高考数学一轮复习专题九平面解析几何6圆锥曲线的综合问题综合篇课件新人教A版

考点一曲线与方程1.“曲线的方程”与“方程的曲线”在直角坐标系中,如果某曲线(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的

点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做①

曲线的方程

,这条曲线叫做②方程的曲线

.事实上,曲线可以看作一个点集C,以二元方程的解作为坐标的点也组成

一个点集F.上述定义中,

⇔C=F.考点清单2.求动点的轨迹方程的步骤(1)建系——建立适当的坐标系;(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y);(3)列式——列出动点P的坐标所满足的关系式;(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关

于x、y的方程式,并化简;(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程.考点二定点与定值问题1.定点问题定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程,选取合适的坐标(可通过

取参数的不同特殊值及对应的方程组的根的求解来完成),即可说明此坐

标适合该曲线方程且与参数无关.2.定值问题(1)定值问题的求解:可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值,再推广到

一般结论.(2)定值问题的证明:可运用函数的思想方法来解决.一般步骤如下:(i)选择

适当的变量;(ii)把要证明的是定值的量表示成上述变量的函数;(iii)把是

定值的量化成与变量无关的形式,从而证明是定值.考点三最值与范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最

值以及与之相关的一些问题;二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值,

以及当这些元素存在最值时,求解与之有关的一些问题.对于最值问题,一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加

以解决;解决最值范围问题时,应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方

程的代数特征在解题中的作用.知识拓展1.圆锥曲线中的最值和范围问题的求解方法求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题:一是注意题目中的几何特

征,充分考虑图形的性质;二是运用函数思想,建立目标函数,求解最值.在

利用代数法解决最值和范围问题时常从五个方面考虑:(1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是两个参数

之间建立等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数值域的方法,确定参数的取值范围.2.求有关圆锥曲线的最值问题时应注意以下几点:(1)圆锥曲线上本身存在最值问题,如(i)椭圆上两点间的最大距离为2a(长

轴长);(ii)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长);(iii)椭圆的焦半径的

取值范围为[a-c,a+c],a-c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最短与最

长距离;(iv)抛物线的顶点与抛物线的准线距离最近.(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线中或圆锥曲线中某个参

数(系数)的范围,解决方法是把所求参数转化为关于另一变元的函数求解.考点四存在性问题1.存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可

先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究

结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参

数的讨论.2.反证法与验证法是求解存在性问题的常用方法.考法一有关轨迹方程问题的求法知能拓展例1

(2020山东滨州三模,21)在平面直角坐标系xOy中,①已知点Q(

,0),直线l:x=2

,动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之比为

.②已知点H(-

,0),G是圆E:x2+y2-2

x-21=0上一个动点,线段HG的垂直平分线交GE于P.③点S,T分别在x轴,y轴上运动,且|ST|=3,动点P满足

=

+

.(1)从①,②,③这三个条件中任选一个,求动点P的轨迹C的方程;(注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分)(2)设圆O:x2+y2=2上任意一点A处的切线交轨迹C于M,N两点,试判断以MN

为直径的圆是否过定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.解析(1)若选①,设P(x,y),根据题意得,

=

,整理得

+

=1.所以动点P的轨迹C的方程为

+

=1.若选②,连接PH,由E:x2+y2-2

x-21=0得(x-

)2+y2=24,由题意得|PH|=|PG|,所以|PH|+|PE|=|PG|+|PE|=|EG|=2

>|HE|=2

,所以点P的轨迹C是以H,E为焦点的椭圆,且a=

,c=

,故b=

.所以动点P的轨迹C的方程为

+

=1.若选③,设P(x,y),S(x',0),T(0,y'),故x'2+y'2=9,(*)因为

=

+

,所以

即

将其代入(*)得

+

=1,所以动点P的轨迹C的方程为

+

=1.(2)当过点A且与圆O相切的切线斜率不存在时,切线方程为x=

,x=-

.当切线方程为x=

时,M(

,

),N(

,-

).所以以MN为直径的圆的方程为

+y2=2.①当切线方程为x=-

时,M(-

,

),N(-

,-

),所以以MN为直径的圆的方程为

+y2=2.②联立①②,可解得交点为(0,0).当过点A且与圆O相切的切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+m,则

=

,故m2=2(k2+1).联立切线与椭圆C的方程得

消去y,得(1+2k2)·x2+4kmx+2m2-6=0.

