2022-2023学年山东省济宁市泗水县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济宁市泗水县九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请把正确选项前的字母填在答题纸上）1．下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝283．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 C．y＝2x2 D．y＝2x2+44．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°5．一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜2且k≠1 B．k＞2且k≠1 C．k＞2 D．k＜26．如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（）A．14° B．28° C．42° D．56°7．设a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（）A．2020 B．2021 C．﹣1 D．﹣28．如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（）米．A．5 B．2 C．4 D．89．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b＜m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、开动脑筋，耐心填一填!11．若点A（3，﹣m）和点B（n﹣1，4）关于原点对称，则mn＝．12．若关于x的函数y＝（m+2）+1是二次函数，则满足条件的m的值为．13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝3，AB＝5，OD⊥BC于点D，则OD的长为．14．若A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）为二次函数y＝﹣（x+1）2+1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是．15．设f（x）表示关于x的函数，若f（m+n）＝f（m）+f（n）+，且f（6）＝18，那么f（2）＝．三、解答题（解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程）16．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根．17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；（2）若将△ABC绕C点逆时针旋转90°，得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，并写出A3，B3的坐标．18．阅读下列文字，然后解答问题解方程：x4﹣x2﹣6＝0解：设y＝x2，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0解得y1＝3，y2＝﹣2当y＝3时，x2＝3解得x＝±，当y＝﹣2时，x2＝﹣2此方程无实数根，∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣（1）在上面解方程的过程中，利用法达到了降次的目的；（2）观察上述解方程的过程，然后解方程：x4﹣5x2+6＝0．19．鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？20．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．21．如图，抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B，C重合），则是否存在一点P，使△BPC的面积最大？若存在，请求出△BPC的最大面积；若不存在，试说明理由．22．如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B，OA＝4，且OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12＝0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM并延长交x轴于N．（1）求⊙M的半径．（2）求线段AC的长．（3）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线．

参考答案一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请把正确选项前的字母填在答题纸上）1．下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．解：第1个图形是中心对称图形，符合题意；第2个图形不是中心对称图形，不符合题意；第3个图形是中心对称图形，符合题意；第4个图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得：x（x﹣1）＝28，故选：B．3．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 C．y＝2x2 D．y＝2x2+4【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．故选：C．4．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A＝∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．解：连接OC，∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠COD＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵∠A+∠OCA＝∠COD＝50°，∴∠A＝25°．故选：B．5．一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜2且k≠1 B．k＞2且k≠1 C．k＞2 D．k＜2【分析】根据题意可得Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（1﹣k）×（﹣1）＞0，且1﹣k≠0，求出k的取值范围即可．解：∵一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（1﹣k）×（﹣1）＞0，且1﹣k≠0，解得：k＜2，且k≠1．故选：A．6．如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（）A．14° B．28° C．42° D．56°【分析】根据垂径定理，可得＝，∠APC＝28°，根据圆周角定理，可得∠BOC．解：∵在⊙O中，OC⊥AB，∴＝，∵∠APC＝28°，∴∠BOC＝2∠APC＝56°，故选：D．7．设a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（）A．2020 B．2021 C．﹣1 D．﹣2【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2＝﹣a+2022，则a2+2a+b可化为2022+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解：∵a是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，∴a2+a﹣2022＝0，∴a2＝﹣a+2022，∴a2+2a+b＝﹣a+2022+2a+b＝2022+a+b，∵a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝2022﹣1＝2021．故选：B．8．如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD分别表示两个不同位置的水面宽度，O为拱桥顶部，水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，水面上升2.5米到达警戒水位CD位置时，水面宽为（）米．A．5 B．2 C．4 D．8【分析】设出抛物线的解析式，由图中点在抛物线上，用待定系数法求出抛物线解析式，根据水位上升2.5m，设出D点的坐标，解出横坐标x，从而求出水面宽度．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，∵水面AB宽为10米，AB距桥顶O的高度为12.5米，∴B（5，﹣12.5），设抛物线的解析式为：y＝ax2，把B（5，﹣12.5）代入y＝ax2得﹣12.5＝25a，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2，∵水面上升2.5米到达警戒水位CD位置，∴设D（m，﹣10），代入y＝﹣x2得：﹣10＝﹣x2，∴x＝±2，∴CD＝4，∴水面宽为4米．