五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题21立体几何解答题(含详解)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题21立体几何解答题

一、解答题

1.（2022高考北京卷•第17题）如图，在三棱柱ABC—AgG中，侧面BCGg为正方形，平面8CG4_L

平面ABBA，AB=BC=2,M,N分别为A4,AC的中点.

⑴求证：〃平面BCG4；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线A8与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：ABLMN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

2.（2022年浙江省高考数学试题•第19题）如图，已知ABCD和COEE都是直角梯形，AB//DC,

DCHEF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角厂一£>C一5的平面角为

60°.设M,N分别为AE,8c的中点.

（1）证明:FN1AD；

（2）求直线8M与平面ADE所成角的正弦值.

3.（2022年全国高考甲卷数学（文）•第19题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包

装盒如图所示：底面是边长为8（单位：cm）的正方形，均为正三角形，

且它们所在的平面都与平面垂直.

⑴证明：斯//平面488；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

4.（2022新高考全国II卷•第20题）如图，P。是三棱锥尸-43C的高，PA=PB，AB1AC,E^PB

的中点.

（1）证明：QE//平面PAC；

⑵若NABO=NCBO=30°,PO=3,9=5,求二面角C—A£—3正弦值.

5.（2022新高考全国I卷•第19题）如图，直三棱柱ABC-A46的体积为4,AABC的面积为2也.

⑴求A到平面ABC的距离;

（2）设。为4c的中点，AA=AB,平面ABC,平面45与4，求二面角A—30—。的正弦值.

6.（2022年高考全国乙卷数学（文）•第18题）如图，四面体ABCO中,

AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

（1）证明：平面平面AC。；

（2）设AB=80=2,NAC8=60。，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥产一ABC的体

积.

7.（2021年新高考全国H卷•第19题）在四棱锥Q-A8co中，底面438是正方形，若

AD=2,QD=QA=y/5,QC=3.

（1）证明：平面。4。，平面ABCD；

平面角的余弦值.

8.（2021年新高考I卷•第20题）如图，在三棱锥A-8C£＞中，平面平面BCD,AB=AD,O

为应）的中点.

⑴证明：OALCD；

（2）若AOCD是边长为1等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,

求三棱锥A-8CD的体积.

9.（2021年高考全国甲卷文科•第19题）已知直三棱柱ABC-A5G中，侧面川乃乃为正方形,

AB=BC=2,E,F分别为AC和CG的中点，BFA.A.B,.

(1)求三棱锥F-EBC的体积;

(2)已知。为棱A片上的点，证明：BFYDE.

10.(2021年全国高考乙卷文科•第18题)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PDJJ氐面ABCD,

M为BC的中点，且依，AM.

(1)证明：平面平面PBD；

(2)若「。=£心=1,求四棱锥P—A3C。的体积.

11.(2021高考北京•第17题)如图：在正方体A5CO-AgGA中，E为4。中点，Bg与平面CDE

交于点尸

5

(1)求证：尸为BQ的中点；

(2)点M是棱4乃|上一点，且二面角"一尸。一后的余弦值为好，求禁的值

3A4

12.(2020年高考课标I卷文科•第19题)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AAB。是

底面的内接正三角形，P为。。上一点，ZAPC=90\

(1)证明：平面%8_L平面以C；

⑵设。。=0,圆锥侧面积为百兀，求三棱锥P-A8C的体积.

13.(2020年高考课标H卷文科•第20题)如图，已知三棱柱A8C-4B1C1底面是正三角形，侧面B81cle

是矩形，M,N分别为8C,比G的中点，P为AM上一点.过&Q和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)证明：AAi//MN,且平面4AMN_L平面EBiGF；

Tt

（2）设。为△4BiG的中心，若AO=A8=6,4。〃平面EBiJF,且/MPA/=—，求四棱锥B-EBGF的体积.

3

14.（2020年高考课标HI卷文科•第19题）如图，长方体A8CO-44G，中，点E，f分别在棱

DR,BB1上,且2DE=EE>],BF=2FB、.

