《运筹学》第7章 库存论

7.1基本库存问题7.2确定性库存模型7.3随机性库存模型7.4案例分析第7章排队论

7.1.1库存系统基本概念（1）库存系统

（2）需求

（3）补充

7.1基本库存问题1.T循环策略其中为计划期，为补充量。2.(T，S)策略

，其中为库存量，每次补充到库存水平7.1.2库存系统基本策略3.(T，s，S)策略其中为库存量，为保险库存量7.1.2库存系统基本策略1.费用（1）订货费：指企业向外采购物资的费用。（2）生产费：指企业自行生产库存物品的费用。（3）库存费：包括仓库的保管费，流动资金占用的利息以及货物损坏变质等费用。（4）缺货费：指当库存物的数量满足不了需求时引起的有关损失，如停工待料的损失，未完成合同而承担的赔款等。7.1.2库存系统基本策略2.目标函数要在一类策略中选择一个最优策略，就需要有一个衡量优劣的标准，这就是目标函数。在库存问题中，通常把目标函数取为平均费用函数或平均利润函数，选择的策略应使平均费用达到最小或平均利润达到最大。7.1.2库存系统基本策略

7.2.1瞬时进货，不允许缺货模型（经济批量模型）

1.模型假设（1）需求是连续均匀的，需求速度为R，则t时间内的需求量为Rt。（2）当库存量降至零时，可立即补充，不会造成缺货。（3）每次订购费为C3，单位货物库存费为C1都为常数。（4）每次订购量相同，均为Q0。（5）缺货费无穷大。

7.2确定性库存模型

2.建立库存模型由于需求速度为常数R，故一个t时间段内的平均库存量为，库存费用为，t时间内总的平均费用为：解得使其最小时的（7-1）其订购量（7-2）——E•O•Q公式7.2.1瞬时进货，不允许缺货模型

由于货物单价K与Q0，t0无关，若无特殊需要不再考虑KR此项费用，故得：（7-3）将t0代式（7－3）得：

（7-4）7.2.1瞬时进货，不允许缺货模型

如果选订货批量Q作为变量，类似于式（7－2），（7－3），（7－4）相应地可以推导出：

（7-5）

（7-6）

（7-7）而最佳周期（7-8）7.2.1瞬时进货，不允许缺货模型

例7－1某厂对某种材料的全年需求量为1040吨，其单价为1200元/吨，每次采购该种材料的订货量为2040元，每年保管费为170元/吨。试求工厂对该材料的最优订货批量，每年订货次数及全年的费用。

分析：根据题意，知由公式得最优订货批量吨每年订货次数为订货次数为6次的总费用为订货次数为7次的总费用为7.2.1瞬时进货，不允许缺货模型

逐渐补充库存，不允许缺货模型1.模型假设（1）一定时间内生产批量Q，单位时间内的产量即生产速率以P表示（2）需求速度为R，由于不允许缺货，故P>R。生产的产品一部分满足需求，剩余部分才作为库存。此模型库存状态变化如图7—9所示。7.2.2其他确定性库存模型

2.建立库存模型单位时间内净增库存量为P－R,到

终止时，库存量为由时间段t内平均库存量为相应单位时间库存费为t时间内所需装配费为则单位时间平均总费用为7.2.2其他确定性库存模型

类似令，得最佳周期(7－9)最佳生产批量(7－10)最佳生产时间(7－11)最小平均总费用(7－12)7.2.2其他确定性库存模型

例7－2某电视机厂自行生产扬声器用以装备本厂生产的电视机，该厂每天生产100部电视机，而扬声器生产车间每天可以生产5000个扬声器。已知该厂每批电视机装配的生产准备费为5000元，而每个扬声器在一天内的库存费为0.02元。试确定该厂扬声器的最佳生产批量，生产时间和电视机的安装周期。

