2023版高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间几何体的表面积、体积真题演练集训理新人教A版

PAGEPAGE52022版高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间几何体的外表积、体积真题演练集训理新人教A版1．[2022·新课标全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．假设AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，那么V的最大值是()A．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)答案：B解析：由题意可得，假设V最大，那么球与直三棱柱的局部面相切，假设与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，那么球可与上下底面相切，此时球的半径R＝eq\f(3,2)，该球的体积最大，Vmax＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).2．[2022·安徽卷]一个四面体的三视图如下图，那么该四面体的外表积是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)答案：B解析：根据三视图复原几何体如下图，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，那么有S外表积＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3).应选B.3．[2022·新课标全国卷Ⅱ]如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，那么切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为()A.eq\f(17,27) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27) D.eq\f(1,3)答案：C解析：原毛坯的体积V＝(π×32)×6＝54π，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积V′＝V1＋V2＝(π×22)×4＋(π×32)×2＝34π，故所求比值为1－eq\f(V′,V)＝eq\f(10,27).4．[2022·湖南卷]一块石材表示的几何体的三视图如下图．将该石材切削、打磨，加工成球，那么能得到的最大球的半径等于()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝eq\f(2×\f(1,2)×6×8,6＋8＋10)＝2，应选B.课外拓展阅读空间几何体外表上的最值问题所谓空间几何体外表上的最值问题，是指空间几何体外表上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题．[典例]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝5，那么沿着长方体外表从A到C1的最短路线长为________．[审题视角]将此长方体沿某一条侧棱剪开，得到展开图，求展开图中AC1的平面距离即可，注意对不同情况的讨论．[解析]在长方体的外表上从A到C1有三种不同的展开图．(1)将平面ADD1A1绕着A1D1折起，得到的平面图形如图①所示．那么AB1＝5＋3＝8，B1C1＝4，连接AC1，在Rt△AB1C1中，AC1＝eq\r(AB\o\al(2,1)＋B1C\o\al(2,1))＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).①(2)将平面ABB1A1绕着A1B1折起，得到的平面图形如图②所示．那么BC1＝5＋4＝9，AB＝3，连接AC1，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\r(AB2＋BC\o\al(2,1))＝eq\r(32＋92)＝3eq\r(10).②③(3)将平面ADD1A1绕着DD1折起，得到的平面图形如图③所示．那么AC＝4＋3＝7，CC1＝5，连接AC1，在Rt△ACC1中，AC1＝eq\r(AC2＋CC\o\al(2,1))＝eq\r(72＋52)＝eq\r(74).显然eq\r(74)<4eq\r(5)<3eq\r(10)，故沿着长方体外表从A到C1的最短路线长为eq\r(74).[答案]eq\r(74)反思提升将空间几何体外表进行展开是化解最值问题的主要方法，对于多面体可以把各个面按照一