新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数3.3对数函数的图象与性质课件湘教版必修第一册

4.3.3

对数函数的图象与性质1|对数函数的概念对数运算①

y=logax

(x>0,a>0且a≠1)确定了一个函数,叫作(以a为底的)对

数函数.2|对数函数的图象与性质函数对数函数y=logax(a>0,且a≠1)图象

定义域②(0,+∞)

值域(-∞,+∞)图象经过点(1,0)增减性a>1时递增;0<a<1时递减一般地,指数函数③

y=ax

与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.它

们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.3|反函数1.函数y=log2(2x)是对数函数.

(

✕)2.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,则函数y=logax在(0,+∞)上也是增函数.

(√)提示:因为函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,所以a>1,所以y=logax在(0,+∞)上

也是增函数.3.函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.

(√)4.函数y=log3(x+1)的定义域是(0,+∞).

(

✕)提示:由对数式log3(x+1)的真数x+1>0可得x>-1,所以函数的定义域为(-1,+∞).5.函数y=logax+1(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,1).

(√)判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.提示:因为对数函数y=logax的图象过定点(1,0),所以函数y=logax+1的图象过定点(1,1).1|对数函数的图象及其应用1.对数型函数图象过定点问题求函数y=m+loga

f(x)(a>0,且a≠1)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定

点为(x,m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左

向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.3.函数图象的变换规律(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或

向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.设a,b是关于x的方程|lgx|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc的取值范围

是(0,1)

.思路点拨根据题意作出函数y=|lgx|的图象和直线y=c,观察图象即可求解.解析

由题意知,在x∈(0,10)上,函数y=|lgx|的图象和直线y=c有两个交点,作出函

数y=|lgx|的图象与直线y=c,如图所示,

结合图象可知,|lga|=|lgb|=c,又a<b<10,∴-lga=lgb=c,∴ab=1,0<c<lg10=1,∴abc的取值范围是(0,1).2|与对数函数有关的定义域、值域问题1.对数型函数的定义域(1)求对数型函数的定义域,要注意真数大于0,即在y=loga

f(x)(a>0,且a≠1)中应首

先保证f(x)>0;(2)若底数中也含有变量,则底数应大于0且不等于1.2.求对数型函数值域的常用方法(1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,通过对函数定义

域、性质的观察,结合解析式,直接得出函数的值域.(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠

0,a>0,且a≠1))时,可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函

数的值域.(4)换元法:求形如y=loga

f(x)(a>0,且a≠1)的函数值域的步骤:①换元,令u=f(x),利用

函数的图象和性质求出u的范围;②利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范

围.(1)求函数f(x)=lo

(x2+2x+3)的值域;(2)求函数y=(lo

x)2-

lo

x+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.思路点拨确定函数的复合形式,由定义域求中间变量范围,由中间变量范围求函数值域.解析

(1)f(x)=lo

(x2+2x+3)=lo

[(x+1)2+2],因为(x+1)2+2≥2,所以lo

[(x+1)2+2]≤lo

2=-1,所以函数f(x)的值域是(-∞,-1].(2)因为2≤x≤4,所以lo

2≥lo

x≥lo

4,即-1≥lo

x≥-2.设t=lo

x,则-2≤t≤-1,所以y=t2-

t+5,其图象的对称轴为直线t=

,因此y=t2-

t+5在[-2,-1]上单调递减,所以当t=-2,即x=4时,ymax=10;当t=-1,即x=2时,ymin=

.易错警示解题时要注意函数定义域对解题的影响,避免因不求定义域导致解题错误.3|与对数函数有关的复合函数的单调性求复合函数的单调性要抓住两个要点:(1)单调区间是定义域的子集.(2)若a>1,则y=loga

f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0<a<1,则y=loga

f(x)的单

调性与y=f(x)的单调性相反.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是

(

D)A.(-∞,-2)

B.(-∞,1)C.(1,+∞)

D.(4,+∞)思路点拨根据“同增异减”求解单调区间,注意对数的真数大于零.解析

由x2-2x-8>0得x<-2或x>4,即x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),令t=x2-2x-8,则y=lnt(t>0),且y=lnt是增函数,又∵t=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减,∴函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),故选D.易错警示解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据“同

增异减”原则判断函数的单调性.4|如何比较对数值的大小比较对数值大小常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同,找中间量.(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨

论.设a=log2

,b=log3

,c=lo

,则a,b,c的大小关系是

(

B)A.c>b>a

B.c>a>bC.a>c>b

D.a>b>c思路点拨不同底的对数比较大小时,可以找中间值0,1等比较.解析

a=log23-1,b=log34-1,c=lo

=lo

4-1=log34,易得log23=lo

33=log827,log34=lo

42=log916,∵log827>log927>log916,∴log23>log34,∴log23-1>log34-1,即a>b.∵log23<log24=2,∴log23-1<1.又log34>log33=1,∴log34>log23-1,即c>a,∴c>a>b,故选B.5|如何解对数不等式对数不等式的类型及解题方法(1)形如loga

f(x)>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确

定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论;(2)形如loga

f(x)>b的不等式,应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借

助函数y=logax的单调性求解;(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图

象求解.解下列关于x的不等式:(1)loga(2x-5)>loga(x-1);(2)logx

>1.思路点拨根据对数函数的单调性和定义域建立不等式(组)求解.解析

(1)当a>1时,原不等式