人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第六章第2节　平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示

灵活方医方致偎影

课时作业

倒选题明细表

基础巩

知识点、方法综合运用练应用创新练

固练

平面向量的坐标运算1,7,8

平面向量基本定理及应用2,4,5,910

共线向量的坐标表示及其

3,615

应用

综合问题11,12,13,14,1617

A级基础巩固练

1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量薪的坐标是（D）

r

P-i_2~'_X

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-1)

解析:因为A(2,2),B(1,1),所以/=(-故选D.

2.在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是(B)

A.6i=(0,0),62—(1,2)

B.ei=(-l,2),e2=(5,-2)

C.ei=(3,5),e2=(6,10)

D.e尸(2,—3),©2=(-2,3)

解析:对于A,C,D都有ei〃e2,所以只有B成立.故选B.

3.设向量a=(m,2),b=(l,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为

(A)

A.-2B.1

C.-2或1D.m的值不存在

解析：向量a=(m,2),b=(l,m+1),因为a〃b,所以m(m+l)=2X1,解得

m=-2或m=l.当m=l时,a=(l,2),b=(l,2),a与b的方向相同,舍去；当

m=-2时,a=(-2,2),b=(l,T),a与b的方向相反,符合题意.故选A.

4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(l,0),B(0,1),C为第一象限内一

点，NAOC/，且0C=2,若品=入A+u而，则入+U等于(A)

4

A.2^2B.V2C.2D.4V2

解析:因为0C=2,NAOCW，C为第一象限内一点,所以C(鱼,企)，

5LOC=XOA+ViOB,

所以(鱼,鱼)=人(1,0)+11(0,1)=(X,口),

所以入=U=V2,所以入+u=2^/2.故选A.

5.(多选题)设0是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,则可

作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(AC)

TT—>—>

A.AD^ABB.DA^BC

C.4与辰D.ob与防

解析：如图，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，对于

—>—>—>—>

A,4。与不共线,可作为基底;对于B,D4与BC为共线向量,不可作

为基底；对于C,C/与DC是两个不共线的向量，可作为基底；对于

D,亦与法在同一直线上,是共线向量,不可作为基底.故选AC.

TTT

6.(多选题)已知向量。/=(1,-3),0B=(2,-1),0C=(m+1,m-2),若点

A,B,C能构成三角形，则实数m可以是(ABD)

1

A.-2B.iC.1D.-1

2

—>—>—>

解析：若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为/8=。8-。4=

—―,—

(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(l,-3)=(m,m+1).假

设A,B,C三点共线，则1X(m+1)-2m=0,即m=l.所以只要mWl,则

A,B,C三点即可构成三角形.故选ABD.

7.已知向量a=(l,3),b=(-2,k),且(a+2b)//(3a-b),则实数k=

解析:法一a+2b=(-3,3+2k),

3a-b=(5,9-k),

由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.

法二若a,b不共线，则a+2b与3a-b不共线，

这与(a+2b)//(3a-b)矛盾，故a,b共线，

所以k-3*(-2)=0,解得k=-6.

答案：-6

8.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的

坐标为.

解析:法一不妨设向量b的坐标为(-3m,4m)(m<0),

则Ib|=l(-3m)2+(4m)2=10,

解得m=-2(m=2舍去),

故b=(6,-8).

法二与a方向相反的单位向量是胃—

\a\555

故b=10(|,—》=(6,—8).

答案：(6,-8)

—,

9.如图，已知在aOCB中,A是CB的中点,D是将0B分成2：1的一个内

—,—>

分点,DC和0A交于点E,设04=a,OB=b.

⑴用a和b表示向量OC,DC;

—>—>

⑵若0E=入0A,求实数人的值.

解：⑴由题意知,A是BC的中点,且。由平行四边形法则,

—>—»—>

得。B+0C=2O4,

—>—>—>

所以。。=2。4-OB=2a-b,

TTT?「

DC二OC—OD=(2a-b)--b=2a--b.

33

—>—>—»—>

⑵由题意知,EC//DC,故设EC=xDC.

因为EC=OC-OE=(2a—b)-入a=(2-入)a-b,DC=2a-jb.

所以(2-入)a-b=x(2a-|b).

