高考数学大一轮复习.1不等式及其解法课件

考点一

不等式的概念和性质考点清单考向根底1.两个实数比较大小的方法(1)作差法: (2)作商法: (i)传递性:a>b,b>c⇒②

a>c

.(ii)同向可加性:a>b,c>d⇒a+c>b+d.(iii)关于乘法、乘方、开方的性质:a>b,c>0⇒③

ac>bc

;a>b,c<0⇒④

ac<bc

;a>b>0,c>d>0⇒⑤

ac>bd

;a>b>0(n∈N*)⇒⑥

an>bn

;a>b>0(n∈N*,n≥2)⇒⑦

>

.2.不等式的性质(1)双向性质:a>b⇔b<a,a>b⇔①

a+c>b+c

.(2)单向性质:(i)a>b,ab>0⇒⑧

 < 

;(ii)a<0<b⇒⑨

 < 

.(2)分数性质:假设a>b>0,m>0,那么(i)真分数性质: ⑩<

 ;  >

 (b-m>0);(ii)假分数性质: > ; < (b-m>0).3.不等式的一些常用结论(1)倒数性质:考向突破考向

利用不等式的性质比较实数大小例

(2021四川文,5,5分)假设a>b>0,c<d<0,那么一定有 ()A. > 

B. < 

C. > 

D. < 解析

∵c<d<0,∴0>

>

,同乘-1,得-

>-

>0,又a>b>0,故由不等式的性质可知-

>-

>0,乘-1,得

<

<0.故选B.答案

B考点二

不等式的解法考向根底1.不等式ax>b的解集:假设a>0,解集为①

;假设a<0,解集为

 ;假设a=0,当b≥0时,解集为②

⌀

,当b<0时,解集为R.判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-

没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}

R

ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀2.三个“二次〞间的关系3.一元n次不等式的求解方法如果一元n次不等式a0xn+a1xn-1+…+an>0(a0≠0,n∈N*,n≥3)可以转化为a0

(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(其中x1<x2<…<xn)的形式,那么求解时,一般先在数

轴上标区间(-∞,x1),(x1,x2),…,(xn,+∞),a0>0时,由于f(x)=a0(x-x1)(x-x2)…(x-

xn)的值的符号在上述区间自右至左依次为+,-,+,-,…,所以正值区间为f(x)>0的解集.4.分式不等式的解法(1)

≥0⇔

(2)

>0⇔③

f(x)·g(x)>0

.(1)|f(x)|>|g(x)|⇔④[f(x)]2>[g(x)]2

;(2)|f(x)|>g(x)⇔⑤

f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)

;(3)|f(x)|<g(x)⇔⑥-g(x)<f(x)<g(x)

;(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用⑦零点分区间

的方

法脱去绝对值符号求解,也可以用图象法求解.5.绝对值不等式的解法考向突破考向

求不等式组的解集例

(2021大纲全国文,3,5分)不等式组 的解集为 ()A.{x|-2<x<-1}

B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}

D.{x|x>1}解析由x(x+2)>0得x>0或x<-2;由|x|<1得-1<x<1,二者取交集可得不等

式组的解集为{x|0<x<1},应选C.答案

C方法1

不等式性质的应用问题及其解法1.与充分、必要条件相结合的问题.用不等式的性质分别判断p⇒q,q⇒p

是否正确,要注意特殊值法的应用.2.与命题真假判断相结合的问题.解决此类问题除根据不等式的性质求

解外,还经常采用特殊值验证的方法.3.求代数式的取值范围的问题.要注意不等式同向可乘性的适用条件以

及整体思想的运用.方法技巧例1x,y∈R,那么“x>y〞的充分必要条件是 ()A.2x>2y

B.lgx>lgyC. > 

D.x2>y2解析由x,y∈R,排除B和C.对于A,由于函数y=2x在R上为增函数,当x>y时,可得2x>2y.反之也成立.对于D,y=x2在R上不单调,故不符合题意.应选A.答案

A方法2

比较实数大小的常用方法实数大小的比较常用“比较法〞来解决,“比较法〞有“作差比较法〞

和“作商比较法〞两种,可根据数式的结构特点灵活选用.比较法的关

键是变形,变形越彻底,越有利于下一步的判断.在用“比较法〞时,有时

可先将原式变形后再作差或作商进行比较,假设是选择题,还可用特殊值

法判断数的大小关系.(1)作差法理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=b.根本步骤:

(2)作商法理论依据:b>0且 >1⇒a>b;b>0且 <1⇒a<b;b>0且 =1⇒a=b.根本步骤:

例2假设0<x<1,a>0且a≠1,那么|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小关系是 (

)A.|loga(1-x)|>|loga(1+x)|B.|loga(1-x)|<|loga(1+x)|C.不确定,由a的值决定D.不确定,由x的值决定解析解法一:作差法.∵0<x<1,∴0<1-x<1,0<1-x2<1,1<1+x<2.∴lg(1-x)<0,lg(1-x2)<0,lg(1+x)>0,∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=

-

=-

·[lg(1-x)+lg(1+x)]=-

·lg(1-x2)>0,∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.解法二:作商法.∵0<x<1,∴1<1+x<2,0<1-x<1,

=

>1+x>1,∴log(1+x)(1-x)<0,∴

=|log(1+x)(1-x)|=-log(1+x)(1-x)=log(1+x)

>log(1+x)(1+x)=1,∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.答案

A方法3

一元二次不等式恒成立问题的解法1.解决恒成立问题可以利用别离参数法,一定要弄清楚谁是自变量,谁是

参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.2.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图

象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象

在给定的区间上全部在x轴下方.3.解决不等式在给定区间上的恒成立问题,可先求出相应函数这个区间

上的最值,再转化为与最值有关的不等式问题.例3(1)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,那么实数a的取值

范围是

.(2)(2021江苏,10,5分)函数f(x)=x2+mx-1,假设对于任意x∈[m,m+1],都

有f(x)<0成立,那么实数m的取值范围是

.解析(1)当a-2=0,即a=2