因为Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)=-8(m2-6k2-3)=-8(2k2+2-6k2-3)=8(4k2+1)>0,所以切线与椭圆C恒有两个交点.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-

,x1x2=

,因为

=(x1,y1),

=(x2,y2),所以

·

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)·

+km·

+m2=

=

=0.所以OM⊥ON.所以以MN为直径的圆过原点(0,0).综上所述,以MN为直径的圆过定点(0,0).方法总结

求动点轨迹方程常用的方法①直接法;②定义法;③几何法;④相关点法(代入法);⑤参数法;⑥交轨法.

其中④⑤⑥统称为间接法,体现了一种转化思想,若解题过程中引入了n

个参数,则只需建立(n-1)个方程.在探求轨迹方程的过程中,需要注意的是

轨迹方程的“完备性”和“纯粹性”,因此,在求得轨迹方程之后,要深入

地思考一下:是否还遗漏了一些点;是否还有另一个满足条件的轨迹方程

存在;在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有限制.经典例题以下为教师用书专用例已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2:x2+(y+3)2=4,则动圆圆心M的轨迹方程为

.解析设动圆M的半径为r,圆心为M(x,y),由题意知两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径r1=8,r2=2.则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.故|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.又|C1C2|=6,则动圆圆心M的轨迹是椭圆,设其方程为

+

=1(a>b>0),椭圆焦点为C1(0,3),C2(0,-3),2a=10,则a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16.所以动圆圆心M的轨迹方程是

+

=1.答案

+

=1考法二圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法例2

(2020山东济南6月模拟,21)已知平面上一动点A的坐标为(2t2,-2t).(1)求点A的轨迹E的方程;(2)点B在轨迹E上,且纵坐标为

.(i)证明直线AB过定点,并求出定点坐标;(ii)分别以A,B为圆心作与直线x=-2相切的圆,两圆公共弦的中点为H,在平

面内是否存在定点P,使得|PH|为定值?若存在,求出点P坐标;若不存在,请

说明理由.解析(1)设动点A的坐标为(x,y),因为A的坐标为(2t2,-2t),所以

消去参数t得y2=2x.(2)(i)因为点B在轨迹E上,且纵坐标为

,所以点B的坐标为

,当t=±1时,直线AB的方程为x=2;当t≠±1时,直线AB的斜率为kAB=

=

,所以直线AB的方程为y+2t=

(x-2t2),整理得y=

·(x-2),所以直线AB过定点(2,0).(ii)因为A的坐标为(2t2,-2t),且圆A与直线x=-2相切,所以圆A的方程为

+

=

,同理,圆B的方程为

+

=

,两圆方程相减得2(xB-xA)x+2(yB-yA)y+

-

=4xA-4xB,将A(2t2,-2t),B

代入并整理得y=

(x+1)①,由(i)可知直线AB的方程为y=

(x-2)②,因为H是两条直线的交点,所以两个方程相乘得y2=-(x-2)(x+1),整理得

+y2=

,即点H的轨迹是以

为圆心,

为半径的圆,所以存在点P

,满足|HP|=

.方法总结求解定点、定值问题的常用方法:(1)直接推理、计算,并在计

算的过程中消去变量,从而得到定点或定值;(2)从特殊情况入手,求出定点

或定值,再证明定点或定值与变量无关.经典例题以下为教师用书专用例

(2019云南昆明摸底,11)设点M为抛物线C:y2=4x的准线上一点(不同

于准线与x轴的交点),过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B

两点,设MA,MF,MB的斜率分别为k1,k2,k3,则

的值为

()A.2

B.2

C.4

D.4

解析不妨设点A在x轴的上方,由题意知抛物线C的准线方程为x=-1,焦

点F(1,0).将x=1代入抛物线C的方程,得y=±2,所以A(1,2),B(1,-2).设点M的

坐标为(-1,y0)(y0≠0),则k1=

,k2=-

,k3=

,所以

=2.故选A.答案

A考法三圆锥曲线中的最值(范围)问题的求解方法例3

(2020山东威海三模,21)已知P(

,

)是椭圆C:

