新教材高中数学第二章平面解析几何6双曲线及其方程2双曲线的几何性质学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE8双曲线的几何性质课标解读课标要求素养要求1.了解双曲线的简单几何性质.2.通过双曲线的学习，进一不体会数形结合的思想.1.直观想象——能依据双曲线的方程和图形研究其几何性质.2.数学运算——能利用双曲线的简单几何性质求其方程，或根据双曲线的方程求其简单几何性质.自主学习·必备知识教材研习教材原句1.双曲线的几何性质标准方程xy图形性质焦点F1(-c，0)F1(0,-c)焦距|范围①x≤-a或x≥ay≥a或y≤-a对称性对称轴：②x轴、y轴，对称中心：③坐标原点顶点A1(-a,0)A1(0,-a)轴长实轴长=④2a，虚轴长=⑤2b离心率e渐近线y=±y=±2.等轴双曲线实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，它的渐进线方程是⑥y=±x，离心率为2.自主思考1.双曲线y2答案：提示y轴.2.双曲线x2答案：提示e=3.等轴双曲线的渐进线方程与双曲线的方程有关吗？答案：提示没有关系，所有等轴双曲线的渐进方程都是y=±x.名师点睛1.对双曲线渐近线的四点说明（1）随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．（2）由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．（3）由双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形．（4）e=ca=a2+b22.等轴双曲线的性质（1）①渐近线方程为y=±x；②渐近线互相垂直；③离心率e=（2）等轴双曲线可以设为x2-y2=λ(λ≠0)，当λ＞0时，焦点在x互动探究·关键能力探究点一双曲线的几何性质精讲精练例（1）（2021山东济宁高二期中）点M为双曲线y22-x2A.1B.2C.2D.2（2）求双曲线x2答案：（1）B解析：（1）设M(x,y)，则|OM|=x∵点M在双曲线y2∴x2=∴|OM|=y∴|OM|的最小值是2.答案：（2）将方程x2-3y∴a2=4∴a=2，b=23，∴c=∴双曲线的实轴长2a=4，虚轴长2b=43焦点坐标为(0,-4),(0,4)，顶点坐标为(0,-2),(0,2)，渐近线方程为y=±33x解题感悟迁移应用1.（2021山东威海高二期中）若双曲线C:y2a2-x2A.4B.230C.12D.答案：B解析：∵双曲线C与双曲线D有相同的渐近线，∴可设双曲线C的方程为x2将(2,6)代入可得λ=1-6=-5，∴双曲线C的方程为y230-x220=12.（多选）（2020山师附中高二月考）关于双曲线C1:xA.它们有相同的渐近线B.它们有相同的顶点C.它们的离心率不相等D.它们的焦距相等答案：C;D解析：双曲线C1的渐近线方程为y=±43x，双曲线C2的渐近线方程为y=±34x，故A中说法错误；双曲线双曲线C1的离心率e1=c1a1双曲线C1的焦距2c1=10，双曲线探究点二由双曲线的性质求方程精讲精练例（1）已知双曲线的渐近线方程为y=±2A.xB.x24C.xD.x216（2）若双曲线过点(3,92)，离心率答案：（1）D（2）y解析：（1）解法一：当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程可设为x2由ba=222a=8当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程可设为y2由ba=222a=8所以双曲线的方程为x216-解法二：因为双曲线的渐近线方程为y=±22x，所以设双曲线的方程为x因为双曲线的实轴长为8，所以当λ＞0时，22λ=8，解得λ=8，所以双曲线的方程为当λ＜0时，2-λ=8，解得λ=-16，所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为x216-（2）由e2=109，得c2a2所以所求双曲线的方程为x29k-把(3,92)代入①，得k=-161，与把(3,92)代入②，得k=9，故所求双曲线的方程为解题感悟由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法.（1）当焦点位置明确时，直接设出双曲线的标准方程即可；当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论，直接把双曲线方程设成mx（2）当双曲线的渐近线方程为y=±ba迁移应用1.（2020江西临川一中高二期中）已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，且双曲线过点P(1,3)，则该双曲线的标准方程为()A.x24C.x21答案：B解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2则渐近线方程为y=±bax所以双曲线的方程为x2a2-y所以双曲线的方程为x2当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2则渐近线方程为y=±abx所以双曲线的方程为y24b所以该双曲线的标准方程为x22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点坐标为(2,0)，直线A.x2-C.x22答案：A解析：由题意可知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0，c=2，将x=2代入双曲线方程，可得y=±b2a则点P到两条渐近线的距离之和为2b+，∵a2+b2因此双曲线C的方程为x2探究点三双曲线几何性质的应用精讲精练例（1）（2021陕西宝鸡高二期末）若双曲线y25-x2A.(0,5)B.(5,10)C.(0,15)D.(-15,0)（2）（2021山东枣庄高二期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)，A，B是双曲线C上关于原点对称的两点，P是双曲线A.2B.3C.2D.5答案：（1）C（2）B解析：（1）∵双曲线的方程为y25-∴e∵e∈(1,2)，∴∴1<5+m5<4，∴0＜m＜15（2）根据题意，设点A(m,n)，P(k,t)，则B(-m,-n)，m2a2-n2b2=1，k解题感悟求双曲线离心率的常见方法：（1）依据条件求出a，c，再计算e=（2）依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成关于离心率e的方程求解；另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后，利用迁移应用1.（2020山东济南高二期末）设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞b＞0)的半焦距为c，直线lA.2B.2或233C.2答案：D解析：易知直线l的方程为xa+y∴原点到直线l的距离为|-ab|a∴4ab=3c2，即16a2∴16a2c解得e=233或e=2，∵0＜b＜a2.（2021广东珠海斗门第一中学高二月考）已知椭圆C:x216+yA.22B.23C.4D.6答案：B解析：因为椭圆C:x216所以双曲线C':x24-y评价检测·素养提升1.（2021天津河东高二期末）双曲线4xA.y=±32