高中数学正方形与对称、旋转练习题（含答案）

几何复习——正方形当我们学习完了全等、勾股、相似，平移、对称、旋转，如果还想再加点料的话，不妨看看正方形．正方形是一种既简单又复杂的图形，其图形本身很基本、简单，因而在此基础上可以作很多复杂的变形与构造，我们所知的几何内容，一个都不缺．本专题以近两年中考题为例，简单了解关于正方形在中考题中的应用．一、正方形与对称正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数．（2019·兰州）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则A． B． C． D．【分析】由题意可得：DF⊥EC，易证△DOM≌△COE，∴OM=OE=DE-DO=．故选D．【长度的计算——勾股定理】（2019·青岛）如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若AD=4，则的长为．【分析】∵E点是CD中点，∴，∴，由折叠可知AG=AB=4，∴，设CF=x，则，，在Rt△EFG中，，在Rt△CEF中，，∴，解得：．∴CF的长为．【对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分】（2019·天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为．【分析】易证△ADE≌△BAF，∴AF=DE=5，BF=13，记AE与BF交点为H，，又，∴，，∴．故GE的长为．

（2019·上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是．【分析】如图，点F如图所示，连接BF、DF、EF、AF，记AF与BE交点为H，由对称可知AF⊥BE，点H是AF中点，又点E是AD中点，∴EH是△DF边所对的中位线，∴EH∥DF，∴∠EDF=∠AEB，∴tan∠EDF=tan∠AEB=2．【构造对称——将军饮马问题】（2019·陕西）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为．【分析】作点M关于BD的对称点，根据对称性可知在AB上且，连接，则，∴，当、N、P共线时，此时，取到最大值．∵，∴∽△ABC，即是等腰直角三角形，∴，故PM-PN的最大值为2．（2019·安徽）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是A．0 B．4 C．6 D．8【分析】可以先考虑一边上点P的数量，再由对称性得所有点P的个数．考虑在AD上任取一点P，所得PE+PF的最小值和最大值．先求PE+PF最小值：作点E关于直线AD的对称点，连接、，则PE+PF=，当、P、F共线时，取到最小值，此时，显然>9，∴在AD上存在两个点P使得PE+PF=9，在正方形的边上有8个这样的点P，故本题选D．

二、正方形与旋转关于旋转，关注点在于①绕哪个点旋转；②是否是特殊角度．对于正方形，可绕其中一顶点旋转，可绕对角线交点旋转，大致如下：（1）绕顶点旋转的手拉手模型（2）绕O点的等腰直角共点旋转（2017·南充）如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③，其中正确结论是（填序号）【分析】①②显然正确，下分析③：连接BD、EG，，记BE、DG交点为H点，，，，，∴，∴．故正确的结论有①②③．（2019·东营）如图，在正方形中，点是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④【分析】易证△COE≌△DOF，故结论①正确；∠EOF=∠ECF=90°，∴O、E、C、F四点共圆，∴∠COE=∠CFE，又∠OGE=∠FGC，∴△OGE∽△FGC，故结论②正确；∵△OEC≌△OFD，∴，故结论③正确；易证△OGE∽△OEC，∴，∴，∵，∴，故结论④错误．综上，选B．

（2019·葫芦岛）如图，点是正方形的对角线延长线上的一点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是（填写所有正确结论的序号）【分析】（1）过点P分别作PM⊥BA、PN⊥BE，交BA延长线于点M，交BE边于点N，易证△PMA≌△PNE，∴PA=PE．故结论①正确．（2）过点P作PG⊥BP交AD延长线于点G，易证△PDG是等腰直角三角形，PD=PG，连接GE，易证△PDA≌△PGE，∴∠PGE=∠PDA=135°，∴∠DGE=90°，∴四边形CDGE是矩形，∴CF=DG，∵，∴．（3）考虑到BF与PD无法直接相减，可转化线段．∵，，，∴，∴．故结论③正确．（4）易证△PDA≌△PGE，显然，∴，故结论④错误．综上所述，正确的结论有①②③．若已知旋转，寻找其中的全等或相似即可，而构造旋转，往往更考验对图形构造及旋转的理解．关于正方形的共点旋转，有如下结论：在正方形ABCD中，点P是正方形内一点，若满足∠APD=135°，则有．反之，若，则∠APD=135°．（在旋转章节中有过介绍）（2018·烟台）【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点逆时针旋转，得到△，连接，求出的度数；思路二：将△APB绕点顺时针旋转，得到△，连接，求出的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点是正方形外一点，，，，求的度数．【分析】（1）思路1：如图，是等腰直角三角形，∴，，又AP=1，，∴是直角三角形，∴=90°，∴，思路2：类似．（2）过点B作⊥BP，且满足，连接、，易证≌，即相当于将△CBP绕点B逆时针旋转90°，，，又AB=3，故是直角三角形，∴，在等腰直角中，，∴∠APB=45°．

（2018·襄阳）如图（1），已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为点．（1）证明与推断：①求证：四边形是正方形；②推断：的值为（2）探究与证明：将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长交于点．若，，则．

