2020-2021年上海市长宁区高一上期末

2020学年长宁区第一学期高一数学教学质量检测试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．答案填在答题纸相应位置）．1．已知全集为，集合，则．【答案】2．函数的定义域为．【答案】3．若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是．【答案】4．设一元二次方程的两个实根为、，则．【答案】5．已知，，若是充分条件，则的取值范围是．【答案】6．若，则的取值范围是．【答案】7．设、都为正数，且，则的最小值为．【答案】8．设关于的不等式与的解集分别为、，则不等式组的解集可以用集合、的运算表示为．【答案】9．已知，，试用、表示．【答案】10．已知函数的最小值为，则实数．【答案】11．设关于的方程解集为，关于的不等式的解集为，若集合，则．【答案】12．若函数的值域为，则实数的取值范围为．【答案】二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13.下列四组函数中，两个函数相同的是（C）． 和； 和； 和； 和．14.函数的零点所在区间为（B）． ； ； ； ．15.在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（A） 16.已知“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题．给出下列四个命题：①的元素不都是的元素； ②的元素都不是的元素；③存在且； ④存在且；这四个命题中，真命题的个数为（B）． 个； 个； 个 个；【解析】①④正确.三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（本题满分6分）已知集合，集合．求集合．【解析】，，所以18．（本题满分8分，共有2小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分）．化简下列代数式（1）；（2）．【解析】（1）；（2）.19．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 甲、乙两城相距，某天然气公司计划在两地之间建天然气站给甲、乙两城供气．设站距甲城，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于．已知建设费用（万元）与甲、乙两地的供气距离的平方和成正比（供气距离指天然气站到城市的距离），当天然气站距甲城的距离为时，建设费用为万元．（1）把建设费用（万元）表示成站与甲城的距离的函数，并求定义域；（2）求天然气供气站建在距甲城多远时建设费用最小，并求出最小费用的值．【解析】（1）设比例系数为，则又，所以，即，所以 （2）由（1）可得，所以，所以当时，有最小值为万元，所以天然气供气站建在距甲城时费用最小，最小费用的值为万元.20．（本题满分14分，共有3小题，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）．设．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求证：函数在上是严格增函数；（3）若，求的取值范围．【解析】（1）函数为奇函数，证明如下：易知的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数；（2）任取，且易知，因为，所以，所以，即，所以函数在上是严格增函数；（2）因为在上是奇函数且严格增，所以，解得或，所以的取值范围是或.21．（本题满分14分，共有3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）设．（1）求不等式的解集；（2）若函数在上最小值为，求实数的值；（3）若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值．【解析】（1）因为，所以，若，该不等式无解；若，，所以或；若，，所以综上，，该不等式解集为；，该不等式解集为；，该不等式解集为.（2）若，在单调递增，故无最小值；若，，在单调递