一题学懂极值点偏移5大套路

题弄懂极值点偏移5大套路已知f(x)=xInx-1mx2-x,meR•若f(x)有两个极值点x,x，且x<x，求21212证：xx>e2(e为自然对数的底数).12解法一：齐次构造通解偏移套路证法1：欲证xx>e2，需证Inx+Inx>21212若f(x)有两个极值点x,x，即函坳'(x)有两个零点.又f'(x)=Inx-mx,121x是方程广(x)=0的两个不同实根.于是，2于是，x「mT0，解得m=lnx1+lnx2.x-mx=022另一方面由22另一方面由(!nx-mx=0另一方面，由lnx1-mx1=0I2212，得Inx-Inx=m(x-x),2121lnx-lnxlnx+lnx从而可得， 2 += 1 2x-x x+x2112(lnx-lnx)(x+(lnx-lnx)(x+x)于是，lnx+lnx=122x-1x2 1 =21又0<x<x，设1=x21 2 x1(t+1)lnI要证Inx+lnx>2，即证：t11 2 t-1，则t>1•因此，lnx—xi 1•-2—1x1+lnx=(1+t加I1 2t-1t>12(t-1)>2,t>1•即：当t>1时，有Int> t+1•设(t+1)2t(t+1)函数h(t)=lnt-2,t>1，则h'(t)=1-2(t+J)-£(t-1)=(：-">0(t+1)2t(t+1)所以，h(t)为(1.+J上的增函数•注意到，h(1)=0，因此，h(t)>h(1)=0于是，当t>1时，有Int>2匸)•所以，有Inx+Inx>2成立，xx>e2.t+1 1 2 12

解法二变换函数能妙解证法2：欲证xx>e2，需证lnx+lnx>2.若f(x)有两个极值点x,x，即函数f'(x)121212x，1有两个零点•又f'(x)=lnx-mx，所以，x,x是方程f'(x)=x，112然m>0,否则，函数f'(x)为单调函数，不符合题意.flnx-mx=0nlnx+lnx=m(x+x),由"lnxi-mxi=0 '1212221 2m2(mx-1)2x(>mx)>0，故g1 2m2(mx-1)2x(>mx)>0，故g(x)在i2设g(x)=/'(x)-f'r2r1,(、--xiixei°设g(x)=/'(x)-f'r0「"，即g(x)<g"L0，故f'(x)<f'r2-xmim1丿i丿l 丿由于广(x)=1-m=1-mx，故f'(x)在'0,1",r1,+(/Imi丿'令x=x，则f'(x)=f'(x)<f'r'令x=x又因为x,一x又因为x,一xeI,2m1Im丿'ri,f(x)在|-Im 丿m1丿2J故有x>-x，即x+x>2112m．原

m命题得证．解法三构造函数现实力证法3：由x,x是方程f'(x)=0的两个不同实根得m=山"，令g(x)=x1 2 x xg(x)=g(x)，由于g'(x)=上皿，因此，g(x)在(1，A,(e，+8)J.1 2 x2

设1<x<e<x，需证明xx>e2，只需证明x设1<x<e<x，需证明xx>e2，只需证明x>jw(0,e)，只需证明f(x)>f|：|,1 2 12 1 1 IIx Ix2丿22即/(x)>f|_|，即f(x)—f|二|>0.

2W丿2 W丿()()【e1( ) (1—Inx)(e2—x2)即h(x)=f(x丿—fI_(xe(1,e)),h'(x)= >0，故h(x)在(1,e)T,x2e2故h(x)<h(e)=0，即f(x)<f|°Ix丿.令x=x1—e(e,+g),f(x)在(e,+g2xx112，即X1X2>e-解法四巧引变量(一)证法4：设t=Inxe(0,1),t=Inxe1122( ) flnx—mx=0(1，+g),则由< 1 1得lnx—mx=0Ift=met1 t—<i n十=ej2，设k=t—t<0，贝gt=t=met2 t 1 2 122kekek一122kt= •欲证xx2 ek—1 122>e，需证Inx+Inx>2.即只需证明t+t>2,即1212k(1+eJ>2okG+ek)<2Ck—1)。kG+ekL2C—1)<0.设ek—1g(k)=k(1+ek)—2Ck—1)(k<0),g'(k)=kek—ek+1,g'(k)=kek<0，故g'(k)在(—g,讥,故g'(k)>g，(0)=0,故g(k)在(-g,0)T,因此g(k)<g(0)=0,命题得证．证法5证法5：设t=lnxe(0a)，t=lnxe(1，+g)，则时;—薦；0得1122[22ft=me[ t t r\ kInk Ink! n十=e：一:设4 =ke (0，1)，则[= , t2= .欲证xx^> e2,需t=met? t t k—1 k—12222证Inx+Inx>2,即只需证明t+t>2,即1212(k+l)lnk 宀、7 2(k-1) [7 2(k-1)c、厂 >2oln