【分析】（1）①∵∠GFC=∠GEC=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，又CG平分∠ECF，∴GF=GE，∴矩形ECFG是正方形．②过点G作GH⊥AB交AB于点H，则GH=EB，，∴．（2）连接CG，易证△CEB∽△CGA，∴．（3）过点H分别作HM、HN垂直AG、AC，M、N是垂足，∵，∴，又AG=6，∴AM=4，，∴tan∠AHM=2，∵∠AHN=45°，∴，∴∠CHN=∠AHM，∴tan∠CHN=2，∴，，∴．

三、反相似手拉手模型在上一个例题中不难得出这样一个图形：若连接两个正方形的对角线，则会有一组旋转型相似，这里其实利用的是等腰直角三角形直角边与斜边的比例关系，可将图形简化如下：连接起对角线，转化成等腰直角三角形，则还另有结论．如图，正方形ABCD与正方形CEFG共顶点C，连接CA、CF，取AF中点M．连接ME、MD，则有：MD=ME，ME⊥ME．连接MB、MG，则有：MB=MG，MB⊥MG．

在说这个证明之前，我们要说说一个模型：反相似手拉手模型（苏州学而思徐杰老师取名）手拉手模型：四线共点、两两相等、夹角相等，即可构成一组旋转型全等，称之为手拉手模型．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，即可得：△ABD≌△ACE．手拉手相似：改变全等的条件，即线段由相等变为成比例，AB:AC=AD:AE，∠BAC=∠DAE，即可构成手拉手相似．当△ABC和△ADE为直角三角形，且∠BAC=∠DAE，可得△ABE∽△ACE．反相似手拉手：将其中一个三角形“反”过来，故称反相似手拉手．特别地，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，则有FC=FE，FC⊥FE．

【例题】在△ABC中，分别以AB、AC为斜边分别向外侧作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，F为BC边中点，连接DF、EF，求证：DF=EF，DF⊥EF．法1（构造斜边中线与中位线）：分别取AB、AC边中点M、N，连接MD、MF、NF、NE，∵M点为AB中点，∴，∵N、F分别为AC和BC中点，∴，∴MD=NF．同理可证：MF=NE，∵MF∥AC，NF∥AB，∴∠BMF=∠BAC=∠CNF，∴∠DMF=90°+∠BMF=90°+∠CNF=∠FNE，在△DMF和△FNE中，∴△DMF≌△FNE（SAS）∴DF=EF．∵∠MDF+∠BMF+∠DFM=90°，∴∠DFM+∠MFN+∠NFE=90°，即∠DFE=90°．∴DF=EF且DF⊥EF．

法2（将反相似手拉手补充成手拉手全等模型）：作AM⊥AB交BD的延长线于M点，作AN⊥AC交CE的延长线于N点，连接CM、BN，由题意得：△ABM和△CAN均为等腰直角三角形，AM=AB，AC=AN，∠MAB=∠CAN=90°，∴∠MAC=∠MAB+∠BAC=∠CAN+∠BAC=∠BAN在△AMC和△ABN中，∴△AMC≌△ABN（SAS）∴MC=BN∴，即DF=EF．又MC⊥BN，∴DF⊥EF．

法3（倍长中线）：延长DF至点G使得FG=FD，连接CG、EG．易证△DFB≌△GFC，易证△EAD≌△ECG（SAS），∴DE=GE，DE⊥GE，∴△DEG是等腰直角三角形，∴DF=EF，DF⊥EF．法4（构造三垂直模型）：分别过点A、B、C向线段DE作垂线，垂足分别记为H、M、N，作DE中点G，连接FG．易证：△AHD≌△DMB，△AHE≌△ENC，可得DM=AH=EN，BM=DH，CN=EH，∴G是MN中点，又F是BC中点∴FG是梯形BCNM的中位线，∴FG∥BM∥CN，∴FG⊥MN，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=EF，DF⊥EF．

（2019·朝阳）如图，四边形是正方形，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，为的中点，连接，．（1）如图1，当时，请直接写出与的关系（不用证明）．（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当时，若，请直接写出点经过的路径长．

【分析】（1）OE=OD，OE⊥OD．∵点O为CF中点，∴，，∴OE=OD．又∵AC=AF，∠CAF=45°，∴∠ACF=∠AFC=67.5°，∴∠COE=45°，∠DOF=45°，∴∠DOE=90°，∴OE⊥OD．（2）分别取AC、CF中点M、N，连接OM、DM、ON、EN，易证△OMD≌△ENO（SAS），∴OE=OD，∠DOE=∠DOM+∠EOM=∠OEN+∠EOM=90°，∴OE⊥OD．（3）瓜豆原理可解：F点轨迹是以A为圆心，AC为半径的圆，O点始终为CF中点，取AC中点Q，以点Q为圆心，QC为半径作圆，即为点O的轨迹．故点O经过的路径长为．

（2018·十堰）已知正方形与正方形，是的中点，连接，．（1）如图1，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点在的延长线上，点在上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形绕点旋转，使，，三点在一条直线上，若，，请画出图形，并直接写出的长．

【分析】（1）延长EM交AD于点N，易证△ANM≌△FEM，∴AN=FE，∴DN=DE，∴△DEN是等腰直角三角形，又M点是EN中点，∴MD=ME，MD⊥ME．（2）延长EM交DA延长线于点P，易证△AMP≌△FME，∴AP=EF=CE，∴DP=DE，∴△DPE是等腰直角三角形，又M点是PE中点，∴DE=ME，DM⊥ME．（3）法1