高中数学第十一章立体几何初步1141直线与平面垂直新人教B必修第四册新人教B高一第四册数学教案

11．4空间中的垂直关系11．4.1直线与平面垂直[课程目标]1.认识异面直线所成角的观点，会求一些较特别的异面直线所成的角；掌握直线和平面垂直的定义及有关观点；3.掌握直线和平面垂直的判断定理及判断方法．知识点一直线与直线所成的角[填一填]1．两条订交直线所成角的大小，指的是它们订交所获得的不大于直角的角的大小．两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．2．假如

a，b是空间中的两条异面直线，过空间中随意一点，分别作与

a，b

平行或重合的直线

a′，b′，则

a′与

b′所成角的大小，称为异面直线

a与

b所成角的大小．3．规定空间中两条平行直线所成角的大小为

0°.空间中两条直线

l，m所成角的大小为90°时，称

l与m垂直，记作

l⊥m.[答一答]1．求异面直线所成的角的解题思路是什么？提示：把空间两异面直线经过平移，转变为平面内订交直线所成的角，详细的平移过程应视题而定，主要有以下四种平移门路：①利用三角形的中位线平移；②利用平行线分线段成比率的推论平移；③利用平行四边形平移；④利用补形平移．知识点二直线与平面垂直及其判断定理[填一填]1．直线与平面垂直的定义：文字语言：直线l与平面α内的随意直线都垂直．图形语言：以下列图所示．符号语言：?m?α，l⊥m?l⊥α.2．直线与平面垂直的判断定理文字语言：假如一条直线与一个平面内的两条订交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．图形语言：以下列图所示．符号语言：m?α，n?α，m∩n≠?，l⊥m，l⊥n?l⊥α.[答一答]2．假如直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？提示：不必定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线

