利用两个重要极限求解的几点看法利用两个重要极限例题

本文格式为Word版，下载可任意编辑——利用两个重要极限求解的几点看法利用两个重要极限例题在高等数学中，两个重要极限是最根本、最主要的内容之一.而正确运用两个重要极限的求解方法是每名学生在学习极限的过程中务必掌管的根本功.本文就此谈谈相关内容.

高等数学；两个重要极限；求解方法

在高等数学中，我们经常会碰见以下问题，即在求极限时往往会遇到两个无穷小量之比、两个无穷大量之比和其他不定式求极限的问题，而求这些形式极限时的一个重要求法就是正确利用两个重要极限，本文就此提出一些看法.

一、正确掌管两个重要极限的标准形式是正确使用两个重要极限的关键

两个重要极限的标准形式是：limx→0sinxx=1，limx→∞1+1xx=e.这里我们务必抓住自变量的变化趋势和函数表达式中自变量x的布局形式.

例1求以下函数的极限：

（1）limx→0sinx3x；（2）limx→∞1+1x3x.

在教学中经常察觉学生往往会展现以下结果：（1）limx→0sinx3x=1，（2）limx→∞1+1x3x=e.这鲜明是错误的，（1）中错误的理由主要在于错误地认为一个无穷小量的正弦函数与任一无穷小量之比的极限均为1，（2）中错误的理由在于错误地认为1与一个无穷小量之和的无穷大次幂的极限均为e.事实上，

（1）limx→0sinx3x=13limx→0sinxx=13，（2）limx→∞1+1x3x=limx→∞1+1xx3=e3.

对于两个重要极限表达式中的“x”在布局形式上理应是表示同一个量，否那么就会发生上述错误.

例2求以下函数的极限：

（1）limx→∞sinxx；（2）limx→∞1+1xn（n为已知常数）.

学生中常见的错误是：（1）limx→∞sinxx=1，（2）limx→∞1+1xn=e.导致这些错误的理由为：（1）中错误主要是没抓住自变量的变化过程，只看函数表达形式；（2）中的错误主要是函数表达式中疏忽了n为已知常数的条件，把n错误地理解为变量x.

事实上，（1）sinx≤1，limx→∞1x=0，根据无穷小量乘有界变量仍为无穷小量，所以limx→∞sinxx=0；（2）limx→∞1+1xn=1，这是由于n是常数，且limx→∞1x=0.

由此可知，在使用两个重要极限时，务必留神函数的标准形式，又务必留神自变量的变化趋势.

二、在利用两个重要极限求极限时，在抓住两个重要极限特征的同时，还要擅长掌管它们的变形

对于limx→0sinxx=1可变形为limg（x）→0sin（g（x））g（x）=1，也可变形为limx→∞xsin1x=1.

对于limx→∞1+1xx=e可变形为limg（x）→∞1+1g（x）g（x）=e，也可变形为limx→0（1+x）1x=e.

例3求以下函数的极限：

（1）limx→01-cosx2x2；（2）limx→∞xln1+1x.

解（1）原式=limx2→02sin2x28x22=14limx2→0sin2x2x22=14.（2）原式=limx→∞ln1+1xx=lnlimx→∞1+1xx=lne=1.

从这里我们可以看到在使用重要极限时，可以通过代数的或三角的变换使所求的极限化成两个重要极限的形式举行求解.

例4求以下函数的极限：

（1）limx→π2cosxπ2-x；（2）limx→0x1-3x.

解（1）原式=limπ2-x→0sinπ2-xπ2-x=1.（2）原式=limx→0（1-3x）1x=limx→0[（1-3x）1-3x]-3=e-3.

三、在利用两个重要极限时，经常使用变量代换，以使简化成两个重要极限的标准形式

例5求以下函数极限：

（1）limx→0sin（sinx）sinx；（2）limx→0（1+tanx）cotx.

解（1）令sinx=t，那么原式=limt→0sintt=1.

（2）令tanx=t，那么原式=limt→0（1+t）1t=e.

总之，在利用两个重要极限求解极限时，我们务必擅长查看和分析所求极限函数形式的特点和自变量的变化趋势，采用适当的方法化成