2022-2023学年山西省忻州市代县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省忻州市代县八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．计算a2•a3的结果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a62．为了直观地表示世界七大洲的面积各占全球陆地面积的百分比，最适合使用的统计图是（）A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以3．已知一组数据：π，，0.1010010001，，，其中无理数出现的频数是（）A．2 B．3 C．4 D．54．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2﹣x B．x2+2x﹣1 C．x2+y2 D．x2﹣15．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定6．在测量一个小口圆形容器的内径时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，因此可得△AOB≌△DOC，从而测得AB的长，就可以得到圆形容器的内径CD的长，其中判定△AOB≌△DOC的依据是（）A．SAS B．HL C．ASA D．SSS7．估计的值（）A．在6和7之间 B．在5和6之间 C．在4和5之间 D．在3和4之间8．关于原命题“如果a＝b，那么a2＝b2”和它的逆命题“如果a2＝b2，那么a＝b”，下列说法正确的是（）A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题、逆命题都是真命题 C．原命题是假命题，逆命题是真命题 D．原命题，逆命题都是假命题9．如图，在△ABC中，∠B＝54°，以点C为圆心，CA的长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠BCF的度数是（）A．54° B．36° C．27° D．18°10．公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”．《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”．“面”，就是无理数．无理数里最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（）A．可以在数轴上找到唯一点与之对应 B．它是面积为2的正方形的边长 C．可以用两个整数的比表示 D．可以用反证法证明它不是有理数二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．计算：＝．12．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设．13．实行“双减”政策后，某区推行“5+2”的课后服务模式，学校科学利用课余时间，开展丰富的社团活动．下表是根据某学校八（1）班同学参加课外社团活动情况收集到的数据绘制的部分统计表，若选择足球的人数占该班总人数的25%，则选择手工的人数为．八（1）班同学参加社团活动情况统计表社团活动足球啦啦操合唱手工其他参加人数10164214．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝9．折叠△ACB，使点A与BC的中点D重合，折痕交AB于E，交AC于点F，则CF＝．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）16．（1）计算：（﹣2m）2÷2m2．（2）先化简，再求值（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a＝﹣2．17．如图，已知△ABC．（1）利用直尺和圆规，根据下列要求作图．（保留作图痕迹，不要求写作法）①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；②作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，交BD于点M．（2）试判断△BEF的形状，并加以证明．18．如图，△ABC是张大爷的一块小菜地，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝5，CD＝4，BC＝3AD，求BD的长．（结果保留根号）19．2022年北京冬奥会捷报传来——中国队9金4银2铜收官，这极大地激励了同学们体育锻炼的热情．某校体育部随机抽查八年级（1）班800名学生一周内平均每天的体育锻炼时间t（单位：分钟），并将调查的数据整理后得到如下统计图表：组别锻炼时间频数A0≤t＜204B20≤t＜308C30≤t＜4010D40≤t＜50aEt≥50b根据图表中提供的信息，解答下列问题．（1）统计表中的a＝，b＝，并补全条形统计图．（2）求扇形统计图中，C组所在扇形圆心角的度数．（3）根据抽样调查结果，求出锻炼时间不低于30分钟的有多少名学生？20．阅读与思考我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决与非负数有关的问题和求代数式最大值，最小值等问题．例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；x2+2x+6＝x2+2x+1+5＝（x+1）2+5，则当x＝﹣1时，x2+2x+6有最小值，最小值是5．根据材料用配方法解决下列问题．（1）若多项式x2+6x+k是一个完全平方式，则常数k的值为．A．9B．﹣9C．±9D．36（2）分解因式：x2﹣2x﹣8．（3）当x为何值时，多项式x2﹣4x+3有最小值？并求出这个最小值．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．22．综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．23．综合与探究已知在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合），以AD为边作Rt△ADE（其中AD＝AE，∠DAE＝90°），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求∠DCE的度数．（2）如图2，当点D在边BC的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段BD，CD，DE的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，AC＝，CE＝1，求线段DE的长．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．计算a2•a3的结果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a6【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．解：a2•a3＝a5．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．