2017中考数学压轴题7

2017中考数学压轴题7

—.解答题(共18小题)

1.任意写一个个位数字不为零的四位正整数A,将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，

得到四位正整数B,则称A和B为一对四位回文数.例如A=2016,B=6102,则A和B就是

一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不

足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高

位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求

和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和.例如将6102依次顺取三个数字组成的新数

分别为:610,102,26,261,它们的和为:610+102+26+261=999,把999称为2016的回

文数作三位数的和.

(1)请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数和回文数作三位数的和能否被111

整除？并说明理由；

(2)已知一个四位正整数Ixly(千位数字为1,百位数字为x且0WxW9,十位数字为1,

个位数字为y且0<y<9)的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系.

2.材料1：一般地，n个相同因数a相乘：a・a・a・…记为an.如2，=8,此时，3叫做

1'

以2为底的8的对数，记为log28(即log28=3).那么，log39=,(log216)

2

+-ljog381=.

材料2：新规定一种运算法则：自然数1到n的连乘积用n!表示，例如：1!=1,2!=2X

1=2,3!=3X2X1=6,4!=4X3X2X1=24,...在这种规定下，请你解决下列问题：

(1)计算5!=

(2)已知x为整数，求出满足该等式的X：卜-1|"5!=i

61

3.观察下列式子

1=2x与H，2=3xy+y

3=4x■|-+3',4=5X•••

(1)根据上述规律，请猜想，若n为正整数，则廿

(2)证明你猜想的结论.

4.求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记

载了求两个正整数最大公约数的一种方法--更相减损术，术曰："可半者半之，不可半者,

副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也.以等数约之"，意思是说，要求两个

正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减

去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公

约数.

例如：求91与56的最大公约数

解：

请用以上方法解决下列问题：

(1)求108与45的最大公约数；

(2)求三个数78、104、143的最大公约数.

91-56=35

56-35=21

35-21=14

21-14=7

14-7=7

所以，91与56的最大公约数是7.

5.符号"f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)=1+2,f(2)=1+2,f(3)=1+2,

123

f(4)=l+&..

4

(1)利用以上运算的规律写出f(n)=；(n为正整数)

(2)计算:f(1)・f(2)»f(3)・...・f(100)的值.

6.观察下列单项式：-x,3x2,-5x3,7x\...-37x?39x2°,...写出第n个单项式,为了

解这个问题，特提供下面的解题思路.

(1)这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？

(2)这组单项式的次数的规律是什么？

(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？

(4)请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式.

7.在求两位数的平方时，可以用"列竖式"的方法进行速算，求解过程如图1所示.

322=102446:=211689:=7921672=4489

----1----1-—11,1八-1-1----1―

0；9；0；41；6；3；66।4।Si1114।9I1I

111-1।厂

iiH!「4「S「154:4」111I।01

Tc।।~732尸1*1।~r-

1i0,2|42「1「14141s19।।।

图1图2图3

（1）仿照图1,在图2中补全672的"竖式"；

（2）仿照图1,用"列竖式"的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图3所示.若这个

两位数的个位数字为a,则这个两位数为（用含a的代数式表示）.

8.如图1,在△ABC中，NACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且

在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC,ZBAC=90°,

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为,

线段CF、BD的数量关系为；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果ABWAC,NBAC是锐角，点D在线段BC上，当NACB满足什么条件时，CF±BC

（点C、F不重合），并说明理由.

£B

图1图2

图3

9.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。，ZB=ZE=30°.

（1）操作发现

如图2,固定△ABC,使ADEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是:

②设的面积为的面积为则％与的数量关系是.

4BDCSi，AAECS2,S2

图1图2

（2）猜想论证

当绕点旋转到如图所示的位置时，小明猜想）中与的数量关系仍然成立,

4DECC3（1SiS2

并尝试分别作出了^BDC和AAEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.