l

与平面可能平行，也可能垂直，也可能是订交但不垂直，也可能直线l在平面内．3．假如一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：没法判断这条直线和这个平面能否垂直．由于当这两条直线订交时，由判断定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不必定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交．4．直线与平面垂直的判断定理的作用是什么？提示：直线与平面垂直的判断定理是证明线面垂直的依照，表现了相互转变的数学思想，在应用时，应当注意定理条件的齐备性．知识点三直线与平面垂直的性质[填一填]定理内容：假如两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α?a∥b.图形语言：以下图．作用：证明两直线平行．[答一答]5．两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面吗？提示：垂直．由于两条平行线中的一条垂直于这个平面，所以这条直线垂直于平面内的两条订交直线，所以另一条直线也垂直于这两条订交直线，故另一条也垂直于这个平面．6．分别垂直于两个平行平面的两条直线能否平行？提示：平行．由于一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面的平行平面，所以这两条直线垂直于同一个平面，所以这两条直线平行．知识点四直线与平面垂直的应用[填一填]1．假如A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，AB是平面α的垂线段．假如C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足．2．如图中，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，B为A在平面α内的射影，所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影．则∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．[答一答]7．求线面角的常用方法有哪些？提示：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)．转移法(找过点与面平行的线或面)．等积法(三棱锥变换极点，属间接求法)．种类一异面直线所成的角[例1]在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．1[解]以下图，取AC的中点G，连结EG，FG，则EG∥AB且EG＝2AB，1GF∥CD且GF＝2CD，由AB＝CD知EG＝FG，进而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.求两条异面直线所成的角的一般步骤结构角：依据异面直线的定义，经过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的有关角.计算角：求角度，常利用三角形.确立角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.[变式训练1]在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．解：如图，连结A1C1，B1D1，并设它们订交于点O，取DD1的中点G，连结OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.种类二直线与平面垂直的判断定理[例2]以下图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，是⊙O的直径，C是⊙O上任AB意一点，过点A作⊥于点，求证：⊥平面.AEPCEAEPBC[证明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.用线面垂直的判断定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条订交直线，证明一条直线同时垂直于这两条订交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转变关系[变式训练2]以下图，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别为AB、PC的中点，求证：MN⊥平面PCD.证明：取PD的中点E，连结AE，NE，∵N，E为中点，1NE为△PCD的中位线，∴NE綉CD.2在矩形ABCD中，AB綉CD，1又∵M为AB的中点，∴AM綉CD.∴AM綉NE，2∴四边形AMNE为平行四边形，∴AE∥MN.又∵△PAD为等腰三角形，E为PD的中点．AE⊥PD，∴MN⊥PD.连结PM、CM，设AD＝a，AB＝2b，222222∴PM＝a＋b，CM＝a＋b，∴CM＝PM，∴MN⊥PC.又∵PC∩PD＝P，∴MN⊥平面PCD.种类三直线与平面垂直的性质定理[例3]如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D和AC上的点，EF与异面直线AC，A1D均垂直．求证：EF∥BD1.[剖析]BD1为正方体的体对角线，连结AB1，B1C后可证得BD1⊥平面AB1C，只要证EF⊥平面AB1C即可．[证明]连结AB1，B1C，BD，B1D1.DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.又EF与异面直线AC，A1D均垂直，即EF⊥AC，EF⊥A1D.又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C，EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.正方体、直棱柱、正棱锥、正四周体等特别的几何体都有明显的几何特点，解题时，要充分发掘这些几何体的线面关系.如直棱柱的侧棱垂直于底面等.[变式训练3]如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB.求证：a∥l.证明：由于EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.由于EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.种类四直线与平面垂直的判断定理、性质定理的综合应用[例4]在以下图的几何体中，四边形ABCD是菱形，四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，E为AB的中点，P为线段CM上的一点．求证：DE⊥CN.[证明]连结DB，在菱形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝60°.∴△ABD为等边三角形．又∵E为AB的中点，∴DE⊥AB.又∵AB∥DC，∴DE⊥DC.∵四边形ADNM为矩形，∴DN⊥AD.又∵平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD＝AD，DN?平面ADNM，DN⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴DN⊥DE.又∵DE⊥DC，DC∩DN＝D，∴DE⊥平面DCN，CN?平面DCN，∴DE⊥CN.线线垂直的证明，常转变为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在某个平面内，而后证明另一条垂直于这个平面．要证线面垂直，可经过线面垂直的定义及判断定理，表现了线线垂直→线面垂直→线线垂直，解题时要注意这类相互转变关系的合理应用．2．要学会逆向剖析的方法，从要证明的结论下手，层层递推，这是解决问题的有效方法．[变式训练4]已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QRAB.证明：如图，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB.PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB.PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.OR⊥α于R，∴PQ∥OR.PQ与OR确立平面PQRO.又∵QR?平面PQRO，∴QR⊥AB.种类五点到平面的距离[例5]以下图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求P点到平面ABC的距离．[解]过P作PO⊥平面ABC于O，连结AO、BO、CO.PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC.PA＝PB＝PC＝a，∴△PAO≌△PBO≌△PCO.OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．∵PA、PB、PC两两垂直，AB＝BC＝CA＝2a，△ABC为正三角形，∴＝3＝6，∴＝2－2＝3.AO3AB3aPOPAAO3a3所以点P到平面ABC的距离为3a.求点到平面距离的基本程序是：第一找到或作出要求的距离，而后使所求距离在某一个三角形中，最后在三角形中依据三角形的边角关系求出距离.求距离问题转变成解三角形有关问题后，在三角形中求距离经常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识.[变式训练5]已知：线段AB的中点为O，O∈平面α.求证：A，B两点到平面α的距离相等．证明：(1)当线段AB?平面α时，明显A，B到平面α的距离均为0，相等．(2)当

AB?平面

α

时，如图，分别过点

A，B作平面

α

的垂线，垂足分别为

A1，B1，则AA1，BB1分别是点A、点B到平面α的距离，且AA1∥BB1.所以AA1与BB1确立一个平面，设为β，则α∩β＝A1B1.由于O∈AB，AB?β，所以O∈β.又由于O∈α，所以O∈A1B1.所以∠AOA1＝∠BOB1.又AA1⊥A1O，BB1⊥B1O，AO＝BO.所以Rt△AA1O≌Rt△BB1O.所以AA1＝BB1，综上，A，B两点到平面α的距离相等．1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1相互垂直的棱的条数为(C)A．4B．6C．8D．10分析：∵AA⊥平面ABCD，AA⊥平面ABCD，∴与AA垂直的棱共有8条．11111112．已知平面α与平面β订交，直线m⊥α，则(C)A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不必定存在直线与m平行，不必定存在直线与m垂直C．β内不必定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不必定存在直线与m垂直分析：由于平面α与平面β订交，直线m⊥α，所以m垂直于两平面的交线，所以内不必定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直．3．在三棱锥P-ABC中，若PA＝PB＝PC，则极点P在平面ABC内的射影是△ABC的(B)A