第九章矩阵特征值与特征向量的计算

第9章矩阵特征值与特征向量

的计算§9.1问题的提出

工程实践中的一些振动问题，如桥梁或建筑物的振动，飞机机翼的颤动，动物理学中某些临界值的确定以及理论物理中的一些问题，归结为数学问题就是：1)已知矩阵，要求代数方程的根，称为的特征多项式，的根称为的特征值，即求的特征值.

1三峡大学理学院杜廷松

2)设是的特征值，要求齐次线性方程组的非零解，此非零解就称为的对应于的特征向量.

求矩阵的特征值及特征向量的问题是线性代数中的一个重要问题。但当矩阵的阶数较高时，直接求解矩阵的特征值及特征向量是困难的。另外，在实际问题中，具体要求也有不同。有些只要求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量。有的则要求出矩阵的全部特征值和相应的特征向量。针对这两种不同要求，我们将选择不同的方法。2三峡大学理学院杜廷松

本章我们需要一些与特征值有关的结论：

定理9.1.1若是矩阵的特征值，则有：1）

2）定理9.1.2若与相似，则与有相同的特征值.3三峡大学理学院杜廷松

定义1.1瑞雷（Rayleigh）商设是阶实对称阵，对于任一非零向量，称为关于向量的Rayleigh商.定理9.1.2设为阶实对称阵，对于任一非零向量，则

其中：为的特征值.4三峡大学理学院杜廷松§9.2乘幂法和反幂法一、乘幂法二、乘幂法的其它复杂情况三、乘幂法的加速四、反幂法（又称逆代法）5三峡大学理学院杜廷松一、乘幂法

乘幂法是一种计算实矩阵的按模最大的特征值及其对应的特征向量的方法.假设：1）有个线性无关特征向量2），满足且是实特征值.由于构成了维向量空间的基底，故任意，有，设则

6三峡大学理学院杜廷松

一般有(2.1)

当是够大时，由于,故而故可以近似地作为对应于的特征向量.7三峡大学理学院杜廷松

由知，当时，的分量随增大而趋于零；当，各分量又趋于无穷，这在计算机里即所谓“下溢”和“上溢”.实际计算时，为防止的模过大或过小，以致产生计算机]运算的上下溢出，通常每次迭代都对进行归一化，使，因此以上乘幂法公式改进为：

(2.2)8三峡大学理学院杜廷松

由迭代公式知： (2.3)

对比(2.1)和(2.3)式，可知(2.3)中的仍收敛于的对应于的特征向量.当相当大时，和都可视为对应的特征向量.下面讨论特征值的计算：由(2.4)9三峡大学理学院杜廷松

有 (2.5)

故就是,剩下的问题是确定的符号.是的各分量绝对值之最大者，设和的绝对值最大的分量为和.由(2.5)可得解得(2.6)10三峡大学理学院杜廷松

即当按(2.2)迭代时,发现稳定后,取,的符号由如下原则确定：当相邻两次的和对应分量符号相同，取的符号为正；符号相反则为负.

例2.1用乘幂法计算矩阵

按模最大特征值和相应的特征向量.取迭代2步即可.11三峡大学理学院杜廷松二、乘幂法的其它复杂情况

1.我们假设了具有完全的特征向量系，即具有个线性无关的特征向量.当不具有个线性无关的特征向量时，乘幂法不适用，但事前往往无法判断这一点.因此在运用乘幂法时，发现不收敛或收敛很慢情况，要考虑此种可能.2.我们假设在(2.1)中，这在选择时，也无法判断，但这往往不影响乘幂法的成功使用.因为若选，使，由于舍入误差的影响，在迭代某一步会产生它在方向上的分量不为零，这时以后的迭代仍会收敛.12三峡大学理学院杜廷松

3.我们假设了.若不具此条件，可能出现的情况有：；；和为共轭复数，.

对情况(1),归一化乘幂法(2.2)仍适用,但选择不同的得到特征向量是不同的.对情况和情况较复杂,(2.2)得到的序列不收敛,但可从序列中看出规律，推算出,更详细的讨论见参考文献[7].13三峡大学理学院杜廷松三、乘幂法的加速

乘幂法的收敛速度取决于比值,我们将着

眼于减小的值和提高中的的方次，减

小的值，可采用原点移位法，为提高的方次，

可采用埃特金（Aitken）加速法和Rayleigh商加速.14三峡大学理学院杜廷松

1.原点位移法

设的特征值，并有完全的特征向量系：，则矩阵的特征值为.特征向量不变，仍为如果设法取到数，使，然后，对矩阵作乘幂法，求得的特征值,则的特征值即为.15三峡大学理学院杜廷松2.Aitken加速法

由乘幂法迭代公式及式(2.3)易知

其中：表示中取绝对值最大的分量

即当充分大时，,使16三峡大学理学院杜廷松

于是即线性收敛于，此时有近似关系式

从而(2.7)即由已知的三个迭代值可以算出新的特征估计值，这种加速方法称为Aitken加速法.17三峡大学理学院杜廷松

3.Rayleigh商加速

设为实的对称矩阵,当时,对应的特征向量为满足,用乘幂法计算的主特征值时,可以证明规范向量的Rayleigh商给出较好的近似:

(2.8)18三峡大学理学院杜廷松四、反幂法（又称逆代法）

用代替做幂法计算就称为反幂法.

