4.3.3-余角和补角解析

4.3.3

余角和补角1.在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质．2.了解方位角，能确定具体物体的方位．创设情境，引出新知

如左图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.这个问题可以简单地表示为右图.其中∠EDC=90º，那么各个角与∠1有什么关系？12ACBEDF12

有的角与∠1的和等于90º，例如（）∠ADC有的角与∠1的和等于180º，例如（）∠ADF121.两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.几何语言表示为：如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.2

1∠1=180°-∠2如图∠AOD=90°∠1+∠2=90°0AD2.两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角.12几何语言表示为：如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角.∠1=90°—∠2121.定义中的“互为”是什么意思？2.把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如图，这两角还是互为补角吗？理解定义，巩固运用1ADF11即每一个角都是另一个角的余角（补角）理解定义，巩固运用（1）若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=______.(2)∠1=90º－∠2,则∠1与∠2的关系为___________.180°互为余角1.图中给出的各角，哪些互为补角？10o30o60o80o100o120o150o170o(1)已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？推导性质，理解运用由∠1与∠2和∠3都互为补角，那么

∠2＝180º－∠1，∠3＝180º－∠1，所以∠2＝∠3.

(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么∠2和∠4

相等吗？为什么？由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º，所以∠2＝180º－∠1.由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º,所以∠4=180º－∠3.又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3，所以∠2＝∠4.1234推导性质，理解运用如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？探究:余角和补角的性质.1243如图∠1与∠2互余，∠３与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？探究:余角和补角的性质.1243余角的性质：同角(等角)的余角相等等角的余角相等.归纳等角的补角相等.对于余角是否也有类似性质？（同角）（同角）填空:我来试一试,我能行.∠α∠α的余角∠α的补角5°45°62°23′x°27°37′117°37′90°

-5°175°45°135°(180-x)°85°180°-5°(角x为锐角)(90-x)°

（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，

则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿

.

(2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补，且∠3＝∠6,

则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.同角的余角相等等角的补角相等∠1∠3∠4∠5推导性质，理解运用例如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和

∠BOC，图中哪些角互为余角？推导性质，理解运用推导性质，理解运用所以∠1+∠2＝∠AOC+∠BOC解：因为A，O，B在同一直线上,

所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC∠BOC，＝(∠AOC+∠BOC)＝90°所以，∠1和∠2互为余角，同理，∠4

+∠3，

∠4

+∠2E，

∠1

+∠3也互为余角.有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向.表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到.推导性质，理解运用东西北南O（1）正东，正南，正西，正北（2）西北方向:_________西南方向:__________东南方向:__________东北方向:__________射线OA，ABCDOB，OC，OD,45°射线OE射线OF射线OG射线OHEGFH45°45°45°O北南西东（3）南偏西25°：25°北偏西70°：南偏东60°：ABC射线OA射线OB射线OC70°60°甲地乙地甲地对乙地的方位角1.先找出中心点,然后画出方向指标；甲地乙地甲地对乙地的方位角2.把中心点和目的地用线连接起来；甲地乙地乙地对甲地的方位角3.度量向北的射线和蓝色线之间的角度.北东西北南●A说出B在A的B●40°那么A在B的北偏东40°，南偏西40°.如图所示，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.O●东南西北●A60°●B●D射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.C●40°10°射线OC的方向就是南偏西10°，即货轮C所在的方向.射线OD的方向就是北偏西45°，即海岛D所在的方向.45°强化练习，巩固提高

（1）一个角是70º39′，求它的余角和补角.

（2）∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？

（3）一个角是钝角，它的一半是什么角？它的余角是90º－70º39′=19º21′，它的补角是180º－70º39′=109º21′.由180º－∠α=3∠α，解得∠α=45º.锐角问:如图所示,这座塔的其中两堵墙围一个角AOB,我们如何去测量这个角的大小呢？CBAOACOB122.识图填空：如图所示，O是直线AB上的一点，OC是∠AOB的平分线.(1)∠AOD的补角是_______.(2)∠AOD的余角是_________.AOBDC∠BOD∠COD(1)钝角没有余角,但一定有补角.()(2)一个锐角的余角一定比这个角大.()(3)若两个角互补,则一个为锐角,一个为钝角.()(4)若一个角的余角是45°12′,则这个角的补角是135°12′.()错误正确错误正确3.判断正误：4.（2010·临沂中考）如果，那么的余角的度数是（）.（A）30°（B）60°（C）90°（D）120°【解析】选A.90°-

60°=30°.5.（2010·佛山中考）30°角的补角是（）.A.30°角B.60°角C.90°角D.150°角【解析】选D.180°-30°=

150°.6.一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度?解:设这个角为x°,则这个角的补角是(180－x)°.由题意得180－x=3x,解得:x=45,则这个角的度数为45°.变式训练:已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的度数.设这个角为x°.由题意得180－x=4(90-x)，解得：x=60.互为余角互为补角对应图形数量关系性质课堂小结，自我完善1212∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.拓展延伸，布置作业1.课本第140页7题，8题，第141页11题，12题，