两角和与差的正弦余弦正切公式习题

两角和与差的正弦余弦正切公式习题

二倍角公式中的sin2α,cos2α能否用tanα来表示？提示:能.1.cos33°cos87°+sin33°cos177°的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.cos33°cos87°+sin33°cos177°=cos33°sin3°-sin33°cos3°=sin(3°-33°)=-sin30°=.2.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan2α=（）(A)(B)(C)(D)【解析】选D.tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］3.如果cos2α-cos2β=a，则sin(α+β)sin(α-β)等于（）（A）（B）（C）-a（D）a【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-a.4.若则2sin2α-cos2α=_____.【解析】由得，2+2tanα=3-3tanα,答案:5.化简：=______.【解析】答案:1.两角和与差的三角函数公式的理解(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“+”号；前面是两角差，则后面中间为“-”号.(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”.(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α可得.特别地，对于余弦:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现.2.弦切互化公式对于弦切互化有时也起到简化解题过程的作用.

三角函数式的化简【例1】化简下列各式：(1)【审题指导】对于含有根式的三角函数，化简一般采用倍角公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公式将常数化掉.【自主解答】(1)原式因为0<θ<π，所以所以所以原式=-cosθ.=-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4.【规律方法】三角函数的给角求值或化简，所给角往往是非特殊角.解决的基本思路是：【变式训练】化简：【解析】原式

三角函数的求值【例2】(2011·东城模拟)已知-2cosα+sinα=0，α∈(π,).(1)求sin(α+);(2)求tan(α+).【审题指导】由已知结合同角三角函数关系式可得sinα,cosα,tanα,从而再利用两角和的公式可得（1）（2）.【自主解答】(1)由-2cosα+sinα=0即sinα=2cosα.又sin2α+cos2α=1得又∵α∈(π,),(2)由（1）可得tanα=2，【规律方法】三角函数的求值是三角变换中常见题型，它分为非条件求值（特殊的化简）和条件求值.条件求值中又有给值求值和给值求角，此类问题的关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.(3)对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有：α=２·=(α+β)-β=β-(β-α)=［(α+β)+(α-β)］，对于给值求角，关键是求该角的某一个三角函数值，再根据范围确定角.【互动探究】若将本例中的α范围修改为α∈(0,),则如何求cos(-2α)和sin(-2α)?【解析】由本例可得:又α∈(0,),故【变式训练】已知0<β<<α<π，且cos(α-)=

求cos(α+β)的值.【解析】∵0<β<<α<π,

三角函数的给值求角【例】已知(1)求sinα的值；(2)求β的值.【审题指导】解决本题的关键是角的变换，利用相应公式求解.【规范解答】(1)(2)又由可知由得(或求得)【规律方法】1.三角函数的给值求角问题，一般思路是：2.求角的某一三角函数值时，应选择在该角所在范围内是单调的函数.这样，由三角函数值才可以惟一确定角.如：若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为选正弦较好.【变式备选】(2011·三亚模拟）△ABC的三内角分别为A、B、C，向量若=1+cos(A+B),求C.【解析】∵=(sinAcosB+sinBcosA)=sin(A+B)=1+cos(A+B),∴sinC=1-cosC,∴sinC+cosC=1,即2sin(C+)=1,∴sin(C+)=又C∈(0,π),

三角函数综合应用【例】设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为(1)求ω的值；（2）若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.【审题指导】本例可将原函数平方展开,利用同角三角函数基本关系式及倍角公式和两角和与差的逆用化为一个角的一个三角函数，再利用周期可求ω，利用图象变换可求g(x)的单调增区间.【规范解答】(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωx·cosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2=sin(2ωx+)+2,依题意得故(2)依题意得由解得故g(x)的单调增区间为【规律方法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式，先把函数解析式化为y=Asin(ωx+)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.【变式备选】已知f(x)=sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π.求函数f(x)在区间［］上的值域.【解析】=-cos2ωx，其周期为π.∴ω=1.∴f(x)=-cos2x+.当x∈［0,］时，2x∈［0,］.∴cos2x∈［-1,1］.∴f(x)∈［0,1］.