分析：根据题意，知由公式得最优生产批量个最佳生产时间天，最佳安装周期天。7.2.2其他确定性库存模型

瞬时进货，允许缺货模型1.模型假设（1）单位缺货损失费为元，其余假设条件与第一模型相同。此模型库存状态变化如图7—10所示。7.2.2其他确定性库存模型

2.建立库存模型t时间内所需存储费为t时间内所缺货损失费为因此可得出平均总费用的函数形式：

（7－13）令，求得（7－14）

（7－15）7.2.2其他确定性库存模型

而（7－16）

（7－17）显然当不允许缺货时，即则有最大缺货量：

（7－18）7.2.2其他确定性库存模型

例7－3某批发站每月需某种产品100件，每次订购费为5元，若每次货物到达后存入仓库，每件每月要付0.4元库存费。假若允许缺货，缺货费每件0.15元，求

和。

分析：根据题意，知代入公式得：7.2.2其他确定性库存模型

逐渐补充库存，允许缺货模型1.模型假设本模型是以上三种模型的综合，假设条件除允许缺货，生产需一定时间外，其余条件皆与第一模型相同。此模型的库存状态变化图如7－11所示。7.2.2其他确定性库存模型

2.建立库存模型在一个周期t内的平均装配费用为在时间段内，平均库存费用为缺货时间是，t时间内平均缺货费用为因此平均总费用函数为:

(7－19)又因为，则(7－20)且可知，则(7－21)7.2.2其他确定性库存模型

将（7－21）代入（7－20）得(7－22)根据相似三角形的比例关系得，将（7－22）代入此式得：

(7－23)把（7－23）代入（7－19）得：

(7－24)7.2.2其他确定性库存模型

令，得：最大库存水平(7－25)最佳循环周期(7－26)最小平均总费用(7－27)而(7－28)最大缺货量为（7－29）7.2.2其他确定性库存模型

例7－4企业生产某种产品的速度是每月300件，销售速度是每月200件，库存费用每月每件为4元，每次生产准备费为80元，允许缺货，每件缺货损失为14元，试求

和。

分析：根据题意，知代入公式得：7.2.2其他确定性库存模型

价格与订货批量有关的库存模型1.模型假设设货物单价与订货量之间有如下关系：单价为单价为单价为其中为价格折扣的分界点，且满足费用函数为：(7－30)7.2.2其他确定性库存模型

2.求解步骤（1）不考虑价格折扣的因素，由第一模型求出最佳批量如果落在内，此时总费用为（2）由于存在折扣因素，且，当时，就有可能使货物成本方面的节省超过库存费用方面的增加。取分别为由（7－30）计算出最后取的订购量为最佳订购量。7.2.2其他确定性库存模型

例7－5某医院药店每年需要某种药1000瓶，每次订购须要费用5元，每瓶药每年的保管费为0.40元，每瓶单价2.50元，制药厂提出价格折扣条件为：（1）订购100瓶时，价格折扣率为0.05（2）订购300瓶时，价格折扣率为0.10试问（1）该医院是否接受折扣率为0，1的条件？

（2）如果医院每年对这种药的需求量为100瓶，而其它条件不变，那么医院应采用什么库存策略？分析：（1）首先不考虑价格折扣得最佳批量7.2.2其他确定性库存模型总费用为取，求得总费用为2327，应接受每次订购300瓶的价格折扣。（2）最佳批量总费用为取，求得总费用为262.5，所以医院应采用订购100瓶的库存策略。7.2.2其他确定性库存模型