(1)当AB=BC时，EF±AC；

⑵点G在平面4E厂内.

15.（2020年新高考全国I卷（山东）•第20题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD_L底面ABCD.设

平面PAD与平面PBC的交线为/.

（1）证明：/_!_平面PDC；

（2）已知PD=AD=1,Q为/上的点，求P8与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

16.（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第20题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD,底面ABCD.设

平面PAD与平面PBC的交线为I.

（1）证明：/1平面「。（：；

（2）已知PD=AO=1,Q为/上的点，QB=y/2,求PB与平面QCD所成角的正弦值.

17.（2020年浙江省高考数学试卷•第19题）如图，三棱台DEF—ABC中，面4。尸（7_1面48（：,ZACB=

ZACD=45°,DC=2BC.

(I)证明:EF1.DB；

(II)求DF与面DBC所成角的正弦值.

18.(2020天津高考•第17题)如图，在三棱柱ABC-ABC中，CG，平面相C，ACJ_8C,AC=8C=2,

CG=3,点2E分别在棱肥和棱C£上，且AD=1CE=2,M为棱4片的中点.

(I)求证：C,M±B,r＞；

(11)求二面角8-8q-£＞的正弦值；

(III)求直线AB与平面。片E所成角的正弦值.

19.(2020江苏高考•第24题)在三棱锥A—BCD中，已知CB=CO=石，比＞=2,O为班＞的中点，AO1

平面3c0,AO=2,E为AC的中点.

(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;

⑵若点F在比上，满足M=、C'设二面角八OE-C的大小为求sin。的值.

20.(2020江苏高考•第15题)在三棱柱ABC-A4G中，ABVAC,gCJ■平面ABC,E,尸分别是AC,BQ

的中点.

(1)求证:EF||平面MG；

(2)求证：平面A&C，平面ABB一

21.(2020北京高考•第16题)如图，在正方体A8CD-44C,A中，E为8片的中点.

(I)求证：8匕//平面49e；

(H)求直线朋与平面ARE所成角的正弦值.

22.(2019年高考浙江文理•第19题)如图，已知三棱柱ABC-A.B.C,,平面4ACC」平面ABC,N/WC=90。,

ZS4c=30。，

AA=AC=AC,E,尸分别是AC,A4的中点.

(I)证明：EFLBC；

(II)求直线EF与平面A.BC所成角的余弦值.

23.(2019年高考天津文•第17题)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP8为等

边三角形，平面P4C_L平面PS,PAYCD,8=2,AD=3.

⑴设G,H分别为PB,AC的中点，求证：G"〃平面R4。；

（2）求证：孙，平面PCD；

（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

--

C24.（2019年高考上海•第17题）如图，在长方体ABC。—A4GA中，M

为3片上一点，已知8M=2,A£>=4,CD=3,A4,=5.

⑴求直线AC与平面A3CD的夹角；

⑵求点A到平面\MC的距离.

25.（2019年高考全国III文•第18题）图1是由矩形ADEB,Rt/VIBC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其

中A8=LBE=BF=2,ZFBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结DG,如图2.

（1）证明：图2中的A,C,D,G四点共面，且平面ABCJ_平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积.

图126.（2019年高考全国II文•第

17题）如图，长方体ABC0-A4G2的底面A8CD是正方形，点E在棱A4上，8£，员［（1）证

明：BE_L平面

⑵若AE=AE,AB=3,求四棱锥E—65GC的体积.

（2019年高考全国I文•第19题）如图，直四棱柱488-A4GR的底面是菱

ZBAD=6O°,E,M,N分别是BC,BBt,的中点•

⑴证明：MN〃平面CQE；

⑵求点C到平面GDE的距离.

28.（2019年高考江苏•第16题）如图，在直三棱柱ABC-ABC中，D,E分

别为BC,AC的中点，AB=BC.

求证：⑴A石〃平面DEQ；（2）BEA.C,E.

29.（2019年高考北京文•第18题）如图，在四棱锥尸-A3CD中，B4_L平面A8CD,底面ABC。为菱

形，E为CD的中点.

