中考数学二轮复习几何专项复习专题21 菱形存在性问题巩固练习（基础）（教师版）

菱形存在性问题巩固练习(基础)1． 如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝6，E、F分别是AB、CD的中点(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)是否存在a的值使得四边形AECF为菱形，若存在求出a的值，若不存在说明理由；【解答】(1)见解析；(2)不存在【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形；(2)不存在，由(1)知：四边形AECF是平行四边形；当AE＝AF时，四边形AECF为菱形，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵AD＝BC＝6，DF＝SKIPIF1<0CD＝SKIPIF1<0a，∴SKIPIF1<0，方程无解，故不存在这样的a；2． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C(0，﹣3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】(1)y＝x2﹣2x﹣3，点A(﹣1，0)、B(3，0)；(2)PSKIPIF1<0【解析】(1)函数的对称轴为：x＝﹣SKIPIF1<0＝1，解得：b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A、B的坐标分别为：(﹣1，0)、(3，0)；(2)存在，理由：如图，四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣SKIPIF1<0OC＝﹣SKIPIF1<0，即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍去负值)，故点PSKIPIF1<0.3． 如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y＝﹣x2＋4x﹣1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与y轴和x轴的交点，点E是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．(1)点A的坐标为，点C的坐标为．(2)求直线BD的表达式．(3)在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由．【解答】(1)A(2，3)、C(0，﹣1)；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【解析】(1)y＝﹣x2＋4x﹣1图象的顶点：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴点A的坐标为(2，3)，当x＝0时，y＝﹣1，∴点C的坐标为(0，﹣1)；(2)直线AC的解析式是y＝2x﹣1，过点A并与AC垂直的直线记为BD，SKIPIF1<0，∴直线BD的表达式为SKIPIF1<0；(3)存在．菱形DERP时，SKIPIF1<0；菱形DREP时，SKIPIF1<0．4． 如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是(8，4)，将△AOC沿对角线AC翻折得△ADC，AD与BC相交于点E．(1)求证：△CDE≌△ABE；(2)求E点坐标；(3)如图2，若将△ADC沿直线AC平移得△A′D′C′(边A′C′始终在直线AC上)，是否存在四边形DD′C′C为菱形的情况？若存在，请直接写出点C′的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】(1)见解析；(2)E(5，4)；(3)C′的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】(1)证明：∵四边形OABC为矩形，∴AB＝OC，∠B＝∠AOC＝90°，∴CD＝OC＝AB，∠D＝∠AOC＝∠B，又∠CED＝∠ABE，∴△CDE≌△ABE(AAS)，∴CE＝AE；(2)∵B(8，4)，即AB＝4，BC＝8．∴设CE＝AE＝n，则BE＝8﹣n，可得(8﹣n)2＋42＝n2，解得：n＝5，∴E(5，4)；(3)设点C在水平方向上向左移动m个单位，则在垂直方向上向上移动了SKIPIF1<0个单位，则点C′坐标为(﹣m，SKIPIF1<0)，则∵四边形DD′C′C为菱形，∴CC′2＝(﹣m)2＋(SKIPIF1<0m)2＝SKIPIF1<0m2＝CD2＝16，解得：SKIPIF1<0，故点C′的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．5． 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AB＝8，BC＝4，(1)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；(2)若点M在AB边上，平面内是否存在点N，使以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】(1)y＝2x﹣6；(2)点N的坐标为(5，4)或(11，4)或(0，4)或(5.5，4)【解析】(1)∵四边形OABC是矩形，∴AO＝BC＝4，OC＝AB＝8，∴A(0，4)，C(8，0)，设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线AC的解析式为SKIPIF1<0，∵矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，∴DE⊥AC，AF＝CF，∴F(4，2)，设直线DE的解析式为：y＝2x＋n，∴2＝2×4＋n，∴n＝﹣6，∴直线DE的解析式为：y＝2x﹣6；(2)存在．将y＝0代入y＝2x﹣6得：2x﹣6＝0，解得：x＝3∴点D的坐标为(3，0)．∴DC＝OC﹣OD＝8﹣3＝5．如图所示：∵C、D、M、N为顶点的四边形是菱形，∴MD＝MN＝5．过点D作DG⊥AB，则GD＝OA＝4，OD＝M1G．①当点M位于点M1处时，在Rt△M1DG中，SKIPIF1<0，∴点M1的坐标为(0，4)，∵M1N1＝5，∴点N1的坐标为(5，4)；②当点M位于点M2处时，在Rt△M2DG中，SKIPIF1<0，∴点M2的坐标为(6，4)，∵M2N2＝5，∴点N2的坐标为(11，4)．当点N与M交换时，也满足条件，此时N(0，4)或(5.5，4)综上所述，当点N的坐标为(5，4)或(11，4)或(0，4)或(5.5，4)时，能够使的四边形C、D、M、N为菱形．6． 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(﹣1，4)，与直线y＝﹣x＋1相交于A、B两点，其中点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(﹣3，O)．