2021-2022学年福建省福州十一中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省福州十一中九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．我市积极开展“全民参与垃圾分类，共享环保低碳生活”宣传活动．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾进行分类，分别投入相应标识的收集容器内．下面有关垃圾分类的图标，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣23．同时抛出两枚骰子，下列事件为随机事件的是（）A．向上一面的点数之和等于1 B．向上一面的点数之和大于1 C．向上一面的点数之和等于12 D．向上一面的点数之和大于124．已知点P（a，2）和Q（﹣5，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣35．已知平行四边形ABCD，以对角线交点O为圆心作圆，下列结论一定成立的是（）A．若点A在⊙O上，则点B在⊙O上 B．若点B在⊙O上，则点C在⊙O内 C．若点C在⊙O上，则点A在⊙O内 D．若点D在⊙O上，则点B在⊙O上6．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（）A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．7．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤38．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（）A．65° B．60° C．58° D．50°9．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边形ABCDEF的值是（）A．20 B．30 C．40 D．随点O位置而变化10．如图，△AOB与△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y＝（x＞0）上，点A、C在x轴上，连接BC交AD于点P，则△OBP的面积是（）A．2 B． C．4 D．6二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．12．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为．13．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的2个红球，1个白球，1个黑球，搅匀后，从中随机摸出1个球，则摸到一个红球的概率为．14．一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED的度数为．（用含有α的式子表示）16．抛物线y＝x2﹣2tx+2t2+1的顶点为P．现给出以下结论：①该抛物线的开口向下；②y的最小值为1；③当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而增大，则t＞﹣2；④若P（t，p），Q（m，n）是该抛物线上不同的两点，则n＞p；⑤该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2t，则y1＞y2．其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共86分）17．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．18．已知关于x的方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．19．如图，CD是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，弦DE∥OA，AE的延长线与CD的延长线交于B．求证：AB是⊙O的切线．20．我市疫情防控指挥部积极组织接种新冠疫苗活动，为了宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集志愿者．现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男和一女的概率．21．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）依题意补全图形；（2）点F是边AC中点，求证：四边形BEDF是平行四边形．22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，C，A两点分别在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上，D为线段AB的中点，反比例函数的图象经过点B．（1）当点C坐标为（1，0）时，求点D的坐标；（用含k的代数式表示）（2）若一次函数y＝﹣3x+k的图象经过C，D两点，求k的值．23．某商城将每件成本为50元的工艺品，以60元的单价出售时，每天的销售量是400件，已知在每件涨价幅度不超过14元的情况下，若每件涨价1元，则每天就会少售出10件．（1）若商城想每天获得6000元的利润，应涨价多少元？（2）求商城销售工艺品所获得的最大利润．24．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（m≠0）的顶点为Q．（1）求点Q的坐标；（用含m的代数式表示）（2）抛物线与x轴只有一个公共点，经过点（1，2）的直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧）；①当直线AB过原点时，求线段AB的长；②判断△AQB的形状，并说明理由．

参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．我市积极开展“全民参与垃圾分类，共享环保低碳生活”宣传活动．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾进行分类，分别投入相应标识的收集容器内．下面有关垃圾分类的图标，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2【分析】移项后利用因式分解法求解可得．解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．同时抛出两枚骰子，下列事件为随机事件的是（）A．向上一面的点数之和等于1 B．向上一面的点数之和大于1 C．向上一面的点数之和等于12 D．向上一面的点数之和大于12【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．解：A、两枚骰子向上一面的点数之和等于1是不可能事件，故本选项不符合题意；B、两枚骰子向上一面的点数之和大于1是必然事件，故本选项不符合题意；C、两枚骰子向上一面的点数之和等于12是随机事件，故本选项符合题意；D、两枚骰子向上一面的点数之和大于12是不可能事件，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．已知点P（a，2）和Q（﹣5，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得a、b的值，进而可得答案．解：由点P（a，2）和Q（﹣5，b）关于原点对称，得a＝5，b＝﹣2．a+b＝5﹣2＝3．故选：C．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．5．已知平行四边形ABCD，以对角线交点O为圆心作圆，下列结论一定成立的是（）A．若点A在⊙O上，则点B在⊙O上 B．若点B在⊙O上，则点C在⊙O内 C．