（3）拓展探究

已知NABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE〃AB交BC于点E（如图4）.若在

射线BA上存在点F,使SADCF=S&BDE'请直接与出相应的BF的长.

BC

图3E图4

10.（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，

第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第

（2）小题评分.）

在△ABC中，NACB=90。，AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BEJ_MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

©△ADC^ACEB：②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请

写出这个等量关系，并加以证明.

注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题.

11.若(x2+px--L)(x2-3x+q)的积中不含x项与x3项，

3

(1)求p、q的值；

(2)求代数式(-2p2q)2+(3pq)i+p20i2q20i4的值

12.阅读材料：求1+2+22+23+24+...+22°13的值.

解：设S=l+2+22+23+24+...+22°i2+22°i3,将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+25+...+22013+22014

将下式减去上式得2S-S=22014-1

即S=22014-1

即1+2+22+23+24+...+22013=22014-1

请你仿照此法计算：

(1)1+2+22+23+24+...+210

(2)l+3+32+33+34+...+3n(其中n为正整数).

13.记M⑴=-2,M⑵=(-2)X(-2),M⑶=(-2)X(-2)X(-2),...M

=(-2)X(-2)X・-X(-2)

n个-2相乘,

(1)计算：M<5>+M<6);

(2)求2M,20⑶+M，2016)的值：

(3)说明2M<n>与M"互为相反数.

14.如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE,

PE交CD于F.

(1)证明：PC=PE；

(2)求/CPE的度数；

(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当NABC=120。时，连接CE,

试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.

15.如图，AABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN〃BC.设MN交NACB的

平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE=12,CF=5,求0c的长；

(3)当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

16.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P

从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，

在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P,Q分别从点B,A同时出发，当点Q运

动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t(秒).

(1)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；

(2)当t为何值时，以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2?

(3)是否存在点P,使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若

不存在，请说明理由.

BE

17.(1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要

求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据("已知"除外)]

(2)如图2,在nABCD中，对角线交点为0,A】、B1、品、Di分别是0A、OB、0C、0D的

中点，A2,B2、C2,D2分别是OAI、OBi、OCi、ODi的中点，…，以此类推.

若nABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和I；

(3)借助图形3反映的规律，猜猜I可能是多少？

18.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC,NBCA的平分线CF交AB于点F,过点

B作BM_LCF于点N,交AC于点M,过点C作CPJ_CF,交AD延长线于点P.

(1)若正方形ABCD的边长为4,求4ACP的面积；

(2)求证:CP=BM+2FN.

2017中考数学压轴题7

参考答案与试题解析

—.解答题（共18小题）

1.（2017春•沙坪坝区校级期中）任意写一个个位数字不为零的四位正整数A,将该正整数

A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B,则称A和B为一对四位回文数.例如A=2016,

B=6102,则A和B就是一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字

组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成

三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数,

将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和.例如将6102依次顺取

三个数字组成的新数分别为：610,102,26,261,它们的和为：610+102+26+261=999,把

999称为2016的回文数作三位数的和.

（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数和回文数作三位数的和能否被111

整除？并说明理由；

（2）己知一个四位正整数Ixly（千位数字为1,百位数字为x且0WxW9,十位数字为1,

个位数字为y且0<y<9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系.

【考点】44：整式的加减.

【专题】11：计算题；512：整式.

【分析】根据回文数的概念、根据整式的混合运算法则解答即可.

【解答】解：（1）一个四位正整数和回文数作三位数的和能否被111整除.

例如A=1234和B=4321是一对四位回文数，

将4321依次顺取三个数字组成的新数分别为：432,321,214,143,它们的和为

432+321+214+143=1110,

1110能被111整除；

（2）正整数Ixly的回文数是ylxl,

则回文数作三位数的和为：

100y+10+x+100+10x+l+100x+10+y+100+10y+l=100x+100y+222=lll（x+y+2）,

由题意得，x+y+2=9,

则x+y=7.

