2022-2023学年安徽省安庆市桐城实验中学九年级（下）开学数学试卷(含解析)

2022-2023学年安徽省安庆市桐城实验中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．当函数是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a＝﹣13．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 C．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点4．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（）A． B． C． D．5．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝的图象可能是（）A． B． C． D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（）A． B． C． D．7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠BEC＝68°，则∠ABD的度数为（）A．20° B．23° C．25° D．34°8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为24，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．69．如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠A＝60°，动点P沿A﹣B﹣C﹣D匀速运动，运动速度为2cm/s，同时动点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为1cm/s，点Q到点D时两点同时停止运动，设点Q走过的路程为x（s），△APQ的面积为y（cm2），能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）11．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α＝．12．抛物线y＝﹣x2+2x+c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为．13．如图，在扇形纸片AOB中，OA＝10，∠AOB＝36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点M，且DE＝DC．（1）找出一个与∠BDE相等的角；（2）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点N恰好落在DE的延长线上，则＝．三、计算题（本大题共2小题，共16分）15．计算：先化简，再求值：，其中．16．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？四、解答题（本大题共2小题，共16分）17．观察以下等式：第1个等式：﹣＝2，第2个等式：﹣＝2第3个等式：﹣＝2，第4个等式：﹣＝2……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．18．如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．五、解答题（本大题共2小题，共20分）19．已知如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为60°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）．20．如图，AB是⊙O的切线，D点在⊙O上，AD与⊙O相交于C，CE是⊙O的直径，连接BC，若∠A＝90°．（1）求证：BC平分∠ACE；（2）当AB＝2，AC＝1时，求⊙O的半径长．六、解答题（本大题共2小题，共24分）21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB＝90°，A（0，2），C（6，2）．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．反比例函数y1＝（k≠0）的图象经过点D．（1）求反比例函数的解析式．（2）若AB所在直线解析式为y2＝ax+b（a≠0），当y1＞y2时，求x的取值范围．22．已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．七、解答题（本大题14分）23．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，共40分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：第1个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；第2个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；第3个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；第4个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．2．当函数是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a＝﹣1【分析】根据二次函数的定义列出不等式和方程，解方程和不等式得到答案．解：∵y＝（a﹣1）x+2x+3是二次函数，∴a﹣1≠0，a2+1＝2，解得，a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次项系数不为0、含自变量的最高次数为2是解题的关键．3．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 C．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点【分析】把a＝1，x＝﹣1代入y＝ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△＝8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x＝1判断二次函数的增减性．【解答】A、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故A错误，不符合题意；B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故B正确，符合题意；C、∵当a＝1，x＝﹣1时，y＝1+2﹣1＝2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故C错误，不符合题意；D、当a＝﹣2时，∵△＝42﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故D错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（）A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．5．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n＝1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m＜﹣1，n＝1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y＝mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y＝的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（）A． B． C． D．