新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用2空间中的平面与空间向量第1课时平面的法向量及线面位置关系训练含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE7第1课时平面的法向量及线面位置关系基础达标练1.（多选）（2021江苏南京第十四中学高二月考）已知A(-4,6,-1),B(4,3,2),则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是()A.(-154C.(-15,4,36)D.(15,4,-36)答案：B;D2.若直线l的一个方向向量为a=(1,-2,3),平面α的一个法向量为nA.l⊂αB.l∥αC.l⊥αD.l与α相交答案：C3.已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,1),直线AB与平面α相交但不垂直,则向量ABA.(-2,2,-2)B.(1,3,2)C.(2,1,-1)D.(1,2,3)答案：D4.（多选）在正方体ABCD-A1B1CA.A1E⊥AC1C.BF⊥DGD.A答案：B;C;D解析：设正方体的棱长为1,以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、则A1(1,0,1),E(1,1则A1A1E⋅AC显然平面ADD1A所以BF∥平面ADDBF⋅DG=0A1E=-5.平面α的一个法向量为m=(k,2 k,100),直线l的一个方向向量为n=(k,-1,0),若答案：0或26.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C（1）求向量HN的模;（2）点P是线段AA1上一点,且A1P=答案：（1）由题意知,CA,CB,CC1两两垂直,∴以C为原点,CA,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A∵N,H分别为A1∴H(0,1则HN=(1,-（2）证明：由题意可知,P(1,0,3设平面C1MP的一个法向量为则n令x=1,∴y=-1,z=-2,∴n=(1,-1,2),又A1素养提升练7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90∘,AB=AC=AA1=2,D是A.(0,1,2)B.(0,C.(0,14答案：A解析：根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(0,2,0),(-2,0,2),A1C1=(0,2,0),由A1E=λA1C1=(0,2λ,0),得点令x=1,得y=z=1,所以n=(1,1,1),所以n⋅DE=-2+2λ+1=0,解得8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是BC,DD答案：1解析：以D1为原点,以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系（图略),设CE=x,DF=y,则E(x,1,1),F(0,0,1-y),A(1,0,1),9.如图所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12AP=2,D是AP的中点,E、F、G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.请用向量法证明AP∥答案：证明如图,以D为原点,DA,DC,DP的方向为则P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0).AP=(-2,0,2),设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)∴令x=z=1,∴n∵n⋅AP=1×(-2)+0×0+1×2=0,∴n⊥创新拓展练10.如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G是BC,PC,CD的中点.（1）求证：BG⊥平面PAE;（2）在线段BG上是否存在点H,使得FH∥平面PAE？若存在,求出BHBG解析：命题分析本题以四棱锥为载体,应用空间向量解决线面垂直问题以及线面平行的探索性问题,体现了数与形的灵活转化,体现了向量在解决立体几何问题中的工具性.答题要领（1）以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,证出BG⋅AP=0（2）假设存在,利用线面垂直的定义证出FH⋅答案：详细解析（1）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形,且PA⊥平面ABCD,所以AP,AB,AD两两互相垂直.以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),因为E,F,G分别是BC,PC,CD的中点,所以E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0),所以BG=(-1,2,0),所以BG⋅AP=0,且BG⋅AE=0.所以所以BG⊥平面PAE.（2）存在.理由：如图,假设在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE.设BH=λBG(0≤λ≤1)因为FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE,所以FH⋅BG=(-1)×(1-λ)+2×(2λ-1)+0×(-1)=5λ-3所以在线段BG上存在点