2022-2023学年四川省成都市郫都区高三年级下册学期阶段性检测（三）数学（理）数学试题

郫都区2022-2023学年高三下学期阶段性检测（三）数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页，共4页.满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，必须将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，只将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，若，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.某程序框图如图所示，则输出的（）A.8 B.27 C.85 D.2603.设集合，，则（）A. B. C. D.4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是下面的（）A. B.C. D.5.若直线：是曲线：的一条切线，则实数的值为（）A.-3 B.3 C.-C.-2 D.26.下列说法正确的有（）①对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，说明“与有关系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若数据的方差为5，则另一组数据的方差为6；④把六进制数转换成十进制数为：.A.①④ B.①② C.③④ D.①③7.程大位（1533~1606），明朝人，珠算发明家.在其杰作《直指算法统宗》里，有这样一道题：荡秋千，平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，请问绳索有多长？（）A.14尺 B.14.5尺 C.15尺 D.15.5尺8.已知函数，则函数的大致图象为（）A. B.C. D.9.在中，已知，，，则的面积为（）A. B.或 C. D.10.如图，在中，，，以AC为直径的半圆上有一点M，，则（）A. B. C. D.11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，则的最小值是（）A.8 B.10 C.13 D.1512.设，，，则（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.已知实数，满足约束条件，则的最大值为______.14.已知，则______.15.在直三棱柱中，是等边三角形，，在该三棱柱的外接球内随机取一点，则点在三棱柱内的概率为_____________.16.定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.（本小题满分12分）已知等差数列的公差为，前项和为，且满足______（从①；②，，成等比数列；③这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）.（1）求；（2）设，数列的前项和为，求.18.（本小题满分12分）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球.（1）求“两球颜色相同”的概率；（2）设表示所取白球的个数，求的概率分布列.19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，AB是外接圆的直径，PC垂直于圆所在的平面，D、E分别是棱PB、PC的中点.（1）求证：平面PAC；（2）若二面角为，，求AE与平面ACD所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且与轴垂直.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为A，O为坐标原点，过作斜率大于0的直线交椭圆于M、N两点，若与的面积比为2：3，求直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，共10分，如果多作，则按所作的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（1）求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）记为直线与曲线的一个交点，求的面积.23.（本小题满分10分））选修44-55：不等式选讲已知，函数的最大值为4，（1）求实数的值；（2）若实数，，满足，求的最小值.郫都区2022-2023学年高三下学期阶段性检测（三）数学（理）参考答案题号123456789101112答案DCBCCABABACD14.-14.-4515.16.17.解：（1）①由，得，即；②由，，成等比数列，得，，即；③由，得，即；选择①②､①③､②③条件组合，均得，.故.（2）∴.18.（1）解：从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为.从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为.故“两球颜色相同”的概率.（2）解：由题意可得，所有可能取值为0、1、2....故的分布列如下表所示：012P19.证明：（1）因为是圆的直径，所以.因为垂直于圆所在的平面，平面，所以.又因为，平面，平面PAC.所以平面.因为分别是棱的中点.所以.从而有平面.（2）由（1）可知，平面，平面.所以又因为平面，平面，所以为二面角的平面角.从而有，则，又，得.以C为坐标原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，所以，，.设是平面的一个法向量.则，即，可取.设AE与平面ACD所成角为故.所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.20.解：（1）由题意得，，.则，即.∴.故的方程为.（2）设直线的方程为，，，不妨设M在第一象限.直线与椭圆方程联立，消去，得.，.∵，，与的面积比为，∴，整理得.∴，，即，解得.∵，∴，直线的方程为，即.解：（1）当时，，则.令，则.所以当时，当时.即在上单调递减，在上单调递增.又，且当时，，则，所以当时，当时，即当时，当时.所以在上单调递减，在上单调递增.（2）解法一：因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，即关于的方程有两个不同的解.当时，方程不成立，所以，令，，则与的图象有两个交点.又.令，解得或.令，得或.所以在，上单调递增，在，上单调递减.当时，取得极大值.当时，取得极小值.因为，且当时，.所以的取值范围是.解法二：因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，即关于的方程有两个不同的解.当时，方程不成立，所以，令，，，设直线与函数的图象切于点.则.∴.∴或.当时，；当时，.结合函数的图像可知或.∴或.22.解：（1）由直线的参数方程可得直线的普通方程为.将代入得故直线的极坐标方程为.而曲线，即，则.故曲线的直角坐标方程为.（2）解法一：由，可得或，因为点的极坐标为，直线的普通方程为.所以，故无论在何处，为定