7.3.1单时期库存模型

1.需求是随机离散的单时期库存模型这类模型的一个典型问题是报童卖报问题，这个问题就是要确定报童每天报纸的订购量

为何值时，使盈利的期望值最大或损失的期望值最小？选盈利的期望值为目标函数，确定最佳订购量

。如果订购量大于需求量时，赢利的期望值为：如果订购量小于需求量时，赢利的期望值为：7.3随机性库存模型

故总赢利的期望值为：那么最佳订购数量

应满足：

（7—31）

（7—32）由（7－31）式出发进行推导有：

7.3.1单时期库存模型

经过简化后得：（7—33）同理由（7－32）式可得：

（7—34）综上得：

（7—35）由此可确定最佳订购数量

。7.3.1单时期库存模型

例7－6某商店出售甲商品，已知每单位甲商品成本为50元，售价为70元，如果销售不出去，每单位商品将损失10元。根据以往经验，甲商品销售量r服从以参数的泊松分布。

问该店最佳订货量为多少单位？

分析：已知，而，有，则有而由于，故由（7－35）知个单位7.3.1单时期库存模型

2.需求是随机离散的单时期库存模型设有某种单时期需求的物资，需求量r为连续型随机变量，已知其概率密度为，每件物品的成本为元，售价为

元。如果当时售不完，下一期就要降价处理，处理价为元，求最佳订货数量。如果订货量大于需求量时，赢利的期望值为：如果订货量小于需求量时，赢利的期望值为：故总利润的期望值为：7.3.1单时期库存模型

利用含有参变量积分的求导公式得：令，得：

（7—36）再由已知的可确定最佳订货批量

。

又因为故

是使总利润的期望值最大的最佳经济批量。7.3.1单时期库存模型

例7－7某书亭经营某种期刊杂志，每册进价0.80元，售价1.00元，如过期，处理价为0.50元。根据多年统计表明，需求服从均匀分布，最高需求量b=1000册，最低需求量a=500册，问应订货多少才能保证期望利润最高？

分析：由概率论知需求的密度函数为：7.3.1单时期库存模型

由公式（7－36）得：即则

（册）故应订货700册，才能保证期望值利润最高。7.3.1单时期库存模型

需求是随机离散的多时期（s，S）库存模型设货物的单价成本为K，单位库存费为

，单位缺货损失费为

，每次订货费为

，且假定滞后时间为零，需求r是随机离散变量，概率分布列为

，

且本阶段所需各种费用分别是：订货费：库存费期望值为：缺货损失费期望值为：7.3.2多时期库存模型

故所需总费用的期望值为：

(7－37)为选出使最少的S值，

应满足下列不等式：(1);(2)由1可推导出：从而有：由2得推导出：

7.3.2多时期库存模型

令

称为临界值，综上得：

(7－38)取满足式(7－38)的

为S，从而得到订货量Q=S－I。设想是否存在一个数，使下面不等式成立：

(7－39)7.3.2多时期库存模型

例7－8设某企业对于某种材料每月需求量的概率如下：需求量r

5060708090100110120概率

0.050.100.150.250.200.100.100.05每次订货费为500元，每月每吨保管费为50元，每月每吨缺货费为1500元，每吨材料的购置费为1000元。该企业欲采用(s，S)库存策略来控制库存量，试求出S和s之值。

分析：由题知那么临界值由于P(50)+P(60)+P(70)=0.3；P(50)+P(60)+P(70)+P(80)=0.557.3.2多时期库存模型

所以S=80吨,代入（7－39）不等式右端得：右端=94250取s=50，60，70分别代入（7－39）不等式左端得：当s=50，左端=101000>94250,不满足不等式；同理当s=60时，左端=96775>94250，仍不满足不等式；当s=70时，左端=94100<94250，已满足不等式。故s=70因此该企业的库存策略为：每当库存时补充库存达到80，当时不补充。7.3.2多时期库存模型

2.需求是随机连续的多时期（s，S）库存模型需求r是连续的随机变量，概率密度为,期初库存量为I，订货量为Q。问如何确定订货量Q，总费用的期望值最小？本阶段所需的各种费用有：订货费：库存费期望值为：S=I+Q为最大库存量缺货损失费期望值为：7.3.2多时期库存模型

总费用的期望值为：令

得（7－40）记

，称为临界值由式（7－40）可确定S值，再由Q*

=S－I确定最佳订货批量。设想是否存在一个数，使下面不等式成立：

（7－41）7.3.2多时期库存模型

例7－9某商店经销一种电子产品，根据统计资料分析，这种电子产品的销售量服从在区间[75，100]内均匀分布，即