右肾实质内见一类圆形低密度灶

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在苏教版《必修2》教材中，有这样一个问题：“已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为12，那么点M的坐标得志什么关系？画出得志条件的点M所形成的曲线”。通过计算M的轨迹方程为：(x+1)�2+y�2=4，轨迹为圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。也就是说，到两个定点的距离之比为常数（常数不为1）的动点的轨迹为阿氏圆，它取决于两个定点和一个比值。在高考题和模拟题中，有不少以它为根据的问题。��

类型1：利用轨迹为阿氏圆求最值�

已知△ABM中，AB=2，且AM=�2MB�，求S��△ABM�的最大值．�

解法一如图建立直角坐标系，那么A(-1,0)，B(1,0)，设M(x,y)，那么有(x+1)�2+y�2=�2(x－1)�2+y�2�，

两边平方整理得x�2+y�2－�6x+�1=0，即(x－6)�2+�y�2=�8．点M(x,y)在圆上，S��△ABC�≤12×2×

�

点拨由于△ABM的边AB为定值，而AM=2MB，所以M的轨迹为一个圆，利用它可以得到△ABM的面积的最值。当然我们可以利用解三角形的相关学识求到该三角形的最大值，但不如解法一来得简朴快捷。�

类型2：已知轨迹为阿氏圆求定点和常数�

在直角坐标系xOy中，A为椭圆�x�29+�y�24=1的左顶点，圆O的方程为x�2+y�2=4．是否存在不同于点A的定点B，对于圆O上任意一点M，都有MBMA为常数，若存在，求全体得志条件的点B的坐标及该常数；若不存

三个特殊的点，通过构建关于a,b,λ的方程解出它们的值，而这表达了方程的思想。�

类型3：已知阿氏圆求轨迹�

已知圆x�2+y�2=9，M为直线l:x=4上的点，若Q（异于点M）得志对圆上任意一点N，总有MNNQ为常数λ�M，求证：当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．�

解析设点M(4,t)，N(x,y)，Q(a,b)，那么MNNQ=(x-4)�2+(y-t)�2(x-a)�2+(y-b)�2=λ�M，整理得到(�x-�4)�2+(y-t)�2=λ�M(x-a)�2+(y-b)�2，利用x�2+y�2=9可以得到25+t�2－8x－2yt=�λ�M(9－�2ax－2by+a�2+b�2)，化简得到25+t�2－8x－2yt=－2aλ�Mx－2bλ�My+9λ�M+λ�Ma�2+λ�Mb�2，由于该式对任意的动点N恒成立，所以4=aλ�M,�t=bλ�M，�9λ�M+λ�Ma�2+λ�Mb�2=25+t�2,消去a,b得到(9λ�M－16)(λ�M－1)=t�2(λ�M－1)，若λ�M=1，那么MN=NQ，与N的轨迹为圆冲突，所以9λ�M－�16=�t�2，再用λ�M=4a,t=4ba代入得到a�2+b�2－�94a�=0，所以点Q在定圆上．�

点拨题设给出了一个圆和一个在定直线变化的动点M，要求确定另一个点Q，使得由它们确定的圆就是题设中给定的圆。根据线段比值恒为常数，我们得到三组关系式，若直接消去λ�M,t，我们会得到一个三次的关系式，与问题中圆的要求相距甚远，所以我们先消去a,b得到λ�M和t务必得志的一个关系式，再反代就得到点Q在一个定圆上。�

类型4:利用阿氏圆求比值�

设A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)在直线l:x－y+4=0，那么MAMB的取值范围是��.�

解析令MAMB=λ(λ>0,λ≠1)，那么(x+2)�2+y�2(x-2)�2+y�2=λ，两边平方得到(x+2)�2+y�2=λ(x-2)�2+y�2，整理得到圆C:x+2λ+21－λ�2+y�2=16λ(1－λ)�2，又圆C与直线l始终相交，所以－2λ+21－λ+42≤16λ(1－λ)�2，化简得到9λ�2－14λ+�1≤�0，解得7－2109≤λ≤7+2109即5－23≤λ≤5+23，所以MAMB的取值范围为5－23,5+23．�

点拨MAMB的大小可以通过构建目标函数来求，但计算过程较为繁琐。从几何角度看，假设MAMB为定值，那么M的轨迹为阿氏圆，而点在直线上运动，说明直线和阿氏圆是相交或相切，通过圆心到直线的距离构建不等式得到比值的范围，几何的方法比函数的方法简朴快捷。��

生活就是战斗。――柯罗连科

牛刀小试�

1.设抛物线C:y�2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且得志AK=2AF，求△AFK的面积．�

2.设A(-1,0)，B(1,0)，动点M(x,y)得志�MA=�2MB，求u=2x+y+2x－y+3的取值范围．�

3.已知椭圆E：x�2a�2+y�2b�2=1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(2,2)，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为455．�

（1）椭圆E的方程及圆O的方程；�

（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有MNNQ为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．�

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1.由题设有K(－2,0)，F(2,0)，设A(x,y)，由于AK=2AF，所以(x+2)�2+y�2=�2(x-2)�2+y�2�，化简得到x�2+y�2－12x+�4=�0，联立方程组x�2+y�2－12x+4=0,�y�2=8x,得到x=2,