名校版中考数学二次函数考点最值4种解法

名校版中考数学【二次函数】考点最值4种解法

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题目

如图1,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(—3,0)两点。

图1图2

⑴求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？

若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使4PBC的面积最大？若存在，求出点

P的坐标及△PBC的面积最大值：若没有，请说明理由。

解答：

⑴抛物线解析式为y=-x2—2x4-3；

(2)Q(T，2)；

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法.

解法1

补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或

割，变成有利于表示面积的图形。

方法一

如图3,设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0).

图3

a

•一。四边形APC。^BOC

Q9

一o四边形2PC。2，

若S四边形8PC0有最大值，则S&BM就最大,

•*,S四边形BPCO~SRiABPE+S直角樽形PEQC

11

=--BE-PE+y-OE(PE+0C)

101

=%+3)(-%—2%+3)+-(―

♦,■,

x)(-x2-2%+3+3)

1

当％=-5•时,

最大值=427

ns四边形月匐。

927927

VWBWaaaaiMBBB

；•SABPC最大值

282-8'

此时，一了一2%+3=—,

4

,二点P坐标为（-■六，竽，

方法二如图4,设P点(X,—x2—2x+3)(—3vxv0).

图4

S^PBC=SAOBP+SA0cp一SAOBC

=Jx3(-，-2%+3)+；x3(-z)

—x3x3

3/3\2927

="T(x+T)+T+T

(下略.)

解法2

“铅垂高，水平宽”面积法

如图5,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC

的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计

算三角形面积的另一种方法：SAABC=1/2ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

a

图5

根据上述方法，本题解答如下:

解如图6,作PE^x轴于点E,交BC于点F.

图6

设P点(x,一x2—2x+3)(-3<x<0).

SAPBC=^AFBP+SNCP

='P尸•BE+4-Pr・OE

22

1,1

=yPF(BE+OE)=~PF•OB

=—-—2%+3-(x+3)]

2

_3V^27

""2r+T)8，.

927927

•*•S4BPC最大

282-8.

当％=-"时,

L

-%2-2x+3=竽,

.-.点P坐标为(-3/2,15/4)

解法3

切线法

若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大.过点P作BC的平行线I,当直线I与抛物线有唯

一交点（即点P）时，BC上的高最大，此时APBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。

解如图7,直线BC的解析式是y=x+3,过点P作BC的平行线I,从而可设直线I的解析式为：y

=x+b.

图7

4-fy=x+b,

=-x-2x+3.

2

・,.%+6=-%-2%+3,

即/+34+b—3=0.

由A=3?-4(6-3)=0,

得”.9=_*"(。寻)

此时sc上的高九最大，

h=MC•sinZCMP

=MC•sinZOCB

9立9户

=■-x--=—•

428

SAPBC=gBC•h

ZAz9

19中

=5x3#*丁

=27/8

解法4

三角函数法

本题也可直接利用三角函数法求得.

解如图8,作PE，x轴交于点E,交BC于点F,作PM_LBC于点M.

设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),

则F(x,x+3).

一¥—2%+3)—(兀+3)]x

sinZ.BFE

-x-2%+3)-(%+3)]x

sinLOCB

=--3%)

92