考研主任2012数一真题及解析

2012年入学统一考一、选择题：1～8432分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

x2

x1x1x2limx2x1y1xx2f'(xex(e2x2)(enxnex1)(2e2x2)(enxn(ex1)(e2x2)(nenxf'(0【答案】f(x,【解析由于f(x,y)在0,0处连续，可知如果lim 存在，则必有f(0,0)limf(x,y)

x2y

这样，limf(x,x2

就可以写成limf(xyf(0

x

f(x,y)f(0,x2

f(x,y)f(0,0) x2f(x,y)f(0,0)0x0x2【答案】：

x2y2f(xy在(0,0【解析】：

kkek

sinxdxkI'ek2sink0,k0,，即可知 kex2sinxdx关于k在0,上为单调 e函数，又由于12,30,，则I1I2I3，故选（C） 1,3,4

c1

0，可知1,3,4线性相关。故选（B）

Q

1 0 0 1

，则

0 1 1

P1 故

AQ

0 （B

1 1 1

2 1 （A）ex4y,x0,yX,Yf(xy0，其PXYf(x,y)dxdydxyex4ydxe5ydyx xyxy1,yx1，故两者是线性关系，且是负相关，所以二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在指定位置上 微分方程f(x)f(x)2f(x)的通解为f(x)CexCe2x.再由f'(x)f(x)2ex得2CexCe2x2ex，可知C 0 f(x【答案】2

令tx1得0

2xx2dx (t

1t2dt

1t2dt2 z 1y【解析：gradxy y

y,xy2,y

（12【答案】【解析：由曲面积分的计 可知y2dsy21(1)2(1)2dxdy 3y2dxdy，其 D(x,y)|

0,y0,xy1。故原式

13131

y2dx

y2(1y)dy

化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也rExxT2【答案】 AB【解析：由条件概率的定义，PABC P 其中PC1PC1 1PABCPABPABC PABC，由于A,C互不相容，即ACPAC0，2ABCACPABC0，代入PABC

三、解答题：15—2394分.请将解答写在指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或【解析】：fxxln1xcosx

x21 f'xln1xx1x sinx1 1x1ln1x1

sinxln1x1x2□xsin1 1当0x1时，有

11

0

11

11

f'x0f00，即xln1xcosx

x211 cosx 11

1 当1x0，有

11

0

11

11

xx0，即xln1xcosx1x2让考研更轻松！1 可知，xln1xcosx1x2,1x11x x2【解析：fx,yxe 2先求函数的驻点.fxyex0,fxyy0，解得函数为驻点为e,0 Afxxe01,Bfxye00,Cfe0B2AC0,A0fxy在点e,0fe,01e22Rlim

lim

4n24n

n14n12n1

2n1 4n24n24n32n4n124n14n24n3S(x)

2n x4n24n30S(t)dt

x2n

4n24n2n

x2n发4n24n 2n 112n

4n24n32n

2n收x1,1为函数的收敛 和函 为S(x)n04n24n3x2n2n （1）L在任一处(xy)的切线斜率为dysint(x,y)处的切线为 fYcostsintXf(t)f

Xf(tcostf(t.Y故有f(tcottf(tf(t)2cos2t1f(t0(0t2f(t)sintf(tlnsecttantsintCf(0)0所以C0.f(tlnsecttantsintS2costf(t)dt 【解析设圆x2y22x为圆C,圆x2y24为圆C，下补线利用即可，设所补直线L x0(0y

3x2ydx(x3x2y)dy3x2ydx(x3x2D(3x213x2)dxdy022D1

4

2 ：（

01 aa(1)41

1 1 1 0 0

a 0 04 4 1

aa2 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有1a40及aa20a110 1 010001 001

1，进一步化为行最简形得

0

0 0

0 0 可知导出组的基础解系为， 方程的特解为 ，故其通解为k 1Axb2个不同的解，有|A|0

0 0

0 0即 A

01)21)0，得1或- 当1

，显然不符，故 1

2 x 1 3

a10a fxTATAxx,x,x

让考研更轻松2x 3 2

3 4x32x22x24x24xx4x 1 2 2 则矩阵B 2 4 EB

261对于0,解EBX0得对应的特征向量为：1 对于2,解EBX0得对应的特征向量为： 0 0 1对于6,解EBX0得对应的特征向量为：1 将1,2,3单位化1 1 1

2211，11，

11211 3

62 2 Q1,2,3【解析】X012PY012P0124P0（1）PX2YPX0,Y0PX2,Y110 （2）covXY,YcovX,YcovY,Y233 32，covXY,Y2,XY033covX,YEXYEXEYEX2EX21233 32，covXY,Y2,XY033DYEY2EY2

51

2,EXY covX,Y0covY,Y（1）X~N(,2),Y~N(22X与YZXY~N(0,52 所以，Z的概率密度为f(z,2) e102,(zn 1n

L(2)f(zi

) ne10

1022