故选：C．9．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故选：B．10．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b＜m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝0，∴3a+c＝0，故④错误；⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤错误，⑥当x＞0时，y先随x的增大而减小，故⑥错误，故选：B．二、开动脑筋，耐心填一填!11．若点A（3，﹣m）和点B（n﹣1，4）关于原点对称，则mn＝．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．解：∵点A（3，﹣m）和点B（n﹣1，4）关于原点对称，∴n﹣1＝﹣3，m＝4，解得：n＝﹣2，则mn＝4﹣2＝．故答案为：．12．若关于x的函数y＝（m+2）+1是二次函数，则满足条件的m的值为3．【分析】根据二次函数的定义，进行计算即可解答．解：由题意得：m2﹣m﹣4＝2且m+2≠0，∴m＝﹣2或m＝3且m≠﹣2，∴m＝3．故答案为：3．13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝3，AB＝5，OD⊥BC于点D，则OD的长为2．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则可根据勾股定理计算出AC＝4，再根据垂径定理得到BD＝CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝4，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，而OB＝OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD＝AC＝×4＝2．故答案为2．14．若A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）为二次函数y＝﹣（x+1）2+1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是y2＞y3＞y1．【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∵A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）为二次函数y＝﹣（x+1）2+1的图象上的三点，∴A（1，y1）关于直线x＝﹣1的对称点（﹣3，y1）在二次函数y＝﹣（x+1）2+1的图象上，∵﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y2＞y3＞y1．故答案为：y2＞y3＞y1．15．设f（x）表示关于x的函数，若f（m+n）＝f（m）+f（n）+，且f（6）＝18，那么f（2）＝4．【分析】根据f（m+n）＝f（m）+f（n）+，把f（6）化为f（2+4）代入计算即可．解：∵若f（m+n）＝f（m）+f（n）+，f（6）＝18，∴f（6）＝f（2+4）＝f（2）+f（2+2）+＝f（2）+f（2）+f（2）++4＝18，∴f（2）＝4．故答案为：4．三、解答题（解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程）16．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根．【分析】（1）只要证明Δ＞0恒成立即可；（2）可将该方程的已知根1代入方程，求出m的值，即可求出方程的另一根【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m）＝m2﹣6m+9+4m＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2＞0，∴（m﹣1）2+8＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根；（2）解：∵x＝1是方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0的一个根，∴1﹣（m﹣3）﹣m＝0，解得：m＝2，则方程为：x2+x﹣2＝0解得：x1＝1，x2＝﹣2，∴方程的另一根为﹣2．17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；（2）若将△ABC绕C点逆时针旋转90°，得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，并写出A3，B3的坐标．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A3，B3，C3即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A3B3C3即为所求，A3（4，2），B3（6，0）．18．阅读下列文字，然后解答问题解方程：x4﹣x2﹣6＝0解：设y＝x2，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0解得y1＝3，y2＝﹣2当y＝3时，x2＝3解得x＝±，当y＝﹣2时，x2＝﹣2此方程无实数根，∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣（1）在上面解方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的；（2）观察上述解方程的过程，然后解方程：x4﹣5x2+6＝0．【分析】（1）所给的材料是用了换元法，把高次方程转化为一元二次方程，即可得答案；（2）设y＝x2，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，然后利用因式分解法解一元二次方程得到y1＝3，y2＝2，然后把y1＝3，y2＝2分别代入y＝x2，再解一元二次方程即可．解：（1）由题意得，在原方程得到方程y2﹣y﹣6＝0的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；故答案为：换元；（2）设y＝x2，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0解得y1＝3，y2＝2当y＝3时，x2＝3，解得x＝±，当y＝2时，x2＝2，解得x＝±，∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．19．鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据图象设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据宾馆利润数＝单个房间的利润×游客居住房间数列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质解决问题．解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，把（280，40，），（290，39）代入得：，解得：，∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣x+68（200≤x≤320）；（2）设宾馆的利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+68）＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，∵﹣＜0，∴当x＜350时，w随x的增大而增大，∵200≤x≤320，∴当x＝320时，w取得最大值，最大值为10800元，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10800元．20．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵CD•AE＝AC•CE，∴CD＝＝．21．如图，抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B，C重合），则是否存在一点P，使△BPC的面积最大？若存在，请求出△BPC的最大面积；若不存在，试说明理由．【分析】（1）抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，则﹣＝3，解得：a＝﹣，即可求解；（2）S△PBC＝S△PDC+S△PDB＝PD×OE+DP×EP＝8×（﹣x2+2x）＝﹣（x﹣4）2+16，即可求解．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4令y＝0，则x＝﹣2或8，故点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；（2）当x＝0时，y＝4，则点C的坐标为（0，4）；由点B、C的坐标得，设直线BC的解析式为y＝﹣x+4；假设存在，设点P的坐标为（