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴sin∠BCD＝sinA＝＝＝，即只有选项C错误，选项A、B、D都正确，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．7．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠BEC＝68°，则∠ABD的度数为（）A．20° B．23° C．25° D．34°【分析】利用圆周角定理求出∠D，再利用三角形的外角的性质求出∠ABD即可．解：∵OC⊥AB，∴∠COB＝90°，∴∠D＝∠COB＝45°，∵∠CEB＝∠D+∠ABD，∴∠ABD＝68°﹣45°＝23°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为24，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），∴点D的坐标为（，），∵菱形OABC的面积为24，∴a•＝24①，∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴•＝k②，联立①和②，解得k＝8．故选：C．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠A＝60°，动点P沿A﹣B﹣C﹣D匀速运动，运动速度为2cm/s，同时动点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为1cm/s，点Q到点D时两点同时停止运动，设点Q走过的路程为x（s），△APQ的面积为y（cm2），能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【分析】分段函数，只要求出0≤x≤2时的函数图象即可判断．解：当0≤x≤2时，y＝x•＝，∴0≤x≤2时，y随着x的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A，B、C错误．故选：D．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作CH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB＝10，再利用面积法计算出CH＝，再根据旋转的性质得CE＝4，然后利用点E点在HC上，点E到AB的距离最小，即可求△AEB面积的最小值．解：如图，作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC，∴CH＝，∵点D是AC的中点，∴CD＝4，∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，∴CE＝4，即点E在以C为圆心，4为半径的圆上，∵点E在HC的上，点E到AB的距离最小，∴S△AEB最小值＝×10×（）＝4故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）11．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α＝30°．【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于sinα的一元一次方程，解之即可得出sinα的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角a的度数．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣）2﹣4sinα＝2﹣4sinα＝0，解得：sinα＝．∵α为锐角，∴α＝30°．故答案为30°．【点评】本题考查了根的判别式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．12．抛物线y＝﹣x2+2x+c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为y＝﹣x2﹣2x．【分析】先求出如图所示的抛物线的解析式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．解：根据题意可知抛物线过点（0，3），把点（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c，得0＝﹣9+6+c，解得c＝3．故原图象的解析式为y＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣（x﹣1）2+4，将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y＝﹣（x﹣1+2）2+4﹣3，即y＝﹣x2﹣2x．故答案为：y＝﹣x2﹣2x．【点评】本题考查了抛物线解析式的确定及二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握二次函数的性质及图象平移的规律：左加右减，上加下减．13．如图，在扇形纸片AOB中，OA＝10，∠AOB＝36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为12π．【分析】O点运动的路径是：旋转的路程＝以BO为半径的半圆的弧长+平移的路线是的长，计算即可．解：的长是：＝2π；以BO为半径的半圆的弧长是：10π．则点O所经过的路线长为10π+2π＝12π．故答案是：12π．【点评】本题考查了弧长的计算公式，理解O运动的路线是关键．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点M，且DE＝DC．（1）找出一个与∠BDE相等的角∠DCA；（2）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点N恰好落在DE的延长线上，则＝．【分析】（1）由DE＝DC，得∠DEC＝∠DCE，即∠B+∠BDE＝∠ACB+∠DCA，而∠B＝∠ACB，故∠BDE＝∠DCA；（2）根据将△ABC沿BC翻折，点A的对应点N恰好落在DE的延长线上，AB＝AC，可得四边形ABNC是菱形，即AB＝BN＝NC＝AC，由△DAC∽△NBD，有＝，即＝，可知A是BD的黄金分割点，＝＝，设AD＝（﹣1）k，则AB＝2k＝BN，BD＝（+1）k，由△DAM∽△DBN，可得AM＝（3﹣）k，CM＝（﹣1）k，又△CME∽△BNE，即得＝＝．解：（1）∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠B+∠BDE＝∠ACB+∠DCA，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠BDE＝∠DCA，故答案为：∠DCA；（2）∵将△ABC沿BC翻折，点A的对应点N恰好落在DE的延长线上，∴∠ABC＝∠NBC，∠ACB＝∠NCB，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠NBC＝∠ACB，∠NCB＝∠ABC，∴BN∥AC，AB∥CN，又AB＝AC，∴四边形ABNC是菱形，∴AB＝BN＝NC＝AC，由（1）知∠BDE＝∠DCA，又∵∠DAC＝∠DBN，∴△DAC∽△NBD，∴＝，∴＝，∴A是BD的黄金分割点，且AB＞AD，∴＝＝，设AD＝（﹣1）k，则AB＝2k＝BN，BD＝（+1）k，∵AM∥BN，∴△DAM∽△DBN，∴＝＝＝，∴＝，∴AM＝（3﹣）k，∴CM＝AC﹣AM＝2k﹣（3﹣）k＝（﹣1）k，∵CM∥BN，∴△CME∽△BNE，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查三角形中的折叠问题，涉及相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及应用、菱形的判定及性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，证明A是BD的黄金分割点．三、计算题（本大题共2小题，共16分）15．计算：先化简，再求值：，其中．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分后求出a的值代入计算即可．