若点C在⊙O上，则点A在⊙O内 D．若点D在⊙O上，则点B在⊙O上【分析】根据“平行四边形的对角线互相平分”和点与圆的位置关系进行分析判断．解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交点为O，∴OA＝OC，OB＝OD．A、若点A在⊙O上，则点C在⊙O上，但是点B不一定在圆上，因为OA与OB不一定相等，不符合题意；B、若OB＞OC时，当点B在⊙O上，则点C在⊙O内，不符合题意；C、若点C在⊙O上，则点A也在⊙O上，不符合题意；D、若点D在⊙O上，则点B在⊙O上，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（）A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【分析】y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，如图所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，关键是利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题．8．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（）A．65° B．60° C．58° D．50°【分析】如图，连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．解：如图，连接OE，OF．∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠OFB＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝∠EOF＝60°，故选：B．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边形ABCDEF的值是（）A．20 B．30 C．40 D．随点O位置而变化【分析】正六边形ABCDEF的面积＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六边形每个边相等，每个角相等可得FD＝AF，过E作FD垂线，垂足为M，利用解直角三角形可得△FED的高，即可求出正六边形的面积．解：设正六边形ABCDEF的边长为x，过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，∵∠FED＝120°，FE＝ED，∴∠EFD＝∠FDE，∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）＝30°，∵正六边形ABCDEF的每个角为120°．∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，∴四边形AFDC为矩形，∵S△AFO＝FO×AF，S△CDO＝OD×CD，在正六边形ABCDEF中，AF＝CD，∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD＝（FO+OD）×AF＝FD×AF＝10，∴FD×AF＝20，DM＝cos30°DE＝x，DF＝2DM＝x，EM＝sin30°DE＝，∴S正六边形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC＝AF×FD+2S△EFD＝x•x+2×x•x＝x2+x2＝x2＝（AF×FD）＝30，故选：B．【点评】本题考查正多边形和三角形的面积，解本题关键掌握正六边形的性质和解直角三角形．10．如图，△AOB与△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y＝（x＞0）上，点A、C在x轴上，连接BC交AD于点P，则△OBP的面积是（）A．2 B． C．4 D．6【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB＝∠CAD＝60°，故可得出AD∥OB，所以S△OBP＝S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．解：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB＝∠CAD＝60°，∴AD∥OB，∴S△OBP＝S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE＝S△AOB，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBE＝×4＝2，∴S△OBP＝S△AOB＝2S△OBE＝4．故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为（1，8）．【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．12．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为4．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可得到EF的长．解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，∴EF＝＝＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的2个红球，1个白球，1个黑球，搅匀后，从中随机摸出1个球，则摸到一个红球的概率为．【分析】从中随机摸出1个球共有4种等可能结果，其中摸到一个红球的有2种结果，再根据概率公式求解即可．解：根据题意知，从中随机摸出1个球共有4种等可能结果，其中摸到一个红球的有2种结果，所以摸到一个红球的概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．14．一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为2π．【分析】根据弧长的计算公式直接解答即可．解：扇形弧长为：＝2π，故答案为：2π．【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的计算公式即可．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED的度数为180°﹣α．（用含有α的式子表示）【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题．解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∴∠BAD+∠BED＝180°，∵将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，∴∠BAD＝α，∴∠BED＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．抛物线y＝x2﹣2tx+2t2+1的顶点为P．现给出以下结论：①该抛物线的开口向下；②y的最小值为1；③当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而增大，则t＞﹣2；④若P（t，p），Q（m，n）是该抛物线上不同的两点，则n＞p；⑤该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2t，则y1＞y2．其中正确的是④.（写出所有正确结论的序号）【分析】利用二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征对每个结论进行逐一判断即可得出结论．