【点评】本题考查的是回文数的定义、整式的混合运算，掌握新定义、灵活运用整式的混合

运算法则是解题的关键.

2.（2017•福建模拟）材料1：一般地,n个相同因数a相乘:a-…记为a”.如23=8,

1'

此时，叫做以为底的的对数,记为（即）那么，（）

328Iog28Iog28=3.log.9=2,log216

2+ljog,81=17^.

33

材料2：新规定一种运算法则：自然数1到n的连乘积用n!表示，例如：1!=1,2!=2X

1=2,3!=3X2X1=6,4!=4X3X2X1=24,...在这种规定下，请你解决下列问题：

（1）计算5!=120

（2）已知x为整数，求出满足该等式的X：炭-1

61

【考点】1G：有理数的混合运算.

【专题】11：计算题；23：新定义.

【分析】材料1：各式利用题中的新定义计算即可得到结果；

材料2：(1)原式利用新定义计算即可得到结果；(2)已知等式利用题中的新定义化简，求

出解即可得到x的值.

【解答】解：材料22

1：log39=log33=2；(log216)+J-log381=16+-1^17X

333

材料2：(1)5!=5X4X3X2X1=120；

(2)己知等式化简得：k-11即x-1|=6,

6

解得：x=7或-5.

故答案为：2：17工；(1)120

3

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3.(2017•利辛县一模)观察下列式子

1=2X^+1，2=3x1-+1

3=4xy+y'4=5X-1-+^--

(1)根据上述规律，请猜想，若n为正整数，则口(n+l)苴+，

nn

(2)证明你猜想的结论.

【考点】1G：有理数的混合运算.

【专题】11：计算题.

【分析】(1)根据所给的4个算式，可得：若n为正整数，则世(n+1)22ZL+1.

nn

(2)用数学归纳法证明猜想的结论即可.

【解答】(1)解：若n为正整数，则尸(n+1)二ZL+L.

nn

(2)证明：：右边=(n+1)-I^~^■+—

nn

2

,n-l+l

=ni

n

=n

=左边，

，原等式成立.

故答案为：(n+1)

nn

【点评】此题主要考查了探寻规律问题，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有

理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进

行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

4.(2016•黔西南州)求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九

章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法--更相减损术，术日："可半者

半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也.以等数约之"，意

思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数

与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两

个正整数的最大公约数.

例如：求91与56的最大公约数

解：

请用以上方法解决下列问题：

(1)求108与45的最大公约数；

(2)求三个数78、104、143的最大公约数.

91-56=35

56-35=21

35-21=14

21-14=7

14-7=7

所以，91与S6的最大公约数是7.

【考点】1G：有理数的混合运算.

【分析】(1)根据题目，首先弄懂题意，然后根据例子写出答案即可；

(2)可以先求出104与78的最大公约数为26,再利用辗转相除法,我们可以求出26与143

的最大公约数为13,进而得到答案.

【解答】解：(1)108-45=63,

63-45=18,

27-18=9,

18-9=9,

所以108与45的最大公约数是9；

(2)先求104与78的最大公约数，

104-78=26,

78-26=52,

52-26=26,

所以104与78的最大公约数是26；

再求26与143的最大公约数，

143-26=117,

117-26=91,

91-26=65,

65-26=39,

39-26=13,

26-13=13,

所以，26与143的最大公约数是13,

A78.104、143的最大公约数是13.

【点评】本题考查的知识点是辗转相除法与更相减损术，求三个或三个以上数的最大公约数,

可以先求前两个数的最大公约数，再求所得最大公约数与第三个数的最大公约数最后得到答

案.

5.(2016•丰台区模拟)符号"f"表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)=1+2,f(2)

1

=1+2,f(3)=1+2,f(4)=i+2..

234

(1)利用以上运算的规律写出f(n)=1+2；(n为正整数)

n

(2)计算：f(1)・f(2)»f(3)•...•f(100)的值.

【考点】1G：有理数的混合运算.

【专题】23：新定义.

