向的投影应力函数的物理意义及边界条件表示§6.2应力函数6AB应力函数的全微分

从定点A到动点B作分部积分

应力函数的物理意义及边界条件表示§6.2应力函数7AB线性项ax+by+c对于应力分量没有影响边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩

应力函数的物理意义及边界条件表示应力函数的物理意义§6.2应力函数8应力函数对y的偏导数等于边界由定点到该动点的x方向合力。应力函数对x的偏导数等于边界由定点到该动点的-y方向合力。边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的合力对该点的力矩；上述关系来源于面力边界条件，因此应力函数表达的3个关系式中只有两个是独立的。逆解法基本思想

对于某些矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程－双调和方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而该应力函数所能解决的问题。 利用逆解法了解应力函数性质。§6.2应力函数9一次多项式逆解法-多项式应力函数§6.2应力函数10满足应力分量对应无应力状态在应力函数中增加或减少一个x，y

的线性函数，将不影响应力分量的值。

二次多项式逆解法-多项式应力函数§6.2应力函数11满足应力分量对应均匀应力状态三次多项式逆解法-多项式应力函数§6.2应力函数12满足应力分量对应线性应力状态四次多项式逆解法-多项式应力函数§6.2应力函数13满足应力分量应力状态可以是均匀的,线性分布的,或是二次抛物线分布的.3a+c+3e=0线性函数二次函数三次函数四次函数应力函数0应力状态可以删除均匀应力状态线性应力状态二次应力状态只有4个系数独立逆解法-多项式应力函数§6.2应力函数14§6.3梁的平面弯曲半逆解法力学模型边界条件悬臂梁主要边界

次要边界

位移边界条件

问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件

应力函数悬臂梁f(y)为y的任意函数

§6.3平面弯曲2应力求解悬臂梁§6.3平面弯曲3自动满足

自动满足

所得应力分量与材料力学解完全相同变形与位移悬臂梁§6.3平面弯曲4应力函数描述的变形是协调的变形与位移悬臂梁§6.3平面弯曲5m,n,c,d由边界条件确定位移边界条件约束条件太强烈！很难满足变形与位移悬臂梁§6.3平面弯曲6假定左端截面的形心不能移动----平动约束应用圣维南原理简化位移边界条件转动约束:1:左端面形心处的水平微分线段被固定;2:左端面形心处的垂直微分线段被固定.变形与位移悬臂梁§6.3平面弯曲71:挠曲线方程

左端面变形为三次曲面

变形与位移悬臂梁§6.3平面弯曲72:挠曲线方程

左端面变形为三次曲面

悬臂梁受均匀分布荷载作用可以采用多项式的叠加求解从应力与荷载的关系入手假定悬臂梁f1(y),f2(y)是y的任意函数x的二次方程,有无穷多个根悬臂梁(b),(c)带入(a)悬臂梁应力分量边界条件悬臂梁悬臂梁半逆解法力学模型边界条件简支梁§6.3平面弯曲8应力函数简支梁§6.3平面弯曲9由材料力学分析可知：弯曲正应力主要是由弯矩引起的；弯曲切应力主要由剪力引起的；而挤压应力应由分布载荷引起的。

假设应力函数简支梁§6.3平面弯曲10应力与边界条件简支梁§6.3平面弯曲11由于y轴是结构和载荷的对称轴，所以应力分量也应该对称于y轴，因此σx和σy应该是x的偶函数，而τxy应为x的奇函数

E=F=G=0

应力与边界条件简支梁§6.3平面弯曲12首先考虑上下两边的边界条件

应力与边界条件简支梁§6.3平面弯曲13考虑左右两端面的面力边界条件对称性-----右端面

q=0

圣维南原理

满足应力分析简支梁§6.3平面弯曲14截面惯性矩静矩弯曲内力

三角形水坝力学模型应力函数§6.3平面弯曲15体内任一点的应力分量都将由两部分组成：1:重力引起的，应当与楔形体的单位体积重量ρg

成正比；2:液体压力引起的，与液体的单位体积重量γg成正比。应力分量还和α，x，y等有关。

σij为x，y的纯一次式，应力函数应当是x，y的纯三次式三角形水坝应力函数§6.3平面弯曲16应力分量是满足平衡微分方程和变形协调方程的，考虑面力边界条件可以确定各个待定系数

体力分量Fbx=0，Fby=ρg

三角形水坝面力边界条件§6.3平面弯曲17x=ytana

三角形水坝应力分量§6.3平面弯曲18材料力学没有挤压应力分析.与材料力学偏心压缩应力相同.材料力学弯曲切应力按抛物线分布.莱维解，在工程上作为三角形重力坝的基本解答§6.4平面问题的三角级数解弹性力学的经典问题，可以通过半逆解法选取多项式的应力函数。——这种方法要求弹性体主要边界作用的载荷必须连续，而且也能表示成代数多项式的形式。——边界条件的限制载荷不连续，不能使用半逆解法.采用三角级数表示的应力函数求解

§6.4三角级数2带入双调和方程同除X（x）Y（y）对y求一阶偏导数若上式成立，则其中，λ为任意常数K1，K2为任意常数

§6.4三角级数3求解没有意义

回代变形协调方程K1，K2，A，B，C，D，λ为任意常数，如果取不同的值，就可以得到任意多个特解。另外，基本方程关于这些任意常数是线性的，所以这些解的和也是它的解答。如果在这些解中取足够多的项数，就可以