为了直观地表示世界七大洲的面积各占全球陆地面积的百分比，最适合使用的统计图是（）A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以【分析】利用扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小，进而得出答案．解：为了直观地表示世界七大洲的面积各占全球陆地面积的百分比，最适合使用的统计图是：扇形统计图．故选：A．【点评】此题主要考查了统计图的选择，正确把握统计图的特点是解题关键．3．已知一组数据：π，，0.1010010001，，，其中无理数出现的频数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据无理数的概念得出结论即可．解：在π，，0.1010010001，，中无理数为π，，故选：A．【点评】本题主要考查无理数的概念及频数的知识，熟练掌握无理数的概念及频数的知识是解题的关键．4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2﹣x B．x2+2x﹣1 C．x2+y2 D．x2﹣1【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．解：A、原式＝x（x﹣1），不符合题意；B、原式＝x2+2x+1﹣2＝（x+1）2﹣2＝（x+1+）（x+1﹣），不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式＝（x+1）（x﹣1），符合题意．故选：D．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．5．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定【分析】由勾股定理的逆定理即可得到答案．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟悉三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．6．在测量一个小口圆形容器的内径时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，因此可得△AOB≌△DOC，从而测得AB的长，就可以得到圆形容器的内径CD的长，其中判定△AOB≌△DOC的依据是（）A．SAS B．HL C．ASA D．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：A．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．7．估计的值（）A．在6和7之间 B．在5和6之间 C．在4和5之间 D．在3和4之间【分析】利用立方数，进行计算即可解答．解：∵27＜30＜64，∴3＜＜4，∴估计的值在3和4之间，故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握立方数是解题的关键．8．关于原命题“如果a＝b，那么a2＝b2”和它的逆命题“如果a2＝b2，那么a＝b”，下列说法正确的是（）A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题、逆命题都是真命题 C．原命题是假命题，逆命题是真命题 D．原命题，逆命题都是假命题【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．解：原命题“如果a＝b，那么a2＝b2”是真命题；它的逆命题“如果a2＝b2，那么a＝b”，错误，是假命题；∴原命题为真命题，逆命题为假命题，故选：A．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．9．如图，在△ABC中，∠B＝54°，以点C为圆心，CA的长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠BCF的度数是（）A．54° B．36° C．27° D．18°【分析】利用基本作图得到CF⊥AB，然后利用互余计算出∠BCF的度数．解：由作法得CF⊥AB，∴∠BFC＝90°，∴∠BCF＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．10．公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”．《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”．“面”，就是无理数．无理数里最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（）A．可以在数轴上找到唯一点与之对应 B．它是面积为2的正方形的边长 C．可以用两个整数的比表示 D．可以用反证法证明它不是有理数【分析】根据实数与数轴、勾股定理、算术平方根、无理数的概念、反证法判断即可．解：A、利用勾股定理，可以在数轴上找到唯一点与之对应，本选项说法正确，不符合题意；B、面积为2的正方形的边长为，本选项说法正确，不符合题意；C、是无理数，不可以用两个整数的比表示，本选项说法错误，符合题意；D、可以用反证法证明它不是有理数，本选项说法正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是无理数的概念、实数与数轴、反证法，掌握无理数的概念、反证法的一般步骤是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．计算：＝﹣2．【分析】因为﹣2的立方是﹣8，所以的值为﹣2．解：＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查了立方根的意义．注意负数的立方根是负数．12．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设a≤b．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设a≤b，故答案为：a≤b．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．13．实行“双减”政策后，某区推行“5+2”的课后服务模式，学校科学利用课余时间，开展丰富的社团活动．下表是根据某学校八（1）班同学参加课外社团活动情况收集到的数据绘制的部分统计表，若选择足球的人数占该班总人数的25%，则选择手工的人数为8．八（1）班同学参加社团活动情况统计表社团活动足球啦啦操合唱手工其他参加人数1016482【分析】利用选择足球的人数除以25%，即可得出该班总人数，在用总人数分别减去其它人数即可．解：总人数：10÷25%＝40（人），选择手工的人数：40﹣10﹣16﹣4﹣2＝8（人），故答案为：8．【点评】本题考查了统计表，正确求出总人数是解答本题的关键．14．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为30cm．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：两堵木墙之间的距离为30cm．故答案为：30．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝9．折叠△ACB，使点A与BC的中点D重合，折痕交AB于E，交AC于点F，则CF＝4．