【分析】(1)根据f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的运算方法，写出f(n)的表达式即可.

(2)根据(1)中求出的f(n)的表达式，求出f(1)«f(2)»f(3)(100)的值是

多少即可.

【解答】解：(1)Vf(1)=1+2,f(2)=1+2,f(3)=1+2,f(4)=1+2..

1234

；.f(n)=1+2.

n

(2)f(1)*f(2)*f(3)•...•f(100)

=(i+2)(i+2)(1+.2)(i+2)...(1+../_)

1234100

_3x4x5v6xy102

1234100

-101X102

1X2

=5151

故答案为：1+2.

n

【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理

数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行

计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

6.(2016秋•颍泉区校级期末)观察下列单项式:-X,3x2,7x'...-37x1\39x20,...

写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路.

(1)这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？

(2)这组单项式的次数的规律是什么？

(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？

(4)请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式.

【考点】42：单项式；15：绝对值.

【分析】(1)根据己知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；

(2)根据已知数据次数得出变化规律；

(3)根据(1)(2)中数据规律得出即可；

(4)利用(3)中所求即可得出答案.

【解答】解：(1)这组单项式的系数依次为：-1,3,-5,7,...系数为奇数且奇次项为负

数，故单项式的系数的符号是：（-1）

绝对值规律是：2n-1；

（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数.

（3）第n个单项式是:（-1）n（2n-1）xn.

（4）第2016个单项式是403lx2016,第2017个单项式是-4O33X2017.

【点评】此题主要考查了数字变化规律，得出次数与系数的变化规律是解题关键.

7.（2017•福建模拟）在求两位数的平方时，可以用"列竖式"的方法进行速算，求解过程如

图1所示.

图1图2图3

（1）仿照图1,在图2中补全672的"竖式"；

（2）仿照图1,用"列竖式"的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图3所示.若这个

两位数的个位数字为a,则这个两位数为a+50（用含a的代数式表示）.

【考点】32：列代数式；1E：有理数的乘方.

【分析】（1）观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平

方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两

位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解即可；

（2）设这个两位数的十位数字为b,根据图3,利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关

系列出方程用a表示出b,然后写出即可.

解得b=5,

所以，这个两位数是10X5+a=a+50.

故答案为：a+50.

【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，观察出前两行的数与两位数的H立

和个位上的数字的关系是解题的关键.

8.（2015•于洪区一模）如图1,在aABC中，NACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接

AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

（1）如果AB=AC,NBAC=90°,

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为3

宜，线段CF、BD的数量关系为相等；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

(2)如果ABWAC,NBAC是锐角，点D在线段BC上，当NACB满足什么条件时，CF±BC

(点C、F不重合)，并说明理由.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】16：压轴题；26：开放型.

【分析】(1)当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出△

DAB丝ZXFAC,所以CF=BD,ZACF=ZABD.结合NBAC=90。，AB=AC,得至U/BCF=/ACB+/

ACF=90°.即CF_LBD.

(2)当/ACB=45。时，过点A作AGAC交CB的延长线于点G,则/GAC=90。，可推出NACB=

ZAGC,所以AC=AG,由(1)①可知CF_LBD.

【解答】证明：(1)①正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90°,

AZBAD=ZCAF,

又：AB=AC,

/.△DAB^AFAC,

，CF=BD,ZB=ZACF,

/ACB+/ACF=90°,EPCF1BD.

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.

由正方形ADEF得AD=AF,ZDAF=90度.

VZBAC=90°,

/.ZDAF=ZBAC,

，/DAB=NFAC,

又：AB=AC,

.二△DAB也△FAC,

；.CF=BD,ZACF=ZABD.

VZBAC=90°,AB=AC,

/ABC=45°,

ZACF=45°,

AZBCF=ZACB+ZACF=90度.

即CF1BD.

(2)当NACB=45。时，CF±BD(如图).