+

=1(a>b>0)上一点,以点P及椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形面积为2

.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,M是l1与C两交点所连线段的中

点,N是l2与C两交点所连线段的中点,求△MNF2面积的最大值.解析(1)由点P(

,

)在椭圆上可得

+

=1,整理得2b2+3a2=a2b2①.由

=

×2c×

=2

,解得c=2,所以a2=b2+c2=b2+4,代入①式整理得b4-b2-12=0,解得b2=4(b2=-3舍去),则a2=8.所以椭圆的标准方程为

+

=1.(2)由(1)可得F2(2,0),所以设直线l1:x=my+2,联立直线与椭圆的方程得

消去x,并整理得(m2+2)y2+4my-4=0.所以直线l1与椭圆两交点所连线段的中点M的纵坐标yM=

=-

,同理,直线l2与椭圆两交点所连线段的中点N的纵坐标yN=-

=

,所以

=

|MF2||NF2|=

·

|yM|·|yN|=

=

,将上式分子、分母同除以m(1+m2)可得,

=

,不妨设m>0,令

=t,t≥2,则

=

,令f(t)=2t+

,则f'(t)=

,因为t≥2,所以f'(t)>0,所以f(t)在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,△MNF2的面积取得最大值,为

=

.方法总结圆锥曲线中的最值(范围)问题的求解方法1.几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质

来解决,找到取最值的特殊位置,此类方法,选择题、填空题中常用到.2.代数法根据题目构建关于变量的等式或不等式,从而采用函数思想进行最值或

范围的求解.利用代数法解决求参数范围的问题,考虑先建立目标函数(通

常为二次函数),再求这个函数的最值.求函数最值常见的方法有配方法、

判别式法、基本不等式法、单调性法、导数法、三角换元法等.经典例题以下为教师用书专用例

(2020豫北名校第二次联考,8)已知抛物线y=

x2与双曲线

-x2=1(a>0)有共同的焦点F,O为坐标原点,点P在x轴上方且在双曲线上,则

·

的最小值为

()A.3-2

B.2

-3

C.-

D.

解析抛物线的标准方程为x2=8y,焦点F的坐标为(0,2),则双曲线

-x2=1(a>0)的半焦距c=2,由c2=a2+b2,b2=1得a2=3,故双曲线的方程为

-x2=1.设P(m,n)(n≥

),则m2=

n2-1,则

·

=(m,n)·(m,n-2)=m2+n2-2n=

n2-1+n2-2n=

n2-2n-1=

-

,又因为n≥

,故当n=

时,

·

取得最小值3-2

,故选A.答案

A考法四存在性问题例4

(2020福建三明5月质量检查,20)已知椭圆N:

+

=1(a>b>0)经过点C(0,1),且离心率为

.(1)求椭圆N的标准方程与焦距;(2)若直线l:y=kx-

与椭圆N的交点为A、B两点,线段AB的中点为M,是否存在常数λ,使∠AMC=λ∠ABC恒成立?请说明理由.解析(1)因为椭圆N:

+

=1(a>b>0)经过点C(0,1),且离心率为

,所以b=1,

=

,又因为a2-c2=b2,所以解得c=1,a=

,故所求椭圆的方程为

+y2=1,焦距为2c=2.(2)存在常数λ=2,使∠AMC=2∠ABC恒成立.理由如下:由

得(9+18k2)x2-12kx-16=0,Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=

,x1x2=

.又因为

=(x1,y1-1),

=(x2,y2-1),所以

·

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+

=(1+k2)x1x2-

k(x1+x2)+

=(1+k2)·

-

k·

+

=0.所以

⊥

,因为线段AB的中点为M,所以|MC|=|MB|,所以∠AMC=2∠ABC.即存在常数λ=2,使∠AMC=2∠ABC恒成立.经典例题以下为教师用书专用例