（I）求证：30,平面P4C；

（H）若NABC=60°,求证：平面946,平面Q4E；

（III）棱依上是否存在点F，使得CE//平面R4E?说明理由.

（2018年高考数学江苏卷•第25题）（本小题满分10分）如图，在正

三棱柱ABC-4B1Q中，AB=AAr=2,点P,Q分别为a山，BC的中点.

（1）求异面直线BP与AG所成角的余弦值；

（2）求直线9与平面AQQ所成角的正弦值.

A

（第22题）

31.（2018年高考数学江苏卷•第15题）（本小题满分14分）在平行六面体

ABCD-A4GR中，A4,=AB,ABt±BtCt.

求证：（1）A8〃平面

（2）平面AB4A±平面A8C.

（第15题）

32.（2018年高考数学浙江卷•第19题）（本题满分15分）如图，己

知多面体ABCA笈G，AAB£，GC均垂直于平面ABC,

ZA3C=120°,AA=4,C,C=1,AB=BC=B1B=2.

（1）证明：A&J_平面Age；

（2）求直线Aq与平面ABB,所成角的正弦值.

41

（2018年高考数学上海•第17题）（本题满分14分，第1小题满分

6分，第2小题满分8分）

已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，半径为2,

（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；

（2）设PO=4,OA,是底面半径，且NAQB=90°,M为线段A3的中点，如图，求异面直线PM

与OB所成的角的大小.

34.（2018年高考数学天津（文）•第17题）（本小题满分13分）如图，在四面

体ABQD中，AA8C是等边三角形，平面A8C_L平面ABO,点M为棱AB的中点，

AB=2,AD=26,NBAD=90°.

（1）求证：ADLBC-,

（2）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（3）求直线CO与平面A3。所成角的正弦值.

A

35.（2018年高考数学课标m卷（文）•第19题）（12分）

如图，矩形A3CD所在平面与半圆弧8所在平面垂直，M是8上异于C,。的点.

（1）证明：平面4WO,平面

（2）在线段AM上是否存在点P,使得〃平面尸应）？说明理由.

36.（2018年高考数学课标H卷（文）•第19题）（12分）如图，在三棱

锥尸一ABC中，AB=BC=2血,PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.（1）证明：PO_L平面ABC；

（2）若点M在棱BC上,且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.

B乂37.（2018年高考数学课标卷I（文）•第18题）（12分）如图，在平行四边形ABCM

中，AB^AC=3,ZACM=90°.以AC为折痕将△AO0折起，使点M到达点。的位置，且

ABLDA.

（1）证明：平面ACD_L平面A8C；

2

（2）。为线段A£＞上一点，P为线段上一点，且3P=OQ=1D4,求三棱锥Q—的体积.

7万、、

%8.（2018年高考数学北京（文）•第18题）如图在四棱锥P-ABCD

中，底面ABCD为矩形，平面_L平面ABCD,PA±PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.

⑴求证：PELBCx

（II）求证：平面平面PCD；

（川）求证：EE〃平面PCD.

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题21立体几何解答题

一、解答题

1.(2022高考北京卷•第17题)如图，在三棱柱ABC—AgG中，侧面BCGg为正方形，平面8CG4_L

平面ABBA，AB=BC=2,M,N分别为A4,AC的中点.

⑴求证：〃平面BCG4；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线A8与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：ABLMN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】解析：(1)取AB的中点为K，连接MK,NK,

由三棱柱ABC-44G可得四边形AB44为平行四边形，

而与"=M4,，BK=KA,则MKHBB,,

而MKu平面CBgG，8gu平面CBgG，故MK〃平面C&?IG，

而CN=NA,BK=KA,则NK//BC,同理可得NK〃平面,

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面CBgG,而MNu平面MKN,故MN〃平面CBgC,

(2)因为侧面CBBg为正方形，故CB工,

而CBu平面CBB©,平面CBB©1平面ABB.A,,平面CBBgc平面ABB.A,=8耳，故CB_L平

面，

因为NKHBC,故NKJ_平面

因为ABi平面故NK_LA3,

若选①，则ABLMN,而NK上AB,NKCMN=N,

故46，平面〃入长，而MKu平面MNK,故ABLMK，

所以ABL34,而CBJ.Bq,CBcAB=B,故8用_1.平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,阳=（0,1,2）,