理由：过点A作AG_LAC交CB的延长线于点G,

则/GAC=90。，

：/ACB=45。，ZAGC=90°-ZACB,

AZAGC=90--45°=45°,

；./ACB=/AGC=45°,

；.AC=AG,

VZDAG=ZFAC（同角的余角相等），AD=AF,

.".△GAD^ACAF,

AZACF=ZAGC=45°,

ZBCF=ZACB+ZACF=450+45°=90°,即CF±BC.

【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法

有：SSSsSAS,ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定

三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.

9.(2013•河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=90。,

ZB=ZE=3O°.

(1)操作发现

如图2,固定△ABC,使aDEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是DE〃AC；

②设aBDC的面积为SvAAEC的面积为S2,则Si与S2的数量关系是SjS2.

图1图2

(2)猜想论证

当4DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中Si与S2的数量关系仍然成立,

并尝试分别作出了aBDC和AAEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.

(3)拓展探究

已知NABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE〃AB交BC于点E(如图4).若在

射线BA上存在点F,使SADCF=SABDE.请直接写出相应的BF的长.

B

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】152：几何综合题；16:压轴题.

【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出4ACD是等边三角形，根据等边三角

形的性质可得NACD=60。，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一

半求出AC=」SB,然后求出AC=BD,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点

2

D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（2）根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出NACN=/DCM,然后利用“角角边"证明

△ACN和ADCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角

形的面积相等证明；

（3）过点D作DFi〃BE,求出四边形BEDFi是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DFV然

后根据等底等高的三角形的面积相等可知点％为所求的点，过点D作DFz^BD,求出/

F1DF2=6O°,从而得到△DF1F2是等边三角形,然后求出DF1=DF2,再求出NCDFI=NCDF2,利

用“边角边"证明^CDFi和ACDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点,

然后在等腰4BDE中求出BE的长，即可得解.

【解答】解：（1）①•；△口£（：绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

；.AC=CD,

,/ZBAC=900-ZB=90°-30°=60°,

.,.△ACD是等边三角形，

.,•ZACD=60",

XVZCDE=ZBAC=60°,

AZACD=ZCDE,

；.DE〃AC；

②：/B=30。，ZC=90°,

;.CD=AC=XAB,

2

，BD=AD=AC,

根据等边三角形的性质，4ACD的边AC、AD上的高相等，

.".△BDC的面积和4AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即Si=S2；

故答案为：DE〃AC；S产S2;

(2)如图,：△口£(：是由aABC绕点C旋转得到，

ABC=CE,AC=CD,

,/ZACN+ZBCN=90°,ZDCM+ZBCN=180°-90°=90°,

ZACN=ZDCM,

•.,在4ACN和△DCM中，

fZACN=ZDCM

<NCMD=/N=90°，

,AC=CD

.".△ACN^ADCM(AAS),

，AN=DM,

/.△BDC的面积和4AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),

即Si=S2;

(3)如图，过点D作DFi〃BE,易求四边形BEDFi是菱形，

所以BE=Dh，且BE、DFi上的高相等,

此时SADCFI=SABDES

过点D作DF2_LBD,

VZABC=60",FiD〃BE,

",,

..ZF2F1D=ZABC=60,

；BFI=DFI，ZFiBD=XZABC=30°,NF2DB=90°,

2

ZF1DF2=ZABC=60°,

*".△DF1F2是等边三角形，

/.DFI=DF2,

VBD=CD,/ABC=60。，点D是角平分线上一点，

ZDBC=ZDCB,X60°=30°,

2

NCDFi=180°-ZBCD=1800-30o=150",

ZCDF2=360°-150°-60°=150°,

.,.ZCDF1=ZCDF2>

,在ACDFI和aCDF2中，

,

DF1=DF2

<ZCDF^ZCDFg,

,CD=CD

/•△CDFi^ACDFz(SAS),

.•.点F2也是所求的点，

•；/ABC=60。，点D是角平分线上一点，DE〃AB,

，ZDBC=ZBDE=ZABD=J-X60-=30°,

2

又：BD=4,

BE=LX44-COS300=24-F—我,

223

BFi=^Z^.,BF2=BFI+FIF2=-^Z1.+^Z^：^2Z1,)

3333

故BF的长为士/氧生巨.