解：∵a＝1＞0，∴抛物线y＝x2﹣2tx+2t2+1的开口方向向上，∴①的结论不正确；∵y＝x2﹣2tx+2t2+1＝（x﹣t）2+t2+1，∴y的最小值为t2+1，∴②的结论不正确；∵当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而增大，∴t≥﹣2，∴③的结论不正确；∵y＝x2﹣2tx+2t2+1＝（x﹣t）2+t2+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝t，∴P（t，p）为抛物线的顶点，∵抛物线y＝x2﹣2tx+2t2+1的开口方向向上，∴点P（t，p）最低，∴若P（t，p），Q（m，n）是该抛物线上不同的两点，则n＞p，∴④的结论正确；∵x1+x2＞2t，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）可能均在抛物线的对称轴的右侧，∵抛物线y＝x2﹣2tx+2t2+1的开口方向向上，在抛物线的对称轴的右侧的图象上y随x的增大而增大，∴y1＜y2．∴⑤的结论不正确，综上，正确的结论有：④．故答案为：④．【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题（共86分）17．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0∴∴，；解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，则x2﹣2x+1＝2∴（x﹣1）2＝2，开方得：，∴，．【点评】命题意图：考查学生解一元二次方程的能力，且方法多样，可灵活选择．本题考查了解一元二次方程的方法，公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c＝0的解为x＝（b2﹣4ac≥0）．18．已知关于x的方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0．解：∵x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得m＞﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法．19．如图，CD是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，弦DE∥OA，AE的延长线与CD的延长线交于B．求证：AB是⊙O的切线．【分析】连接OE，证明△ACO≌△AEO，推出∠AEO＝∠ACO＝90°，根据切线的判定推出即可；【解答】证明：连接OE，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵DE∥AO，∴∠COA＝∠ODE，∠AOE＝∠OED，∴∠COA＝∠AOE，∵在△ACO和△AEO中，∴△ACO≌△AEO（SAS），∴∠AEO＝∠ACO，∵AC⊥CD，∴∠ACO＝90°，∴∠AEO＝90°，∵OE为半径，∴直线AB是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了切线判定与性质，正确记忆全等三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线性质的应用等是解题关键．20．我市疫情防控指挥部积极组织接种新冠疫苗活动，为了宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集志愿者．现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男和一女的概率．【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．解：画树状图如图：共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，∴恰好抽到一男和一女的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）依题意补全图形；（2）点F是边AC中点，求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】（1）将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，连接DE即可；（2）由含30°的直角三角形的性质，由一组对边平行且相等可证四边形BEDF是平行四边形．【解答】（1）解：如图，△DEC即为所求．（2）证明：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∵点F是边AC中点，∴AC＝2BF，∴BF＝AB，由旋转可知，DE＝AB，∠BAC＝60°，∠CDE＝90°，CB＝CE，∴DE＝FB，△BCE是等边三角形，∴∠CEB＝∠CBE＝60°，∵BF＝CF，∴∠CBF＝30°，∴∠EBF＝30°，∴∠DEB+∠EBF＝90°+60°+30°＝180°，∴DE∥FB，∴四边形BEDF是平行四边形．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，C，A两点分别在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上，D为线段AB的中点，反比例函数的图象经过点B．（1）当点C坐标为（1，0）时，求点D的坐标；（用含k的代数式表示）（2）若一次函数y＝﹣3x+k的图象经过C，D两点，求k的值．【分析】（1）根据题意求得B（1，k），进而即可求得D（，k）；（2）先求得直线与x轴的交点C（，0），然后根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得出B（，3），进而表示出D的坐标，代入y＝﹣3x+k即可求得k的值．解：（1）∵四边形OABC为矩形，C，A两点分别在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上，点C坐标为（1，0），∴B点的横坐标为1，∵反比例函数的图象经过点B，∴B（1，k），∵D为线段AB的中点，∴D（，k）；（2）在y＝﹣3x+k中，令y＝0，则﹣3x+k＝0，解得x＝，∴C（，0），∴B（，3），∴A（0，3），∵点D为AB的中点，∴点D（，3），∵点D在直线y＝﹣3x+k上，∴3＝﹣3×+k，∴k＝6，∴k的值为6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出D的坐标是解题的关键．23．某商城将每件成本为50元的工艺品，以60元的单价出售时，每天的销售量是400件，已知在每件涨价幅度不超过14元的情况下，若每件涨价1元，则每天就会少售出10件．（1）若商城想每天获得6000元的利润，应涨价多少元？（2）求商城销售工艺品所获得的最大利润．【分析】（1）根据利润＝每件利润乘以销售量列出方程，再取满足题意的解即可；（2）设商城销售工艺品所获得的利润为w元，每件工艺品涨x元，列出w关于x的函数关系式，再由二次函数性质可得答案．解：（1）设每件工艺品涨m元，根据题意得：（60+m﹣50）（400﹣10m）＝6000，解得m＝10或m＝20，∵20＞14，∴m＝20不符合题意，舍去，∴m＝10，答：每件工艺品涨10元；（2）设商城销售工艺品所获得的利润为w元，每件工艺品涨x元，根据题意得：w＝（60+x﹣50）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250，∵﹣10＜0，x≤14，∴当x＝14时，w取最大值，最大值为﹣10×（14﹣15）2+6250＝6240（元），答：商城销售工艺品所获得的最大利润为6240元．【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．24．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F