从乘幂法知道,反幂法收敛速度取决于比值.

当越小时,收敛越快.19三峡大学理学院杜廷松§9.3Jacobi方法

一、Jacobi方法的理论依据二、古典雅可比方法三、过关古典雅可比方法20三峡大学理学院杜廷松

一、Jacobi方法的理论依据

阶实对称矩阵，一定存在正交矩阵，使

其中为的全部特征值，而的第列向量为对应于的特征向量.根据这个定理，要求实对称矩阵的特征值关键在找到合适的正交矩阵.

21三峡大学理学院杜廷松旋转矩阵:

易验证它是正交矩阵.考虑二阶对称矩阵

22三峡大学理学院杜廷松

其中如果取使得就能使上述矩阵变为对角阵，从而求得的特征值.此时，应取，使：23三峡大学理学院杜廷松

的特征值为

对应的特征向量为

把上述结果推广到一般情况.24三峡大学理学院杜廷松例3.1椭球(3.5)与坐标平面的交线是如果把轴旋转，则可知二次曲线是一个圆，为此令（3.6）25三峡大学理学院杜廷松式（3.5）经过变换后，得新方程为(3.7)把式（3.5）和式（3.6）均写成矩阵形式，可知经过式（3.6）的变换矩阵变换为26三峡大学理学院杜廷松即其中27三峡大学理学院杜廷松

下面考察经过变换后，式（3.5）中矩阵元素的变化情况.1）对角线上元素的平方和由19增加到272)非对角线上元素的平方和由减少到，而矩阵所有元素的平方和不变.但（3.7）中仍然保留着与的乘积项，用类似的方法作一次变换28三峡大学理学院杜廷松这时椭球方程化为该二次型的矩阵为这时对角线上元素的平方和达到，而非对角线上元素的平方和减小成.29三峡大学理学院杜廷松

结论：实对称矩阵经过正交变换后，对角线上的元素的平方和在不断增加，非对角线上的元素的平方和在不断减少，而矩阵所有元素的平方和是不改变的.同时，也看到经过第2次变换后，上一次变换时已经化为零的元素又会变成非零元素.但不管怎样，经过这样反复变换，总可达到目的：对角线上元素的平方和不断增大，而非对角线上元素平方和不断减小，这就是Jacobi方法的基本思想.30三峡大学理学院杜廷松

二、古典雅可比方法

以下给出古典雅可比方法：

（1）在中找出绝对值最大的非对角元，若，为已给出的误差限，则已近似于对角阵，退出计算，输出特征值反之则进行(2);

（2）用公式(3.4)确定和;31三峡大学理学院杜廷松

（3）用公式(3.1),(3.2)计算,确定出矩阵;

（4）令,返回（1）.这样通过若干次的旋转变换,就能将化为相似的对角阵,求得足够精度的特值32三峡大学理学院杜廷松三、过关古典雅可比方法

古典雅可比方法每次选取矩阵中绝对值最大的非对角元素作为消去对象，需在所有非对角元中进行比较选取，这种比较选取的工作相当耗费机时，过关雅可比方法是一种改进方案.取一串正数，比如常取：作为每次比较的阈值，也称为“关”.按顺序检查矩阵的非对角元，凡绝对值小于的就让其过33三峡大学理学院杜廷松

“关”,不作处理;凡绝对值大于等于的就利用旋转变换使之为零.当所有非对角元绝对值都小于时，将除以作为新的“关”，重复以上计算，直到需要的精度，即所有非对角元绝对值小于某一个，这时也得到一个近似对角阵，其主对角元素就是所求特征值的近似值.34三峡大学理学院杜廷松§9.4QR方法

一、Householer变换

二、化一般矩阵为拟上三角矩阵三、矩阵的正交三角分解四、QR方法35三峡大学理学院杜廷松一、Householer变换

定义4.1设是维向量，且，称为

矩阵或镜像反射矩阵，也称为初等反射阵.

容易看出，是对称阵；还可以证明是正交阵，因为定理9.4.1设，其中（为不为0的常数），，则.36三峡大学理学院杜廷松

定理9.4.1的几何意义如下：将任一维非零向量分解为和的和，和垂直，在上取单位长向量.用表示与垂直的所有向量的集合，是维子空间，用构造矩阵，恰好是关于“镜面”的像.

以上分析告诉我们

作为线性变换是一种镜像变换，它不改变的长度，但只要适当选择“镜面”(实际上是选择的法向量)，总可以使调整到任何方向.37三峡大学理学院杜廷松

二、化一般矩阵为拟上三角矩阵

拟上三角矩阵也称上矩阵，其形式为：

设是实矩阵，取38三峡大学理学院杜廷松记,按上述公式形成阵 的第一列为39三峡大学理学院杜廷松

又因为用右乘一个矩阵不改变后者的第一列，于是

又取记，形成