33

A

（3）题图

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，

直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积

相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个.

10.（2005・扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题

为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答,

如两题都答，以第（2）小题评分.）

在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BE_LMN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

©△ADC^ACEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请

写出这个等量关系，并加以证明.

注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】14:证明题；16:压轴题；2B:探究型.

【分析】（1）根据已知可利用AAS证明①aADC会aCEB,由此可证②DE=AD+BE；

（2）根据已知可利用AAS证明aADC丝4CEB,由此可证DE=AD-BE；

（3）根据已知可利用AAS证明△ADCg4CEB,由此可证DE=BE-AD.

【解答】证明：（1）@VZADC=ZACB=ZBEC=90°,

/.ZCAD+ZACD=90°,ZBCE+ZCBE=90°,ZACD+ZBCE=90°.

.••ZCAD=ZBCE.

VAC=BC,

.,•△ADC^ACEB.

②•.•△ADCgaCEB,

；.CE=AD,CD=BE.

；.DE=CE+CD=AD+BE.

解：(2)VZADC=ZCEB=ZACB=90",

.".ZACD=ZCBE.

又：AC=BC,

.".△ACD^ACBE.

；.CE=AD,CD=BE.

.*.DE=CE-CD=AD-BE.

(3)当MN旋转到图3的位置时，AD,DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE

-DE,BE=AD+DE等).

ZADC=ZCEB=ZACB=90°,

AZACD=ZCBE,

又：AC=BC,

.".△ACD^ACBE,

，AD=CE,CD=BE,

；.DE=CD-CE=BE-AD.

【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即

AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA,无法证明三角形全等，再

根据全等三角形对应边相等得出结论.

11.(2014春•金牛区期末)若(x2+px--)(x2-3x+q)的积中不含x项与x，项，

3

(1)求p、q的值；

(2)求代数式(-2p2q)2+(3pq)的值.

【考点】4B：多项式乘多项式.

【分析】(1)形开式子，找出x项与x3令其系数等于0求解.

(2)把p,q的值入求解.

【解答】解：(1)(x2+px--)(x2-3x+q)=x4+(p-3)x3+(q-3p--)x2+(qp+1)x+q,

33

•••积中不含X项与X3项，

/.P-3=0»qp+l=0

••p—3,q———,

3

(2)(-2p2q)2+(3pq)一加2°，2。14

11-1120121

=[-2X32X(-1)]2+[3X3X(4)]+[3X(4)]x2

O000

=36--1_+A_

39

=35工.

9

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确求出p,q的值

12.(2013•张家界)阅读材料：求1+2+22+23+24+...+2283的值.

解：设S=l+2+22+23+24+...+22°i2+22°i3,将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+25+...+22013+22014

将下式减去上式得2S-S=22014-1

即s=22014-1

即l+2+22+23+24+...+2Z013=22014-1

请你仿照此法计算：

(1)1+2+22+23+24+...+210

(2)1+3+32+33+34+...+3"(其中n为正整数).

【考点】46：同底数幕的乘法.

【专题】11：计算题.

【分析】(1)^S=l+2+22+23+24+...+210,两边乘以2后得到关系式，与己知等式相减，变形

即可求出所求式子的值；

(2)同理即可得到所求式子的值.

【解答】解：(1)设S=l+2+22+23+24+...+2i0,

将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+...+210+2n,

将下式减去上式得：2S-S=2n-1,即S=2i—1,

则l+2+21+^+^+...+2L0=2Li-1；

(2)S=l+3+32+33+34+...+3n®,

两边同时乘以3得：3s=3+32+33+34+...+3"+3”1②，

②-①得：3$-0=3也-1,即$=工(3日-1),

2

则l+3+32+33+34+...+3n=i(3ntl-1).