设平面BNM的法向量为n=（x,y,z）,

3M=ox+y=0

则〈从而V取z=—1则3=（-2,2,-1）,

n-BM'^0y+2z=0

设直线AB与平面BNM所成的角为8,则

sin0--cos/n,AZ?\|=4——.

\/I2x33

若选②，因为NKHBC,故NK_L平面ABBA，而KMu平面MMV,

故NKLKM,而B]M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而5|B=MK=2,MB=MN,故ABB[MNAMKN,

所以/8月”=/1〃”=90。，故

而CB上BB],CBcAB=B,故84_L平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,加（0,1,2）,

故丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,丽=（0,1,2）,

设平面BNM的法向量为n=（x,y,z）,

•丽=0x+y=0

,从而V取z=-l,贝加=（一2,2,—1）,

-BM=0y+2z=0

设直线AB与平面BNM所成的角为6,则sin0=|cos（n,4倒=白=|

【题目栏目】立体几何\空间角'直线与平面所成的角

【题目来源】2022高考北京卷•第17题

2.(2022年浙江省高考数学试题•第19题)如图，已知ABCD和CDEE都是直角梯形，AB//DC,

DC//EF,AB=5,DC=3,EF=\,/BAD=NCDE=60。,二面角尸―OC—5的平面角为

60°.设M,N分别为AE,BC的中点.

(1)证明：FNLAD；

(2)求直线8例与平面ADE所成角的正弦值.

【答案】解析：

(1)过点E、。分别做直线。C、AB的垂线EG、并分别交于点交于点G、H.

••・四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，ABIIDC,CD”EF,AB=5,DC=3,EF=\,

44。=NCDE=60。，由平面几何知识易知，

DG=A”=2,NEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90°，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形,

・•.在RQEGD和RQOH4,EG=DH=2®

.DC1CF,DCLCB,且CEcC5=C,

•••OCL平面BCR/BCE是二面角/一。。一8的平面角，则NBCF=60',

・•.是正三角形，由£)Cu平面4BCO,得平面A3C£>_L平面8CF,

••・N是BC的中点，F?VJ_3C,又。CJ_平面BC尸，FNu平面BCF,可得FN上CD,而

BCcC£>=C,••FN，平面ABC。，而ADu平面ABCE>.・./WJ_AO.

（2）因为FN_L平面ABC。，过点N做AB平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、NF所

在直线分别为x轴、）'轴、z轴建立空间直角坐标系N-肛z,

（后3、

设A（5,6,0）,8（0,百,0）,。（3,-6,0）,现1,0,3）,则加3,-,-

I22J

,AD=(-2,-2^,0),£)E=(-2,百,3)设平面ADE的法向量为万=(x,Xz)

n-AD=O,|-2x-2岛=0

<彳异<取方（）

n-DE=0'、1—2x+岛+3z=0=G,-i,G,

设直线BM与平面ADE所成角为夕

叱+干|

'词=何〈万,丽〉卜喘就573_577

，3+1+3,个9+；+》行2百一14

【题目栏目】立体几何、空间角\直线与平面所成的角

【题目来源】2022年浙江省高考数学试题•第19题

3.（2022年全国高考甲卷数学（文）•第19题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包

装盒如图所示：底面是边长为8（单位：cm）的正方形，AEAB^FBCAGCDAHDA均为正三角形,

且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

⑴证明：斯//平面488；

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

【答案】

/、640/T

(1)证明见解析;⑵一V3.

