中职数学-第五章-三角计算及其应用

数学（第2册）三角计算及其应用第五

章两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一节二倍角的正弦、余弦和正切公式第二节三角函数的积化和差和差化积第三节正弦型曲线第四节目录CONTENTS解斜三角形第五节三角计算应用举例第六节第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的余弦公式一、由此可知，一般情况下，对于任意两个角α，β，cos(α+β)≠cosα+cosβ.那么，cos(α+β)与α,β的三角函数值到底有什么关系呢？如何计算cos(α+β)的值呢？下面我们来讨论这个问题.第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习提示第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式如图5-1所示，设

∠BOA,∠COA的大小分别为α,β.为简单起见，我们先假定α,β均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cosα,sinα)，点C的坐标为(cosβ,－sinβ)，因此向量OB=(cosα,sinα)，向量OC=(cosβ,－sinβ),且OB=1,OC=1，于是

OB·OC=OB·OC·cos(α+β)=cos(α+β)，图5-1第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式又由于

OB·OC=（cosα，sinα）·（cosβ,-sinβ）=cosαcosβ－sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.由此，我们得到了两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.（5-1）式（5-1）反映了α+β的余弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式将式（5-1）中的β换成－β，则有cos(α－β)=cos［α+(－β)］=cosαcos(－β)－sinαsin(－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

由此，我们得到了两角差的余弦公式cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.（5-2）式（5-2）反映了α－β的余弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习提示第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例1】第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例2】第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例3】第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例4】第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习提示课堂练习不用计算器，求下列各式的值：（1）cos105°；（2）cos225°.第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦公式二、我们已经学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦公式是怎么样的呢？根据两角和的余弦公式式（5-1）我们可以计算出cosα+=－sinα，因此有sinα=－cosα+

这一等式.这说明余弦函数与正弦函数之间是可以互相转化的，也为我们推导两角和的正弦公式提供了有力的帮助.第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习提示第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式将式（5-3）中的β换成－β，则有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.

由此，我们得到了两角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.（5-4）式（5-4）反映了α－β的正弦函数值与α,β的三角函数值之间的关系.第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例6】第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例7】第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式例7是否还有别的解法？想一想第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习提示第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课堂练习1.求下列各式的值：（1）sin105°；（2）sin165°；（3）sin225°.2.化简下列各式，并求值：（1）sin26°cos19°+cos26°sin19°；（2）sin80°cos35°－cos80°sin35°.第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正切公式三、根据两角和与差的正弦公式、余弦公式可知第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例10】第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式例10求tan285°的值还有其他算法吗？想一想第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例11】第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例12】第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课堂练习第二节二倍角的正弦、余弦和正切公式在式（5-1）中，令α=β，就可以得到二倍角的余弦公式：cos2α=cos(α+α)=cosαcosα－sinαsinα=cos2α－sin2α,

即cos2α=cos2α－sin2α.（5-7）同理，在式（5-3）中，令α=β，就可以得到二倍角的正弦公式:sin2α=2sinαcosα.（5-8）因为sin2α+cos2α=1，所以式（5-7）又可以写为cos2α=2cos2α－1，

（5-9）cos2α=1－2sin2α，

（5-10）第二节二倍角的正弦、余弦和正切公式第二节二倍角的正弦、余弦和正切公式【例1】第二节二倍角的正弦、余弦和正切公式【例2】第二节二倍角的正弦、余弦和正切公式学习提示第二节二倍角的正弦、余弦和正切公式【例3】第二节二倍角的正弦、余弦和正切公式课堂练习第三节三角函数的积化和差和差化积观察两角和与差的正弦公式：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ两式相加得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，即

sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］.第三节三角函数的积化和差和差化积通过公式（5-14），三角函数由积的形式转化成了和或差的形式，因此，我们称其为积化和差公式.第三节三角函数的积化和差和差化积你能发现哪里运用了换元的思想吗？试着说一说换元的好处？想一想第三节三角函数的积化和差和差化积第三节三角函数的积化和差和差化积通过公式（5-15），三角函数由和或差的形式转化成了积的形式，因此，我们称其为和差化积公式.第三节三角函数的积化和差和差化积公式（5-14）和公式（5-15）的发现，实现了三角函数积的形式与和或差的形式的相互转化，为我们以后的计算和研究提供了方便.第三节三角函数的积化和差和差化积【例1】第三节三角函数的积化和差和差化积【例2】第三节三角函数的积化和差和差化积第三节三角函数的积化和差和差化积第三节三角函数的积化和差和差化积课堂练习1.把下列各式化成和或差的形式：（1）2sin64°cos10°;(2)2sin84°cos132°.2.把下列各式化成积的形式：（1）sin54°+sin22°;(2)sin5α-sin3α.第四节正弦型曲线生活中有哪些函数属于正弦型曲线？试举例说明.思考与讨论第四节正弦型曲线正弦型函数的概念和性质一、我们已经学习了正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx.在物理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，这类函数称为

