空间解析几何基础知识

关于空间解析几何基础知识第1页，共104页，2023年，2月20日，星期五横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间点的直角坐标第2页，共104页，2023年，2月20日，星期五Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ第3页，共104页，2023年，2月20日，星期五空间两点间距离公式二、空间两点间的距离第4页，共104页，2023年，2月20日，星期五第5页，共104页，2023年，2月20日，星期五向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量的概念或或或第6页，共104页，2023年，2月20日，星期五自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量.第7页，共104页，2023年，2月20日，星期五[1]加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法第8页，共104页，2023年，2月20日，星期五向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]减法第9页，共104页，2023年，2月20日，星期五三、向量与数的乘法第10页，共104页，2023年，2月20日，星期五数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系第11页，共104页，2023年，2月20日，星期五按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.第12页，共104页，2023年，2月20日，星期五第13页，共104页，2023年，2月20日，星期五一、空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.第14页，共104页，2023年，2月20日，星期五空间一点在轴上的投影第15页，共104页，2023年，2月20日，星期五空间一向量在轴上的投影第16页，共104页，2023年，2月20日，星期五关于向量的投影定理（1）证第17页，共104页，2023年，2月20日，星期五定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)

相等向量在同一轴上投影相等；第18页，共104页，2023年，2月20日，星期五关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）第19页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第20页，共104页，2023年，2月20日，星期五向量在轴上的投影向量在轴上的投影向量在轴上的投影第21页，共104页，2023年，2月20日，星期五按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标：向量的坐标表达式：特殊地：第22页，共104页，2023年，2月20日，星期五向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式第23页，共104页，2023年，2月20日，星期五非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.三、向量的模与方向余弦的坐标表示式第24页，共104页，2023年，2月20日，星期五由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式第25页，共104页，2023年，2月20日，星期五当时，向量方向余弦的坐标表示式第26页，共104页，2023年，2月20日，星期五方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为第27页，共104页，2023年，2月20日，星期五第28页，共104页，2023年，2月20日，星期五关于数量积的说明：一、两向量的数量积定义数量积也称为“点积”、“内积”.第29页，共104页，2023年，2月20日，星期五数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：第30页，共104页，2023年，2月20日，星期五两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为数量积的坐标表达式第31页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义关于向量积的说明：//向量积也称为“叉积”、“外积”.二、两向量的向量积第32页，共104页，2023年，2月20日，星期五向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：第33页，共104页，2023年，2月20日，星期五向量积还可用三阶行列式表示//由上式可推出第34页，共104页，2023年，2月20日，星期五补充例如，第35页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义设混合积的坐标表达式三、向量的混合积第36页，共104页，2023年，2月20日，星期五关于混合积的说明：(1)向量的混合积是一个数量.第37页，共104页，2023年，2月20日，星期五第38页，共104页，2023年，2月20日，星期五一、曲面方程的概念曲面方程的定义：第39页，共104页，2023年，2月20日，星期五以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．第40页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．播放第41页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第42页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第43页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第44页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第45页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第46页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第47页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第48页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第49页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第50页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第51页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第52页，共104页，2023年，2月20日，星期五二、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．第53页，共104页，2023年，2月20日，星期五第54页，共104页，2023年，2月20日，星期五解

圆锥面方程或第55页，共104页，2023年，2月20日，星期五例6

将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面第56页，共104页，2023年，2月20日，星期五旋转椭球面旋转抛物面第57页，共104页，2023年，2月20日，星期五播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第58页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第59页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第60页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第61页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第62页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第63页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第64页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第65页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第66页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第67页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第68页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第69页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第70页，共104页，2023年，2月20日，星期五柱面举例抛物柱面平面第71页，共104页，2023年，2月20日，星期五从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面//轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴第72页，共104页，2023年，2月20日，星期五第73页，共104页，2023年，2月20日，星期五空间曲线的一般方程

曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程第74页，共104页，2023年，2月20日，星期五空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程第75页，共104页，2023年，2月20日，星期五消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影第76页，共104页，2023年，2月20日，星期五类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线第77页，共104页，2023年，2月20日，星期五第78页，共104页，2023年，2月20日，星期五

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．一、平面的点法式方程平面的点法式方程法向量已知点第79页，共104页，2023年，2月20日，星期五由平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程第80页，共104页，2023年，2月20日，星期五平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.第81页，共104页，2023年，2月20日，星期五将代入所设方程得平面的截距式方程第82页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.三、两平面的夹角第83页，共104页，2023年，2月20日，星期五按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//第84页，共104页，2023年，2月20日，星期五点到平面距离公式第85页，共104页，2023年，2月20日，星期五第86页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第87页，共104页，2023年，2月20日，星期五方向向量的定义：

如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程与参数方程第88页，共104页，2023年，2月20日，星期五直线的对称式方程令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程直线方向向量直线上一点第89页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义直线直线^两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角第90页，共104页，2023年，2月20日，星期五两直线的位置关系：//第91页，共104页，2023年，2月20日，星期五定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．^^四、直线与平面的夹角第92页，共104页，2023年，2月20日，星期五直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//第93页，共104页，2023年，2月20日，星期五第94页，共104页，2023年，2月20日，星期五二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．