3

【解析】

如图所示:

分别取AB,BC的中点M,N,连接MN,因为AEABQFBC为全等的正三角形，所以

EM=FN,又平面E4B_L平面ABC£>,平面平面ABC0=AB,EMu平面E4B,所以EM_L平

面ABC3,同理可得FNL平面根据线面垂直的性质定理可知EM//FN,而EM=FN,所以

四边形£MNF为平行四边形，所以EF//MN,又平面ABCD,MNu平面MCO,所以EF//平

面ABCD.

（2）如图所示:

分别取A£>,Z）C中点K,L,由⑴知，EF//MNREF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,

HGUKL,HG=KL,GFi/LN,GF=LN,由平面知识可知，BDLMN,MN1MK,

KW=MV=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体M切也-EFG”的体积加上四棱锥B-MVFE体

积的4倍.

因为MN=NL=LK=KM=4及，EM=8sin60=473，点B到平面MNEE的距离即为点B到直线MN

的距离d,d=2五,所以该几何体的体积

V=（4V2）2x473+4x1x4^x4^x2V2=128x/3+^73=^x/3.

【题目栏目】立体几何'线面、面面平行的判定与性质'直线与平面平行的判定与性质

【题目来源】2022年全国高考甲卷数学（文）•第19题

4.（2022新高考全国II卷•第20题）如图，P。是三棱锥尸—A8C的高，PA=PB,ABLAC,E是P3

的中点.

（1）证明：OE//平面PAC；

（2）若ZABO=NCBO=30。,尸0=3,24=5,求二面角C-AE-B正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）装解析：（1）证明：连接8。并延长交AC于点。，连接。4、PD，

因为PO是三棱锥P—ABC的高，所以PO_L平面A8C，AO,5Ou平面A8C,

所以POJ.AO、POLBO,

又PA=PB，所以△尸OAw△尸03,即。4=。8,所以/。18=/0区4,

又AB_LAC,即/BAC=90°,所以NQ4B+NQ4D=90°,NO3A+NOn4=90°,

所以NOD4=NQ4D

所以AO=OO,即AO=OO=QB,所以。为BD的中点，又E为心的中点，所以OE//PD,

又0EZ平面PAC,PE>u平面R4C，

所以0E〃平面PAC

⑵解：过点A作4//0P如图建立平面直角坐标系，

4-B

因为尸0=3，AP=5,所以。4=JAP2一po?=4,

y八

又NOBA=NOBC=30°,所以

A

BD=2OA=8,则4）=4,45=4百，

所以AC=12,所以0（2班,2,0）,B（473,0,0）,P（2瓜23),C(0,12,0),所以《3百,1,|),

贝1」立=卜百,14），AB=（4^,0,0）,衣=（0,12,0）,

,

一/、n-AE=3>/3x+yd--z=0

设平面AE3的法向量为力=（x,y,z）,贝卜2，令z=2,则y=-3,x=0,

n-AB—4Gx=0

所以G=(o,-3,2)；

—、m-AE-3'/ia+b+—c-0厂

设平面AEC的法向量为w?=,则“2，令a=百，则c=—6,/?=0,

m-AC=nb=Q

所以m=(J5,0,-61

nm-12473

所以书〃'叼=丽=而次rr

设二面角C-4石一8为6,由图可知二面角C-AE-B为钝二面角,

所以cos6=-土叵，所以sin（9==U

1313

故二面角C—AE—8的正弦值为口：

13

【题目栏目】立体几何'空间角'二面角

【题目来源】2022新高考全国II卷•第20题

5.（2022新高考全国I卷•第19题）如图，直三棱柱ABC-A4G的体积为4,AA/C的面积为2枝.

（1）求A到平面ABC的距离；（2）设D为AC的中点，A&=A8,

平面4BC_L平面瓦4,求二面角A—8D—C的正弦值.

