讲连续函数性质与致连续性

1010第讲

闭区间上连函数的整体质与一致连授题教内教学目的和求教学重点及点教学方法及教材处理示

闭区间上连续函数的整体性质与一致连续连函数的局部性质，2.区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，闭区间上连续函数的介值性定理，零点定理反函数的连续性，函的一致连续性．通过本次课的教学，使学生能够较好地理解闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，熟练地应用零点定理讨论方程根地问题；对较好学要求他们能理解函数的一致连续性.教学重点：零点定理，函数的一致连续性；教学难点：函数的一致连续性虽闭区间上连续函数的整体性质（最大最小值定理，有界性定理，介值性定理不能作出证明，可以通过连续函数的直观图像来加以说明，帮助学生理解这些性质。零定理是一个重点内容且应用较广，除要给出完整的证明过程外，还要布置相的练习题。本的难点是函数的一致连续性，在此对较好学生布置判别函数一致连续性的题．作布

作业内容：教材

81

:6，9，，，，19.讲授内容一、连函数的局部质定4.1(局部有界性)若函数f在x连续，则在U0

0

内有界．定(局部保号性)若函数

f

在点

x

0

连续，且

f

0

(或)，对任何正数

rf

0

(或r0

)，存在某

U0

，使得对一切

xU0

，

或

）注用局部保号性时

r

12

f00

时在某

U0

使在其内有

f2二、闭间上连续函的基本质定设

f

为定义在数集

D

上的函数．若存在

xD0

，使得对一切

xD

有f00

，则称在上最大(小)值，并称

f

0

为在上最大最小值．定4.6(最大、最小值定若函数f在区间

f在最小值．推(有界性定理)若数

f

在闭区间

f

在

定(值性定理设数f在闭区间

f间的任何实数

(f

f

f

x0

0

./

推(根的存在定理)若函数在区间

f

f

)，则至少存在一点

x0

0

，即方程

f这个推论的几何解释如图—3所示若

分别在

轴的两侧则接

、

的连续曲线

yf一交点．应用介值性定理还易推得连续函数的下述性质

f

在区间

I

上连续且不是常量函数域

f也是一个区间特别

I

为闭区间

M

最小值为

m

则

f例3证明：若r，n为整数，则存在唯一正数x，得0

n0

r(x称为r的n次正根即算术根，0r记作)．0证先证存在性于当

x

时有

x存在正数使得a

因

f上连续，并有

f存在一点

x0

0

x

n0

．再证唯一性．设正数x使得x

，则有

n0

1

01

n011

，由于第二个括号内的数为正，所以只能

x01

，即

x1

0

例4设f在

f

x0

0

x

0

证由件

f

x

，特别有

以及

f

．若

af或而0

af

，则

F

．故由根的存在性定理，存在

x0

0

，即

f

0

x0从本例的证明过程可见，在应用介值性定理或根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅函如/

n1n1在本例中令

F

)，可收到事半功倍的效果．三、反数的连续性定4.8若数f在续则函数

f

在其定义域

续．例5

由于

yx

在区间

2

上严格单调且连续，故其反函数x区间同理可得其它反三角函数也在相应的定义区间上连续arccos

在

yx

在

上连续等．例

由于y(为正整数)在

[0,

1上严格单调且连续，故y在

上连续．又若把1yx

(为正整)看作由

1yu与

1x

复合而成的函数，则

1yx

在

1综上可知，若

为非零整数，则

q

是其定义区间上的连续函数．例

证明：有理幂函数

yx

在其定义区间上连续．证设有理数

这

pqu

1q

与x在其定义区间上连续以复合函数

x

x

也是其定义区间上的连续函数。四、一连续性函数

f

在区间上连续，是指

f

在该区间上每一点都连续．本段中讨论的一致连续性概念反映了函数在区间上更强的连续性．定2设

f

为定义在区间

I

上的函数．若对任给

，在

0

，使得对任何

x

，只要：

，则称函数在区间I上一连．例

证明

f

上一致连续．证任

0

，由于

f

ax

，可选取

a

，则对任何

x

只要

．所以

f

上一致连续．例9证明函数

y

1x

在

管在

．/

证按一致连续性的定义，为证函数f在某区间I上一致连续，只须证明：存在某

0

0

，对任何正数

(不论

多么小，总存在两点

x

，尽管

，但有

f

0

.对于函数

y

1x

，可取

0

1，对无论多么小的正数要2x

x

（图虽有x22

，但

1xx

，所以

y

1x

在

定4.9(一致连续性定若数

f

在闭区间

f

在

[b

]上一致连续．例10设间I的端点为

cI

，区间I的端点也为

cI(II

可分别为有限或无限区间．试按一致连续性的定义证明：若分在I和I上致连续，则f在II2

I

上也一致连续．证任给

0

，由

f

在

I

和

I

上的一致连续性，分别存在正数

和

，使得对任何

x

，只要

1

，就有

f

；（）又对任何

x

，只要

2

，也有）式成立．点

x

作为

I

的右端点，

f

在点

为左连续，作为

I

的左端点，

f

在点

为右连续，所以

f

在点

连续．故对上述

，存在

3

，当

3

时有

f

2

．（）令

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