两角和与差及倍角公式解答题的答题技巧【典例】（12分）（2010·北京高考）已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.(1)求的值；(2)求f(x)的最大值和最小值.【审题指导】利用倍角公式展开和同角三角函数关系转化求解，也可利用倍角公式逆用转化求解.【规范解答】方法一:

…………4分(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,x∈R.∵cosx∈［-1,1］,∴cos2x∈［0,1］，………………10分∴当cosx=±1时,f(x)max=2.当cosx=0时，f(x)min=-1.……………12分方法二:(1)由f(x)=2cos2x+sin2x得

…………4分(2)∵x∈R,∴cos2x∈［-1,1］.

…………9分

…………12分【失分警示】本题考查二倍角公式的正用、逆用及其性质，属容易题，掌握好公式是关键，其失分原因主要有：一是特殊角的三角函数值记不清，二是运算错误造成失分.解决此类问题的失分点主要是：1.不能对所给函数式准确化简造成失分.2.求最值或取值范围问题忽略相应变量的取值范围造成失分.【变式训练】已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxsin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；（2）求函数f(x)在区间［0，］上的取值范围.【解析】1.(2011·福州模拟)将函数的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.由向左平移m个单位后得g(x)=2sin(x-+m),若g(x)是偶函数,则m-=kπ+(k∈Z),∴m=kπ+(k∈Z),∴mmin=.2.(2010·陕西高考)对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是()(A)f(x)在上是递增的(B)f(x)的图象关于原点对称(C)f(x)的最小正周期为2π(D)f(x)的最大值为2【解析】选B.∵f(x)=2sinxcosx=sin2x,其增区间为

k∈Z且f(x)是奇函数,图象关于原点对称，最小正周期T=π，f(x)max=1,故选B.3.(2011·银川模拟)已知且sinθ-cosθ>1,则sin2θ=（）【解析】选A.∵sinθ=sinθ-cosθ>1,∴cosθ<0,∴θ在第二象限，4.(2011·杭州模拟)函数y=sinx+cosx(x∈R)的值域为______.【解析】由y=2sin(x+)得值域为［-2，2］.答案:［-2,2］5.(2011·南通模拟)满足的锐角x=_______.【解题提示】利用两角和的余弦公式的逆用化为一个角的三角函数后解方程可得.【解析】由题意知即故又因为x为锐角，故答案:一、选择题(每小题4分，共20分)1.(2011·山师大附中模拟)若则的值为()【解析】选D.∵故2.(cos15°-cos75°)(sin75°+sin15°)=()(A)(B)(C)(D)1【解析】选C.原式=(cos15°-sin15°)(cos15°+sin15°)=cos215°-sin215°=cos30°=.3.已知则f(α)取得最大值时α的值是()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.当即时，函数f(α)取得最大值.4.已知函数y=f(x)·sinx的一部分图象如图所示，则函数f(x)可以是()(A)2sinx(B)2cosx(C)-2sinx(D)-2cosx【解析】选D.由图象可知:f(x)·sinx=sin(2x-π)=-sin2x=-2sinx·cosx,∴f(x)可以是-2cosx.5.(2011·杭州模拟)已知且x,y为锐角，则tan(x-y)=()【解题提示】解答本题的关键是利用已知条件求出cos(x-y)的值，然后结合x,y的范围及同角三角函数关系式求出相应的值.【解析】选B.由两边平方得①由两边平方得②①+②得∴∵且∴x<y,∴【方法技巧】两角和与差公式的逆用本题主要是三角函数和、差公式的逆用，关键在于构造公式，方法是通过两式平方相加减，利用平方关系式和两角和、差的正余弦，可以起到消元、化简的作用.二、填空题（每小题4分，共12分）6.△ABC中，则C=______.【解题提示】解答本题的关键是首先利用两角和的正切公式及已知条件求出tan(A+B)的值，进而求出A+B，然后结合三角形内角和定理求出C的值.【解析】∵tanC=-tan(A+B)=1,而C∈(0,π),故答案:7.若则=______.【解析】答案:38.（2011·浙大附中模拟）关于x的方程-a=0在（0，）内有解，则a的取值范围是_______.【解题提示】注意到已知式子的结构，易联想sinxcosx与sinx+cosx有联系，即（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx,因此可通过“换元”，将三角式转化为代数式，从而使问题解决.【解析】由已知得设sinx+cosx=t,则当x∈(0,)时，答案:［,+∞)三、解答题（每小题9分，共18分）9.(2011·福州模拟）已知函数f(x)=sin2x+2sinx·sin(-x)+3sin2(-x)(1)若求f(x)的值;(2)