【答案】（1）V2

⑵立

2

解析：（1）在直三棱柱ABC—AgG中，设点A到平面4BC的距离为力,

1n5114

则匕4BC=—S,80.〃=工〃=匕A8C=—SA8C，AA=_%BC-ABC

A-/Ij/fC3oC3—/4nU3AA/JCI3riov/i|/>|C|

3

解得力=血，所以点A到平面ABC的距离为血；

⑵取48的中点已连接AE,如图，因为A41=A6,所以

又平面ABCJ_平面,平面ABCn平面

且AEU平面ABB|A，所以M_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-A4G中，平面ABC,

由BCu平面ABC,8。匚平面48。可得短，8。，BB}±BC,

又AE,BB]u平面且相交，所以BC_L平面,

所以BC,R4,3B1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=0，所以AA=AB=2,43=20,所以BC=2,

则A(0,2,0),A,(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点。(1,1,1)，则而=(1,1,1),

丽=（0,2,0）辰=（2,0,0）,

m-BD-x+y+z=0

设平面ABD的一个法向量次二（x,y,z卜则《

m•BA=2y=0

可取〃2=(l,0,-1),

m・BD=。+匕+c=0

设平面BDC的一个法向量3=（a,b,c）,则《

m-BC=2a=0

可取”=(0,1,—1),

m-n

则COS（机,北11

|zn|-|n|V2x>/22'

所以二面角A—%)一C的正弦值为=*.

【题目栏目】立体几何'空间角'二面角

【题目来源】2022新高考全国I卷•第19题

6.(2022年高考全国乙卷数学(文)•第18题)如图，四面体A8CO中,

AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面BED，平面ACD：

(2)设48=8。=2,NAC8=60。，点尸在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥产一A3C的体

积.

【答案】(1)证明详见解析⑵手

解析：【小问1详解】

AD=CD

由于AD=CO,E是AC的中点，所以AC_L£>E.由于<BD=BD,所以△ADBMACDB,

NADB=NCDB

所以AB=CB,故AC_LB£>,

由于DEcBD=D,DE,BD\平面BED，

所以AC，平面BED，

由于ACu平面ACZ),所以平面BE。_L平面AC。.

【小问2详解】

依题意A5=3£>=3C=2,NACB=60°,三角形ABC是等边三角形,

所以AC=2,AE=CE=1,BE=百

由于/!O=Cr>,A£>_LC。，所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以。石=1.

DE2+BE2=BD2>所以DE上BE,

由于ACcBE=E,AC,BEu平面A8C，所以OE_L平面ABC.

由于△AOBMAICDB,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于<NEBA=NFBC,所以AFBA/FBC，

AB=CB

所以AF=CF,所以所J_AC,

由于S“Mc=；.AC-M，所以当石户最短时，三角形A产C的面积最小值.

过E作EF_L8D,垂足为R,

在中，-BEDE=-BDEF,解得环=走，

所以OE=

过F作FH上BE,垂足为“，则FH〃DE,所以FH_L平面ABC,且=：====，

所以，"=9'所以VF-ABC=；，SAABC，F"=；X；X2X6X5=¥

/N…」.

//EH

【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积'空间几何体

的体积

【题目来源】2022年高考全国乙卷数学（文）•第18题

7.（2021年新高考全国II卷•第19题）在四棱锥Q-ABCD中，底面A8CD是正方形，若

AD=2,QD=QA=45,QC=3.

Q

(1)证明：平面，平面ABC。；

(2)求二面角B-。。-A平面角的余弦值.

【答案】解析:

(1)取4)的中点为。，连接QQCO.因为QA=Q。，OA=OD,则QO^AD,

而4O=2,QA=A/L故。。=庐7=2.在正方形45C£>中，因为")=2,故£X7=1,故CO=6,

因为QC=3,^QC2=QO2+OC2,故AQOC为直角三角形且QOJ.OC,因为0。04。=0,故Q。，

平面ABCD,因为QOu平面。4£>,故平面QAD1•平面ABQ).

⑵在平面ABQ9内，过。作O77/C。，交8C于T,则OTLA。，结合⑴中的QO,平面ABC。,

故可建如图所示的空间坐标系.