因为a与b不共线，由平面向量基本定理，

r3

r2-=2X--

ju4

得

解得

5故

5人=

l1l4-

----A5

v3--

v5

B级综合运用练

10.已知在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=1,AC=2,D是AABC内一点,且

ZDAB=60°,设4D=入AB+P力C（入，P£R）,则,等于（A）

A.—B.—C.3D.2V3

33

解析:如图，以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴

建立平面直角坐标系，则B点的坐标为（1,0）,C点的坐标为（0,2）,

因为NDAB=60°,所以设D点的坐标为(m,gm)(mr0).

AD=(m,V3m)=人力B+pAC-人(1,0)+u(0,2)=(入，2u),贝!J入=m,且

11.如图，在RtAABC中，NABCg,AC=2AB,ZBAC的平分线交4ABC的

—>—>—>

外接圆于点D,设/B=a,4C=b,则向量AD等于（C）

1

A.a+bB.-a+b

2

12

C.a+-bD.a+-b

23

解析:设圆的半径为r,

在RtAABC中，ZABC=pAC=2AB,

所以NBAC《，NACB《，

36

又NBAC的平分线交4ABC的外接圆于点D,

所以NACB=NBAD=NCAD』，

6

则根据圆的性质得BD=CD=AB,

又因为在RtAABC中，AB=1AC=r=OD,

所以四边形ABDO为菱形，

^VXAD=AB+AO=a+^.故选C.

―>—>—>—>

12.已知0为坐标原点，向量04=(1,2),。8=(-2,-1),若2AP=AB,则

—>

10PI=.

解析:因为2心=6，

—>—»—>—>

所以2(0P-04)=08-。4

T—T

所以20P=0A+0B,

所以0PW(04+0B)=(3，-)

所以ibi=和

7442

答案斗

—»—>—>

13.已知点P为4ABC所在平面内一点,满足mPC^-3PA+PB(m>0),

SAPBC=~SAABC,贝!Jm=.

解析:如图，建立平面直角坐标系，

设B(a,0),A(Xo,y0),P(x,y),

由SAPBC=-SAABC,得y二土半

所以PC=(-x,-y),PA=(x0-x,y0-y),

—>

PB=(a-x,-y),

T—»—>

由mPC=-3PA+PB,

ZB(~mx=-3x0+3x+a-x,

(-my=-3y04-3y-y,

又y=士多

所以卢吐士§,解得m=7或

2+m3

因为m>0,所以m=7.

答案：7

14.AQAB是边长为6的正三角形，点C满足QC=mQ/l+nQB,且m>0,

—>

n>0,m+n=2,则|QC|的取值范围是.

解析:如图，建立平面直角坐标系，

所以A(-3,0),B(3,0),Q(0,3V3),

—»—>_

所以Q/=(-3,-373),QB=⑶-3店)，

TTT___

所以QC=mQ/+nQB=(-3m,-3V3m)+(3n,-3V3n)=(3n-3m,-3V3m-

3V3n),

所以|诵2=9(n—m)2+27(m+n)2=36m2+36n2+36mn,

因为m>0,n>0,m+n=2,

所以n=2-m,me(0,2),

所以|n12=36[m2+(2-m)2+m(2-m)]=36(m-l)2+108,

所以由二次函数的性质知|QtT£[108,144),

所以成12).

答案：[6次,12)

15.已知a=(l,0),b=(2,1).

⑴当k为何值时,ka-b与a+2b共线;

(2)若几=2a+3b,JBC=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.

W：(l)ka-b=k(l,0)-(2,l)=(k-2,-l),

a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

因为ka-b与a+2b共线，

所以2(k-2)-(T)X5=0,

即2k-4+5=0,得

(2)法一因为A,B,C三点共线,所以6=入BC,即2a+3b=入(a+mb),

所以匕：篙,解得吟

法二4B=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

BC=a+mb=(l,0)+m(2,l)=(2m+l,m),

因为A,B,C三点共线,所以赤〃品，

所以8m-3(2m+l)=0,即2m-3=0,所以m=|.

—

16.如图，已知平面内有三个向量04,OB,OC,其中。4与。B的夹角为

120。，04与0c的夹角为30。，且|0/|=|。*=1,|OC|=2g.若。C=

-1>—>

/LOA+uOB（入，P£R）,求入+P的值.

.J

0A

解:法一如图，作平行四边形OBCAi,

,一I