正弦型函数.它与正弦函数y=sinx有着密切的关系.在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，则

y=Asin(ωx+φ)=Asinz.第四节正弦型曲线第四节正弦型曲线第四节正弦型曲线【例1】第四节正弦型曲线【例2】第四节正弦型曲线第四节正弦型曲线图5-2第四节正弦型曲线第四节正弦型曲线【例3】第四节正弦型曲线学习提示第四节正弦型曲线课堂练习第四节正弦型曲线正弦型函数的图像二、在研究正弦函数y=sinx的图像时，我们介绍过“五点法”作图，即选取(0,0),,1，(π,0),,－1,(2π,0)作为五个特殊点来作图.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与正弦函数的图像类似，我们一般也采用“五点法”来作正弦型函数的图像.正弦型函数的图像称为

正弦型曲线.第四节正弦型曲线在y=Asin(ωx+φ)中，令z=ωx+φ，我们分别取z=0,,π,,2π，求出对应的x的值和函数值y，构成五组(x,y).分别以每组的(x,y)为坐标描点，描出对应的五个关键点，然后用光滑的曲线连结各点，即可以得到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图像.第四节正弦型曲线下面我们以具体的例题为例，作正弦型函数在一个周期内的简图.第四节正弦型曲线【例4】第四节正弦型曲线第四节正弦型曲线图5-3第四节正弦型曲线图5-4第四节正弦型曲线课堂练习第四节正弦型曲线正弦型函数的应用三、在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流称为

交变电流

，简称

交流电.最简单的是简谐交流电，其电流强度的大小和方向随时间而变化，可以用如下函数来表示：

I=Imsin(ωt+φ0)(Im>0,ω>0,－π≤φ0≤π)，其中Im是电流强度的最大值，称为简谐交流电的峰值；ω称为

角频率

，单位为rad/s；ωt+φ0称为

相位

，φ0称为初相位，简称初相；称为简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需要的时间，单位为s；单位时间内，交流电完成周期性变化的次数称为

频率

，用f表示，单位为Hz（赫兹）.第四节正弦型曲线第四节正弦型曲线想一想如果把函数改为I=13sin（50πt+

）会使其峰值、周期、初相位和频率发生怎样的变化？第四节正弦型曲线【例6】第四节正弦型曲线【例7】已知简谐交流电的电流强度I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的部分曲线如图5-6所示，试写出I与t的函数关系.解

电流强度I随时间t的变化满足正弦型函数关系，故设所求的函数关系式为

I=Imsin(ωt+φ0).图5-6第四节正弦型曲线第四节正弦型曲线课堂练习第五节解斜三角形正弦定理一、在直角三角形中，利用三角形内角和定理、勾股定理以及锐角的三角函数就可以由已知的边和角求出未知的边和角.但是，对于一般的三角形，我们该怎样求呢？第五节解斜三角形第五节解斜三角形图5-8第五节解斜三角形学习提示第五节解斜三角形图5-9第五节解斜三角形第五节解斜三角形图5-10第五节解斜三角形第五节解斜三角形【例1】第五节解斜三角形【例2】第五节解斜三角形

你能否根据上面三个例题的解答，归纳总结出利用正弦定理求解这三角形的两种情况.想一想第五节解斜三角形学习提示第五节解斜三角形课堂练习1.已知在△ABC中，∠A=45°,∠B=30°,b=3，求∠C的度数和a的值.2.已知在△ABC中，b=22,c=4,∠B=30°，求∠C的度数.第五节解斜三角形余弦定理二、正弦定理揭示了任意三角形中边与角的一种数量关系，而揭示任意三角形中边与角的数量关系的另一个重要结论是余弦定理.如图5-11所示，建立平面直角坐标系，设△ABC是任意三角形，点A与原点重合，且AB=c,AC=b,BC=a，则点B的坐标为(ccosA,csinA)，点C的坐标为(b,0).根据两点间的距离公式得第五节解斜三角形图5-11第五节解斜三角形a=BC=(b－ccosA)2+(0－csinA)2,

两边平方得a2=(b－ccosA)2+(0－csinA)2=b2－2bccosA+c2cos2A+c2sin2A=b2－2bccosA+c2(cos2A+sin2A)=b2+c2－2bccosA,即得a2=b2+c2－2bccosA.试用同样的方法证明其他两式.思考与讨论第五节解斜三角形同理可得b2=a2+c2－2accosB，c2=a2+b2－2abcosC.可以证明，上述结论对任意三角形都成立，于是得到下面的余弦定理.余弦定理

：三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的2倍，即a2=b2+c2－2bccosA,b2=a2+c2－2accosB,c2=a2+b2－2abcosC.