则0(0,1,0),0(0,0,2),B(2,-1,0),故

Be=(-2,l,2),BD=(-2,2,0),

设平面QBD的法向量G=（苍y,z）,

nBQ=0af-2x+y+2z=0取x=l,则y=l,z=；,故〃=［』,；

__即〈

n-BD=O|-2x+2y=0

而平面的法向量为正=（1,0,0）,故8s（风”}=「！'=3.二面角B-QO-A的平面角为锐角，故

1X

2

2

其余弦值为

【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题

【题目来源】2021年新高考全国H卷•第19题

8.（2021年新高考I卷•第20题）如图，在三棱锥A-BCO中，平面至£>，平面BCD,AB=AD,O

为比）的中点.

⑴证明：OAYCD；

（2）若AOCD是边长为1等边三角形，点E在棱4）上，DE=2E4,且二面角E-BC-。的大小为45。,

求三棱锥A-BCD的体积.

【答案】解析：⑴因为AB=AD,。为BD中点，所以AOLBD

因为平面ABDCI平面BCD=BD,平面ABDJ_平面BCD,AOu平面ABD,

因止匕AO平面BCD,因为CDu平面BCD,所以AO_LCD

⑵作EF_LBD于F,作FM_LBC于M,连FM

因为AO_L平面BCD,所以AO_LBD,AO±CD

所以EF_LBD,EF1CD,BE>cCD=。，因此EF_L平面BCD,即EF_1_BC

因为FMJ_BC,EWIEF=F，所以BCJ_平面EFM,即BC_LMF

TT

则NEMF为二面角E-BC-D的平面角，ZEMF=-

因为=AOCD为正三角形，所以AOCD为直角三角形

1I1?

因为BE=2E£>,尸=-(1+—)=-

2233

2

从而EF=FM=—r.40=1

3

QAO_L平面BCD,所以丫=!49・5.8=-xlxlxlx73=—

【题目栏目】立体几何\立体几何的综合问题

【题目来源】2021年新高考I卷•第20题

9.(2021年高考全国甲卷文科•第19题)已知直三棱柱ABC-4AG中，侧面为正方形,

AB=BC=2,E,F分别为AC和CG的中点，BF

(1)求三棱锥产一EBC的体枳;

⑵己知。为棱4片上的点，证明：BF±DE.

【答案】(1)；；(2)证明见解析.

解析：（1）如图所示，连结AF,

由题意可得：BF=NBC2+CF?=071=石,

由于AB_L8B1,BCLAB,BB[C\BC=B,故平面BCC4,

而BEu平面8CC4，故A3,BE，

从而有AF=JAB2+BF2="^=3,

从而AC=JAF2-CF2=V^T=2及，

则AB2+BC2=AC2,：.AB1BC,△ABC为等腰直角三角形,

1

2

（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCM-4片6M],如图所示，取棱

A",3c的中点H,G,连结A〃,”G,Gd，

正方形BCC4中，G,/为中点，则又

8尸J.45，A4ngG=4,

故班'_L平面4⑸G〃，而OEu平面A&G",

从而BFrDE.

【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直,

我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.对于空间中垂直关系（线线、线面、

面面）的证明经常进行等价转化.

【题目栏目】立体几何'立体几何的综合问题

【题目来源】2021年高考全国甲卷文科•第19题

10.（2021年全国高考乙卷文科•第18题）如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，底面ABCD，

M为8C的中点，且PBLAM.

（1）证明：平面mVW_L平面PB。；

（2）若PD=OC=1,求四棱锥P—ABC。的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）巫.

3

解析：（1）因为电＞_1_底面4?。。，AMu平面A8CO,所以~D_LAM,又PBL4W，

PBC\PD=P,所以AA/_L平面而AA/u平面所以平面上J_平面P3Z）.

（2）由（1）可知，40_1_平面所以AA/_L89,从而ADAB〜AABM，设=x,AO=2x,

则则•=空，即2/=1，解得x=所以AO=&.因为底面ABC。，故四棱锥

ABAD2

P—ABQ)的体积为V=gx(lx夜卜1=?.

【点睛】本题第一问解题关键是找到平面Q4A/或平面PM的垂线，结合题目条件PBL4W，所以

垂线可以从中产生，稍加分析即可判断出A〃_L平面PBD，从而证出；第二问关