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，过M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线AB于点N．设点M的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当m为何值时，线段MN取最大值？并求出这个最大值；(3)是否存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】(1)y＝﹣x2﹣4x＋1；(2)当SKIPIF1<0时，MN最大值＝SKIPIF1<0；(3)不存在【解析】(1)当x＝﹣3时，y＝﹣(﹣3)＋1＝4，即B(﹣3，4)，当x＝0时，y＝1，即A(0，1)，将(﹣1，4)(﹣3，4)(0，1)代入y＝ax2＋bx＋c，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，抛物线的解析式y＝﹣x2﹣4x＋1；(2)M(m，﹣m2﹣4m＋1)，N(m，﹣m＋1)，MN＝﹣m2﹣4m＋1﹣(﹣m＋1)＝﹣m2﹣3m＝SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，MN最大值＝SKIPIF1<0；(3)不存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形，理由如下：假如存在，MN＝BC＝﹣m2﹣3m＝4，m2＋3m＋4＝0，△＝32﹣4×1×4＝﹣7，∴m不存在，∴不存在点M，使以B、C、N、M为顶点的四边形是菱形.7． 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝3．(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)点M是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方，连接MO、MB，并把△MOB沿BO翻折，得到四边形MOM'B，那么是否存在点，使四边形MOM'B为菱形？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】(1)y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)M点的坐标为SKIPIF1<0【解析】(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵OA＝1，OB＝3，OC＝3∴A(1，0)、B(0，3)、C(﹣3，0)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)存在，理由为：存在点M，使四边形MOM'B为菱形，设M点坐标为(x，﹣x2﹣2x＋3)，若使四边形MOM'B是菱形，则需要满足BO与MM'互相垂直且平分，取BO中点H，作MH⊥BO，则点M为所求，如图所示：∵OB＝3，∴OH＝BH＝SKIPIF1<0，∴﹣x2﹣2x＋3＝SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍去)，SKIPIF1<0，∴M点的坐标为SKIPIF1<0.8． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ．点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．(1)直接用含t的代数式分别表示：QB＝，PD＝；(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．【解答】(1)QB＝12﹣2t，SKIPIF1<0；(2)t＝3.6；(3)v＝SKIPIF1<0【解析】(1)QB＝12﹣2t，∵PD∥BC，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；(2)∵PD∥BC，当PD＝BQ时四边形PDBQ为平行四边形，∴SKIPIF1<0，解得：t＝3.6(秒)，则存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形；(3)∵t＝3.6秒时，BQ＝PD＝SKIPIF1<0＝4.8，由△ABC∽△ADP，得到AD＝SKIPIF1<0＝6，BD＝15﹣6＝9，∴BD≠PD，∴不存在t使四边形PDBQ为菱形；设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ＝12﹣vt，PD＝SKIPIF1<0，BD＝15﹣SKIPIF1<0t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，当PD＝BD时，即SKIPIF1<0＝15﹣SKIPIF1<0t，解得：t＝5(秒)，当PD＝BQ，t＝5秒时，即SKIPIF1<0×5＝12﹣5v，解得：v＝SKIPIF1<0，∴当点Q的速度为每秒SKIPIF1<0个单位长度时，经过5秒，四边形PDBQ是菱形．9． 已知Rt△AOB，其中∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．(1)如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为；(2)如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；(3)如图3，若折叠后点B落在边OA上的点为B′，是否存在点B′，使得四边形BCB′D是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由．【解答】(1)D(3，4)；(2)C(0，SKIPIF1<0)；(3)SKIPIF1<0【解析】(1)∵OA＝6，OB＝8，∴A的坐标是(6，0)，B的坐标是(0，8)，D是AB的中点，则坐标是：(3，4)；(2)设C(0，m)，(m＞0)，则CO＝m，BC＝AC＝(8﹣m)，在Rt△AOC中，有(8﹣m)2﹣m2＝36，整理得，16m＝28，∴SKIPIF1<0，∴C(0，SKIPIF1<0)；(3)存在，当B'C∥AB(或B'D∥BO)时，四边形BCB'D是菱形，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝10，∵B'C∥AB，∴△OB'C∽△OAB，SKIPIF1<0，设B'C＝BC＝x，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵B'C∥AB，∴∠CBD＋∠BCB'＝180°，又∵∠CBD＝∠CB'D，∴∠CB'D＋∠BCB'＝180°，∴B'D∥BO，∴△AB'D∽△AOB，SKIPIF1<0，设B'D＝BD＝y，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴B'C＝BC＝B'D＝BD，∴四边形BCB'D是菱形，∴存在点B'，使得四边形BCB'D是菱形，此时菱形的边长为SKIPIF1<0