（5-18）显然，当C=90°时，有c2=a2+b2，这就是说勾股定理是余弦定理的特例.第五节解斜三角形第五节解斜三角形学习提示第五节解斜三角形【例4】第五节解斜三角形【例5】第五节解斜三角形【例6】第五节解斜三角形课堂练习1.在△ABC中，已知a=3,b=2,∠C=150°，求c的值.2.在△ABC中，已知a=20,b=29,c=21，求∠B的度数.第五节解斜三角形【例7】图5-12正弦定理与余弦定理的应用三、第五节解斜三角形第五节解斜三角形【例8】图5-13第五节解斜三角形第五节解斜三角形课堂练习山顶上有一座塔，塔高为50m，从山下地面的某一点测得塔顶仰角为75°，塔底仰角为60°，求山的高度.第六节三角计算应用举例【例1】第六节三角计算应用举例图5-17第六节三角计算应用举例解

根据图像，很容易知道A,ω和b的值，再根据图像经过的点，利用待定系数法可以求出φ的值.（1）由图像可知，这段时间的最大温差为20℃.（2）根据图像可知，7—15时的图像是函数y=Asin(ωt+φ)+b的半个周期，所以第六节三角计算应用举例由（1）知，这段时间的最大温差为20℃，所以A=10，进而求得b=20.将t=7,y=10代入函数表达式y=Asin(ωt+φ)+b中，得第六节三角计算应用举例现有宽分别为a,b的两块木板，如图5-18所示，要对接成θ的角，该怎样制作？过点A作∠CBD两边的垂线AC,AD，垂足分别为C,D.设∠ABD=x，则制作的关键是计算出x.只要计算出x，则∠ABC=θ－x.按照这两个角度，沿AB对接即可接成图中所示的θ角.现在我们讨论计算角x的方法.图5-18第六节三角计算应用举例第六节三角计算应用举例【例2】如图5-19所示，现有宽分别为20cm和40cm的两块木板，要对接成60°的角.应该怎样制作？图5-19第六节三角计算应用举例第六节三角计算应用举例在一个圆中作一条弦，由弦及其所对的弧组成的图形称为

弓形.这段弧称为弓形的

弧.垂直于弦的直径被弦分为两部分，分别为这两个弓形的高.如图5-20所示，上部为一个弓形，d表示弓形所在的圆的直径，L表示弓形的弦长，h表示弓形的高.图5-20第六节三角计算应用举例第六节三角计算应用举例【例3】图5-21第六节三角计算应用举例阅读材料

三角函数简史之角与弦

角的概念会产生歧义，因为它既描述了两条相交直线之间“分离”这个定性的概念，也描述了这种分离程度的数值（角的度量）.而在两个点之间的“分离”上却没有这种歧义，因为线段和长度这两个概念能分得很清楚.好在我们不需要担心这种混淆，因为在三角学中，我们只关注线段与角的性质当中可以量化的部分.阅读材料三角学算是最古老的学科了，真要说起来，它的历史比平面几何还早，当然如果把早期的三角学计算也算作平面几何的一部分的话那就另当别论了.如今中学生接触的三角学，是以直角三角形为基准的各边之比的定义得来的；然后到了高中就将三角函数定义放到圆和坐标系里，这一点倒是符合三角学的历史发展的.数学史上第一份三角学资料，也是拿来解直角三角形的.阅读材料一、角度平面上的运动只有两种——平移和旋转.平移的程度由距离和面积来度量，而旋转的程度则由角度来度量，对长度的定义一直以来都没什么难度，确定一个单位长度标准就行了.对角度的定义却没那么简单——角度描述两条相交直线之间的相离程度，到底多大程度才能定为一个标准？相对于距离来说，角度的大小更充满“定性”的味道.好在巴比伦人利用了圆这一个标准——他们将圆从圆心分成了360份，要衡量一个角度大小，只需要将角度的顶点与圆心重合，算出对应的弧长占圆周长的百分数，就能够衡量这个角的大小了.阅读材料其中有一个解释是，因为巴比伦人使用的是六十进制，所以实际上它们是将一个圆分成了六个进制.这样的一个好处就是分出来的每一份中对应的弦长与半径相等.另一个解释就是360份恰与一年的天数很接近.当然从未有任何证据说明这一点，一切都只是猜测，所以对于360°的规定的具体原因已经不知.但这利用圆来衡量角度的方法一直很有效，流传至今.不久之后，希腊人采用了这一套系统，如托勒密在他的《至大论》中就使用了这一系统.阅读材料一直以来，六十进制作为一种计数法，早已被十进制淘汰，但作为角度和时间的度量却一直流传了下来.这种制度是如此受欢迎，即使是在“公制化的创始地”法国也无法被替代.这倒是很有趣的现象.到了近代，出现了另一种度量制度——弧度制，1弧度就是圆上的弧长等于半径时所对的圆心角.我们经常听说采用弧度制的原因是能够用较小的数字表示角.实际上并非如此，采用弧度制的