解：原式＝•＝•＝﹣，∵＝3﹣+2＝3+，∴原式＝﹣＝﹣＝﹣﹣1．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，把所求式子化简．16．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？【分析】100头鹿分给城中人，是两次进行分发分完，第一次每家1头，共分掉x头；第二次3家一头，分剩下的总头数为头．解：设城中共有x户人家，依题意得：，解得：x＝75，答：城中有75户人家．【点评】本题是考查一元一次方程的应用，关键找出等量关系，难点是求剩下的鹿的总数就是城中总户人家数除以3．四、解答题（本大题共2小题，共16分）17．观察以下等式：第1个等式：﹣＝2，第2个等式：﹣＝2第3个等式：﹣＝2，第4个等式：﹣＝2……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：+﹣×＝2（用含n的等式表示），并证明．【分析】依次观察每个等式，可以用发现规律．解：（1）根据已知规律，得第5个等式左边式子中第一项的分子和第2项、第3项的分母均为6，第一项的分母和第2项的分子、第4项的分母均为5，则第5个等式为：，故答案为：；（2）根据题意，得第n个等式左边式子中第一项的分子和第2项、第3项的分母均为（n+1），第一项的分母和第2项的分子、第4项的分母均为n，则第n个等式为：+﹣×＝2；证明如下：左边＝＝＝右边，∴+﹣×＝2．故答案为：+﹣×＝2．【点评】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．18．如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB＝70°，根据相似三角形的性质得出＝，∠BAD＝∠CAE，求出＝，∠BAC＝∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED＝∠ACB即可．解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，∵△ABD∽△ACE，∴＝，∠BAD＝∠CAE，∴＝，∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝70°．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出△BAC∽△DAE．五、解答题（本大题共2小题，共20分）19．已知如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为60°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）．【分析】（1）作AD⊥PQ于D，延长BC交PQ于E，根据坡度的概念求出AD，得到答案；（2）设BC＝x米，根据正切的定义用x表示出AC，根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．解：（1）作AD⊥PQ于D，延长BC交PQ于E，则四边形ADEC为矩形，∴AD＝CE，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米，∴AD＝10，即坡顶A到地面PQ的距离为10米；（2）设BC＝x米，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，即＝，解得，AC＝x，在Rt△BPE中，∠BPE＝45°，∴PE＝BE，即24+x＝x+10，解得，x＝21+7，答：古塔BC的高度为（21+7）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．如图，AB是⊙O的切线，D点在⊙O上，AD与⊙O相交于C，CE是⊙O的直径，连接BC，若∠A＝90°．（1）求证：BC平分∠ACE；（2）当AB＝2，AC＝1时，求⊙O的半径长．【分析】（1）连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BA，进而证明OB∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）连接BE，根据勾股定理求出BC，证明△BAC∽△EBC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】（1）证明：如图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥BA，∵∠A＝90°，∴OB∥AD，∴∠ACB＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠ACB＝∠OCB，即BC平分∠ACE；（2）解：如图，连接BE，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴∠BAC＝∠EBC，∵∠ACB＝∠OCB，∴△BAC∽△EBC，∴＝，即＝，解得：CE＝5，∴⊙O的半径长为．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．六、解答题（本大题共2小题，共24分）21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB＝90°，A（0，2），C（6，2）．D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．反比例函数y1＝（k≠0）的图象经过点D．（1）求反比例函数的解析式．（2）若AB所在直线解析式为y2＝ax+b（a≠0），当y1＞y2时，求x的取值范围．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AC＝BC＝6，由S△ABC＝3S△ADC得到CD＝2，即可求得D（6，4），代入y1＝（k≠0）即可求得k的值；（2）利用待定系数法求得y2的解析式，然后解析式联立，解方程组求得交点坐标，根据图形即可求得．解：（1）∵A（0，2），C（6，2），∴AC＝6，∵△ABC是∠C为直角的等腰直角三角形，∴BC＝AC＝6，∵D为等腰直角三角形ABC的边BC上一点，且S△ABC＝3S△ADC．∴CD＝2，∴D（6，4），∵反比例函数y1＝（k≠0）的图象经过点D，∴k＝6×4＝24，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵A（0，2），B（6，8），∴把A、B的坐标代入y2＝ax+b得，解得，∴y2＝x+2，解得或，∴两函数的交点为（﹣6，﹣4），（4，6）∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣6或0＜x＜4．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．22．已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当y＝2.44时，x的值，取正；（3）先求出y＝0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离．解：（1）抛物线的顶点坐标是（6，4.4），设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，解得a＝﹣，则抛物线是y＝﹣（x﹣6）2+4.4；（2）∵球门高为2.44米，即y＝2.44，则有2.44＝﹣（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝10.2，x2＝1.8，从题干图2中，发现球门在CD右边，∴x＝10.2，即足球运动的水平距离是10.2米；（3）不后退时，刚好击中横梁，∴往后退，则球可以进入球门，而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，当y＝0时，有0＝﹣（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝6+，x2＝6﹣，取正值，x＝6+，∴后退的距离需小于6+﹣10.2＝（﹣4.2）米故0＜m＜﹣4.2．【点评