2

【点评】此题考查了同底数累的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键.

13.(2015春•苏州期末)记M(D=-2,M(2)=(-2)X(-2),M(3)=(-2)X(-2)

X(-2),...Mn)=(-2)X(-2)X-X(-2)

n个-2相乘.

(1)计算：M<5)+M<6>；

(2)求2M<2015)+M<2016)的值：

(3)说明2M<n>与M"互为相反数.

【考点】46：同底数基的乘法.

【专题】23:新定义.

【分析】(1)根据M⑹=(-2)X(-2)X…X(-2)，可得M®，M，6”；根据有理数的加

n个-2相乘.

法，可得答案；

(2)根据乘方的意义，可得M,2015”M.2016),根据有理数的加法，可得答案；

(3)根据乘方的意义，可得Mg,M根据有理数的加法，可得答案.

56

【解答】解：(1)M,5)+M<6)=(-2)+(-2)=-32+64=32；

2015201620152016

(2)2Mi2oi5)+M,2oi6)=2义(-2)+(-2)=-(-2)X(-2)+(-2)=

-(-2)2016+(-2)2016=0；

nnln<1n+1

(3)2M,n)+M<n+i>=-(-2)X(-2)+(-2)=-(-2)+(-2)=0,

，2Mn与Mtnn)互为相反数.

【点评】本题考查了同底数幕的乘法，利用了同底数基的乘法，相反数的性质：互为相反数

的和为零.

14.(2015•荆州)如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长

线上，且PA=PE,PE交CD于F.

(1)证明:PC=PE；

(2)求/CPE的度数；

(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当NABC=120。时，连接CE,

试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.

【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质.

【专题】14：证明题.

【分析】(1)先证出4ABP之ZsCBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE；

(2)由4ABP丝ZXCBP,得NBAP=NBCP,进而得/DAP=/DCP,由PA=PC,得到/DAP=/E,

ZDCP=ZE,最后NCPF=/EDF=90。得到结论；

(3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论.

【解答】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,

ZABP=ZCBP=45°,

SAABP和4CBP中，

fAB=BC

<ZABP=ZCBP>

PB=PB

.".△ABP^ACBP(SAS),

；.PA=PC,

VPA=PE,

PC=PE；

(2)由(1)知，AABP^ACBP,

；.NBAP=NBCP,

/.ZDAP=ZDCP,

VPA=PE,

AZDAP=ZE,

.".ZDCP=ZE,

VZCFP=ZEFD(对顶角相等)，

180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

EPZCPF=ZEDF=90°；

(3)在菱形ABCD中，AB=BC,ZABP=ZCBP=60o,

在4ABPflACBP中，

rAB=BC

<NABP=NCBP，

PB=PB

.".△ABP^ACBP(SAS),

，PA=PC,/BAP=NBCP,

VPA=PE,

，PC=PE,

.,•ZDAP=ZDCP,

VPA=PC,

.".ZDAP=ZAEP,

AZDCP=ZAEP

VZCFP=ZEFD(对顶角相等)，

.•.1800-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZAEP,

即NCPF=/EDF=180°-ZADC=180°-120°=60°,

.•.△EPC是等边三角形，

；.PC=CE,

.♦.AP=CE.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的

性质，熟记正方形的性质确定出NABP=/CBP是解题的关键.

15.(2013•张家界)如图，/XABC中，点。是边AC上一个动点，过。作直线MN〃BC.设

MN交NACB的平分线于点E,交/ACB的外角平分线于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)若CE=12,CF=5,求OC的长；

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

BCD

【考点】LC：矩形的判定；JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质；KP：直角三

角形斜边上的中线.

【专题】16:压轴题.

【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出N1=N2,Z3=Z4,进而得出答案;

（2）根据已知得出N2+N4=N5+/6=90。，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO

的长；

（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.

【解答】（1）证明：