数学人教A版必修5第三章3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)

第2课时一元二次不等式的应用1．复习巩固一元二次不等式的解法．2．能利用一元二次不等式解决实际应用问题．3．初步掌握一元二次方程根的分布的讨论．1．一元二次不等式的解集Δ＝b2－4(a＞0)Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)无实根ax2＋bx＋c＞0的解集________________________Rax2＋bx＋c≥0的解集{x|x≤x1或x≥x2}RRax2＋bx＋c＜0的解集{x|x1＜x＜x2}__ax2＋bx＋c≤0的解集{x|x1≤x≤x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(b,2a)))【做一做1】不等式－6x2－x＋2≤0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(1,2))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(2,3)))2．用程序框图表示一元二次不等式的求解过程用一个程序框图来描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的算法过程：【做一做2】集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)·(x－5)＜0}，则A∩B＝__________.答案：1.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<x1，或x>x2))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))【做一做1】B【做一做2】{x|2＜x＜3}一元二次方程的根的分布讨论剖析：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，判别式Δ＝b2－4ac.(1)定理1：方程没有实数根Δ＜0.定理2：方程有两个相等的实数根Δ＝0.定理3：方程有两个不相等的实数根Δ＞0.定理4：方程有实数根Δ≥0.(2)设一元二次方程的两个实根为x1，x2，且x1≤x2.定理5：x1＞0，x2＞0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≥0，,x1＋x2＝－\f(b,a)>0，,x1x2＝\f(c,a)>0.))定理6：x1＜0，x2＜0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≥0，,x1＋x2＝－\f(b,a)<0，,x1x2＝\f(c,a)>0.))定理7：x1＜0＜x2eq\f(c,a)＜0.定理8：x1＝0，x2＞0c＝0且eq\f(b,a)＜0；x1＜0，x2＝0c＝0且eq\f(b,a)＞0.题型一求参数的取值范围【例题1】关于x的一元二次方程x2－mx＋m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．分析：根据一元二次方程x2－mx＋m＝0没有实数根列出m满足的条件(一元二次不等式)，解不等式得到实数m的取值范围．反思：已知一元二次方程的根的分布求参数的取值范围的步骤：(1)利用一元二次方程根的分布情况列出参数满足的条件——不等式(组)；(2)解不等式(组)得参数的取值范围．题型二实际应用题【例题2】政府收购某种农产品的原价是100元/担，其中征税标准为每100元征10元(叫做税率为10个百分点，即10%)，计划收购a万担；为了减轻农民的负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%，试确定x的取值范围．分析：税收＝征税总额×税率，先建立税收随税率降低的百分点x变化的函数关系，再用不等式表示不等关系即可．反思：解不等式应用题，一般可按以下步骤进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)给出实际问题的解．题型三易错辨析【例题3】关于x的方程ax2－x－a－1＝0仅有一个实数根，求实数a的值．错解：由于关于x的方程ax2－x－a－1＝0仅有一个实数根，则实数a满足Δ＝1－4a(－a－1)＝0，解得a＝－eq\f(1,2).错因分析：当a＝0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0不是一元二次方程，此时不存在判别式Δ，因此需要对实数a是否等于0进行分类讨论．反思：讨论关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的分布时，要讨论x2的系数a是否为0，否则易漏解(如本题错解)．答案：【例题1】解：由于关于x的一元二次方程x2－mx＋m＝0没有实数根，则实数m满足Δ＝(－m)2－4m＜0，解得0＜m＜4，即实数m的取值范围是(0,4)．【例题2】解：税率降低x个百分点，则收购量可增加为aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2x,100)))万担，征税总额增加为100×aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2x,100)))元，税率变为eq\f(10－x,100).由题意，得100×aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2x,100)))×eq\f(10－x,100)≥100×a×10%×83.2%，即x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2，所以0＜x≤2.即x的取值范围是(0,2]．【例题3】正解：当a＝0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0为－x－1＝0，解得x＝－1，即a＝0满足题意．当a≠0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0是一元二次方程，则实数a满足Δ＝1－4a(－a－1)＝0，解得a＝－eq\f(1,2).综上所得，a＝0或－eq\f(1,2).1(2011·吉林长春高三调研)已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，则A∩B＝()A．[－3，－2)∪(1,2] B．(－3，－2]∪(1，＋∞)C．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]2若关于x的一元二次方程x2－(t＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围是__________．3某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量能减少万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．4若关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＋5＝0的实数根均是正数，则实数m的取值范围是__________．5你能用一根长为100m的绳子围成一个面积大于600m2答案：1．A2.(－∞，－5)∪(1，＋∞