浙江大学2006年数学分析试题

浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题考试科目：数学分析科目代号：427注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！浙江大学2005数学分析计算定积分：解：假设f(x)在[0,1]Rieman可积，，求解：利用可积的定义和Taylor展开作设a,b,c是实数，b>-1,c≠0,试确定a,b,c，使得解：不断利用L’Hospital法则f(x)在[a,b]上连续，对于，求证：证明：利用实数系的几个定理就可以了5．(1)设f(x)在[a,+∞]上连续，且收敛，证明：存在数列，使得满足，(2)设f(x)在[a,+∞]上连续，f(x)≥0,且收敛，问：是否必有，为什么？证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。（2）不是，构造一个锯齿形的函数设f(x)在[0,+∞]具有二阶连续导数，且已知和都是有限数，求证：证明：根据Taylor展开：由题1的结论：7．设f(x)在任何有限区间上Rieman可积，且收敛，证明：证明：分成两段，然后把它化成级数来考虑，做的有点麻烦。8．（1）将arctanx展开为幂级数，并求他的收敛半径（2）利用（1）证明：利用（2）的公式，近似计算的值，需要用多少项求和，误差不会超过？解：（1）（2）将x=1代入（3）利用Taylor展开的余项9．设U(x,y)是R2/{0,0}上C2径向函数，即存在一元函数f，u(x,y)=f(r),r=，若满足如下的方程：，求f满足的方程及函数u(x,y)解：我对复变函数学的不多，只能看出u(x,y)应该是调和函数，应该可以找到一个共轭的调和函数，然后接下来是不是可以继续作我就不是很了解了。10．（1）设f是R1的C1，周期为L的函数（L>0）。且,l利用f的Fourior级数展开证明：，当且仅当存在常数，使得（2）设是R2上具有C1光滑的连通区域。设是的面积，则其中（3）同上，是的边界长度，利用（1）（2）证明：，当且仅当时圆盘等号成立。证明：（1）（2）（3）本题的证明是从陈纪修老师的《数学分析（下册）》P.432的定理16.3.7找到的我觉得这道题目的难点是把l2表达出来，开始，我直接用了极坐标的方法来做，结果在一个不等号出出现了问题。他做了一次参数方程，在变换到弧度制，巧妙的把l2的问题解决了。浙江大学二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：数学分析一．（15分）设函数在区间上有定义。试证明：在上一致连续的充要条件是对区间上任意的两数列与，当时，有。二．（15分）设函数在区间内具有直到三阶的连续导数，且，。试证明：绝对收敛。三．（15分）设函数在区间上可微，且在点的左导数，在点的右导数，。证明：在内至少有两个零点。四.（15分）设函数在区间上Riemann可积，且。试证明：存在闭区间使得当时，。五.（15分）证明：若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一正数，使得中任何两点满足时，必属于某个开区间。六.（15分）用球面坐标变换方程七.（10分）计算：。八.（15分）求在条件下的最大最小值，其中。九．（15分）利用公式计算积分的值。（说明计算过程中每一步的合理性）十．（20分）（1）设为中光滑区域，为其边界，在上有连续二阶导数。证明：其中为沿边界外法线方向的导数，为边界上的面积元，。（2）的坐标为，函数证明：在上成立。（3）设是以为中心为半径的球，为其边界。若在上满足，则。浙江大学2003年研究生数学分析试题1．（15分）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之。2．（15分）设在上一致连续，在上连续，且。证明：在上一致连续。3．（15分）设在上有二阶连续导数，且，当时。证明：在内，方程有且只有一个实根。4．（20分）设连续，，且（常数），求，并讨论在处的连续性。5．（10分）定义为，证明：。6．（10分）给出Riemann积分的定义，并确定实数的范围使下列极限收敛。7．（20分）证明：函数项级数在上一致收敛，但是对任意非绝对收敛；函数项级数对任意都绝对收敛，但在上非一致收敛。8．（45分）计算1）（15分）；2）（15分），其中为平面曲线所围成的有界闭区域。3）（15分），其中浙江大学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：数学分析一、（共30％）（A）（10％）用“语言”证明；（B）（10％）给出一个一元函数，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；（C）（10％）设为二元函数，在附近有定义，试讨论“在处可微”与“在附近关于、的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。二、（共30％）（A）（5％）设，数列由如下递推公式定义：，，，，，，求证：。（B）（5％）求。（C）（5％）求，，，，，，（当时）。（D）（5％）求不定积分。（E）（5％）证明：在上连续可微。三、（共20％）（A）（10％）求第一型曲面积分，其中。（B）（10％）设、、为三个实数，证明：方程的根不超过三个。四、（共20％）设，求证：（A）（10％）对任意自然数，方程在内有且仅有一个正根；（B）（10％）设是的根，则。浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限(2)设二．（共10分）1．设2．在上连续，在内存在，试证明存在，使得三．（共15分）1．求数项级数的和2．试证明在上的连续函数四．（共15分）1．设方程组，确定了可微函数，试求2．设，求五．（共30分）1．计算定积分2．求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积3．设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分六．（共20分）1．将函数展开成级数2．求级数的和3．计算广义积分浙江大学1999年研究生数学分析试题求极限在平面上求一点，使它到三条直线及的距离平方和最小计算二重积分，其中由曲线所围城的区域设在时连续，，并且，，试求函数设函数连续，若有数列使，则对A，B之间的任意数，可找到数列，使得设，证明不等式设函数在，试证明：并利用上述等式证明下式从调和级数中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期2003.01专业考试科目数学分析试题内容：一、（15分）设（20分）设在R2\上定义，=A,且>0使得当0＜｜y-y0｜＜时，Ф(y)存在。求证：二、（20分）设半径为r的球面∑的球心在一固定球面∑ˊ：x2+y2+z2=a2(a>0)上，问当r取何值时，球面∑含在球面∑ˊ内部的部分面积最大？三、（20分）设0(x)[﹣a,a](a>0),n(x)=n-1(t)dt,(n=1,2,…).求证：{n(x)}在[﹣a,a]上一致收敛于0.四、（20分）设(x,y）在R2上二阶连续可微，(x,2x）=x,x(x,2x）=x2,且xx(x,y)=yy(x,y),2.求：y(x,2x）,yy(x,2x)及xy(x,2x).五、（25分）设(0）存在，(0)=0,xn=.求证：存在，且＝/2.六、（25分）设(x)且在(0,1)上可导，且(1)=.求证：存在，使得（）=-()/七、（25分）设，在R上连续，οɡ(x)=ɡο(x);,并且(x)≠ɡ(x),.求证：ο(x)≠ɡοɡ(x)