2021-2022学年河南省开封市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2021-2022学年河南省开封市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.A.

B.0

C.

D.1

2.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面

3.

4.A.连续且可导B.连续且不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续

5.设y=2-x，则y'等于()。A.2-xx

B.-2-x

C.2-xln2

D.-2-xln2

6.设二元函数z=xy，则点P0(0，0)A.为z的驻点，但不为极值点B.为z的驻点，且为极大值点C.为z的驻点，且为极小值点D.不为z的驻点，也不为极值点

7.（）A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.无关条件

8.

9.（）。A.2ex＋C

B.ex＋C

C.2e2x＋C

D.e2x＋C

10.A.A.2B.1C.0D.-111.下列命题中正确的有（）A.A.

B.

C.

D.

12.

13.下列命题正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

14.

15.

16.若x0为f(x)的极值点，则()．A.A.f'(x0)必定存在，且f'(x0)=0

B.f'(x0)必定存在，但f'(x0)不一定等于零

C.f'(x0)不存在或f'(x0)=0

D.f'(x0)必定不存在

17.

18.当x→0时，x2是x-ln(1+x)的()．

A.较高阶的无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.较低阶的无穷小19.A.0B.1C.2D.420.设y＝sin(x-2)，则dy＝（）A.A.－cosxdx

B.cosxdX

C.－cos(x－2)dx

D.cos(x－2)dx

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.31.

32.

33.

34.

35.

36.37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

42.

43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．45.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．46.求微分方程的通解．

47.

48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

49.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．50.

51.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则52.证明：53.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．54.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

56.57.求曲线在点(1，3)处的切线方程．58.59.

60.四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.65.

66.

67.求垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程．68.设区域D由x2+y2≤1，x≥0，y≥0所围成．求69.

70.

五、高等数学(0题)71.

________.

六、解答题(0题)72.判定曲线y=3x3-4x2-x＋1的凹向．

参考答案

1.D本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．

可知应选D．

2.C本题考查的知识点为二次曲面的方程。

将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C。

3.B解析：

4.B

5.D本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则。由于y=2-xY'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2．考生易错误选C，这是求复合函数的导数时丢掉项而造成的!因此考生应熟记：若y=f(u)，u=u(x)，则

不要丢项。

6.A

7.D内的概念，与f(x)在点x0处是否有定义无关．

8.C

9.B

10.Df(x)为分式，当x=-1时，分母x+1=0，分式没有意义，因此点

x=-1为f(x)的间断点，故选D。

11.B

12.A

13.D本题考查的知识点为收敛级数的性质和绝对收敛的概念．

由绝对收敛级数的性质“绝对收敛的级数必定收敛”可知应选D．

14.A

15.B

16.C本题考查的知识点为函数极值点的性质．

若x0为函数y=f(x)的极值点，则可能出现两种情形：

(1)f(x)在点x0处不可导，如y=|x|，在点x0=0处f(x)不可导，但是点x0=0为f(a)=|x|的极值点．

(2)f(x)在点x0可导，则由极值的必要条件可知，必定有f'(x0)=0．

从题目的选项可知应选C．

本题常见的错误是选A．其原因是考生将极值的必要条件：“若f(x)在点x0可导，且x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0”认为是极值的充分必要条件．

17.D

18.C解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

由于

可知当x→0时，x2与x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小．故应选C．

19.A本题考查了二重积分的知识点。

20.D本题考查的知识点为微分运算．

可知应选D．

21.

22.1+2ln2

23.(-33)

24.

25.ln|1-cosx|+Cln|1-cosx|+C解析：

26.极大值为8极大值为8

27.本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。

28.2

29.(1+x)ex(1+x)ex

解析：30.1/6

本题考查的知识点为计算二重积分．

31.4π本题考查了二重积分的知识点。

32.22解析：33.

本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

二阶线性常系数齐次微分方程求解的－般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解．

34.(00)

35.00解析：

36.本题考查了交换积分次序的知识点。37.ln(1+x)本题考查的知识点为可变上限积分求导．

38.-2y39.e-1/2

40.0＜k≤1

41.

42.

43.

列表：

说明

44.由二重积分物理意义知

45.

46.

47.

48.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

49.

50.由一阶线性微分方程通解公式有

51.由等价无穷小量的定义可知

52.

53.函数的定义域为

注意

54.

55.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

56.

57.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

58.

59.

则

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.67.由于直线2x-6y+1=0的斜率k=1/3，与其垂直的直线的斜率k1=-1/k=-3．对于y=x3+3x25，y'=3x2+6x．由题意应有3x2+6x=-3，因此x2+2x+1=0，x=-1，此时y=(-1)3+3(-1)2-5=-3．即切点为(-1，-3)．切线方程为y+3=-3(x+1)，或写为3x+y+6=0．本题考查的知识点为求曲线的切线方程．

求曲线y=f(x，y)的切线方程，通常要找出切点及函数在切点处的导数值．所给问题没有给