【分析】由D是BC的中点，求出CD＝3，再由折叠的性质，得AF＝FD，设AF＝x，则FC＝9﹣x，DE＝x，在Rt△CDF中，x2＝9+（9﹣x）2，求出x即可求CF．解：∵D是BC的中点，BC＝6，∴CD＝3，∵折叠△ACB，使点A与BC的中点D重合，∴AF＝FD，∵AC＝9，设AF＝x，则FC＝9﹣x，DE＝x，∵∠ACB＝90°，在Rt△CDF中，x2＝9+（9﹣x）2，∴x＝5，∴CF＝4，故答案为4．【点评】本题考查图形的翻折，熟练应用勾股定理，掌握图形折叠的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）16．（1）计算：（﹣2m）2÷2m2．（2）先化简，再求值（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a＝﹣2．【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用整式的除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．解：（1）原式＝4m2÷2m2＝2；（2）原式＝1﹣a2+a2﹣4a+4＝﹣4a+5，当a＝﹣2时，原式＝﹣4×（﹣2）+5＝8+5＝13．【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．17．如图，已知△ABC．（1）利用直尺和圆规，根据下列要求作图．（保留作图痕迹，不要求写作法）①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；②作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，交BD于点M．（2）试判断△BEF的形状，并加以证明．【分析】（1）①利用尺规作出∠ABC的角平分线即可；②利用尺规作出线段BD的垂直平分线即可；（2）根据等腰三角形的判定方法判断即可．解：（1）①如图，射线BD就是所要求作的∠ABC的平分线；②如图，直线EF就是所要求作的线段BD的垂直平分线；（2）△BEF是等腰三角形，证明如下：∵EF垂直平分线段BD，∴BM⊥EF，∴∠BME＝∠BMF＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠MBF，在△BME和△BMF中，，∴△BME和△BMF，∴BE＝BF，∴△BEF是等腰三角形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．18．如图，△ABC是张大爷的一块小菜地，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝5，CD＝4，BC＝3AD，求BD的长．（结果保留根号）【分析】先在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，进而可知BC的长，再在Rt△BCD中，根据勾股定理求出BD的长即可．解：∵CD是△ABC中AB边上的高，∴△ACD和△BCD都是直角三角形．在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝4，∴，∵BC＝3AD，∴BC＝9，在Rt△BCD中，．【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并能正确的计算是解题的关键．19．2022年北京冬奥会捷报传来——中国队9金4银2铜收官，这极大地激励了同学们体育锻炼的热情．某校体育部随机抽查八年级（1）班800名学生一周内平均每天的体育锻炼时间t（单位：分钟），并将调查的数据整理后得到如下统计图表：组别锻炼时间频数A0≤t＜204B20≤t＜308C30≤t＜4010D40≤t＜50aEt≥50b根据图表中提供的信息，解答下列问题．（1）统计表中的a＝20，b＝8，并补全条形统计图．（2）求扇形统计图中，C组所在扇形圆心角的度数．（3）根据抽样调查结果，求出锻炼时间不低于30分钟的有多少名学生？【分析】（1）根据A的频数和频率求出抽样调查的总人数，用总人数乘40%即可得出a的值，用总人数乘16%即可得出b的值，然后补全条形统计图即可；（2）用360°乘C组所占百分比可得C组所在扇形圆心角的度数；（3）A，B两组平均每天的体育锻炼时间不超过半小时，用样本估计总体即可得出答案．解：（1）4÷8%＝50（人），a＝50×40%＝20，b＝50×16%＝8，补全条形统计图如下：故答案为：20，8；（2）360°×＝72°；（3）800×＝192（名），答：该校800名九年级学生中大概有192名学生一周内平均每天的体育锻炼时间不超过半小时．【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．阅读与思考我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决与非负数有关的问题和求代数式最大值，最小值等问题．例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；x2+2x+6＝x2+2x+1+5＝（x+1）2+5，则当x＝﹣1时，x2+2x+6有最小值，最小值是5．根据材料用配方法解决下列问题．（1）若多项式x2+6x+k是一个完全平方式，则常数k的值为A．A．9B．﹣9C．±9D．36（2）分解因式：x2﹣2x﹣8．（3）当x为何值时，多项式x2﹣4x+3有最小值？并求出这个最小值．【分析】（1）利用完全平方公式得出答案；（2）仿样例进行解答便可；（3）将代数式配方为（x﹣2）2﹣1，可得出答案．解：（1）设x2+6x+k＝（x+m）2，则x2+6x+k＝x2+2mx+m2，∴，解得，故答案为：A；（2）x2﹣2x﹣8＝（x2﹣2x+1）﹣1﹣8＝（x﹣1）2﹣32＝（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）＝（x+2）（x﹣4）；（3）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣1≥﹣1，∴x2﹣4x+3的最小值为﹣1．【点评】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．22．综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．【分析】（1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理；（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，依据正方形EFGH内外四个直角三角形的面积之和相等，即可得到2S2＝S1+S3，再根据S1+2S2+S3＝42，即可得出S2的值．解：（1）由图1可得，大正方形的面积为c2，大正方形的面积＝4×ab+（a﹣b）2，∴4×ab+（a﹣b）2＝c2，化简可得，a2+b2＝c2；（2）24÷4＝6，设AC＝x，则AB＝6﹣x，依题意得：（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，∴该“勾股风车”图案的面积为：×（3+1）×3×4＝×4×3×4＝24．答：该“勾股风车”图案的面积为24；（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a，两式相加，可得2S2＝S1+S3，又∵S1+2S2+S3＝42，∴4S2＝42，∴S2＝