阜阳师院中小学数学教育概论讲义05数学概念、命题与问题解决教学-1数学概念及其教学

PAGEPAGE4第五章数学概念、命题与问题解决教学§5.1数学概念及其教学一、数学概念(MathematicalConcept)的意义和结构概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式—判断、推理—是有密切联系的。人们必须先具有关于某事物的概念。然后才能作出关于某事物的判断、推理。概念是判断推理的基础。另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识，又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。科学史表明：“科学是与概念并肩成长起来的”。概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的理解和掌握。1、数学概念的意义[引题]师问：“等式是不是方程？”生答：“不是。”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论x取什么数，等式都成立，可以这个等式不是方程。”师问：“什么叫方程？”生答：“含有未知数的等式叫做方程。”师问：“等式含有未知数吗？”生答：“含有未知数x，这是方程。原来我认为含有未知数的恒等式不是方程，这是不对的。”师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根?”生答：“有无穷多解。”师问：“对。有的方程有有限个解，例如：x+1=0只有一个解；有的方程无解，例如:在实数范围内无解；有的方程有无穷多解，方程就是一例。”——以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起。（1）属性：在客观世界中，存在着许许多多的事物，每一事物都有本身的性质和其他事物之间存在一定的关系。事物的性质和事物之间的关系统称为事物的属性。（2）特征：事物和属性是不可分的，具有相同属性的事物构成一类。属性不同的事物就形成不同的类。事物由于属性相同或不同，形成各种不同的类，就是事物的特征。（3）本质属性：在一类事物的许多属性中，对该事物具有决定意义的，即决该事物之所以成为该事物并区别于其它事物的属性，统称为事物的本质属性。例如：能思维、能制造并使产用生产工具的动物是人的本质属性。平面内到定点的距离等于定长的点的集合，是圆的本质属性，有长度是圆的非本质属性。（4）概念：概念是反映事物的本质属性和特征的思维形式。掌握概念，实质上就是要理解一类事物的共同的本质属性。即使符号代表一类事物而不是特殊事物。为了达到掌握概念，可以利用学习者认知结构中原有的概念，以定义的方式直接向学习者揭示概念的本质属性，这种使学习者获得概念的方式叫概念同化。但是，在数学教学中，由于学生年龄因素，他们已有的认知结构简单，知识经验具体而贫乏，有时概念同化的方式对他们学习概念是不合适的。只能从大量的具体例子出发，从他们实际经验或数学现实中，以归纳的方式抽取一类事物的共同的本质的属性，从而获得某些概念。（概念的形成—曹本P.279）所以掌握概念的典型方式是概念的形成。概念是如何形成的呢？人们又对客观事物的认识，一般是通过感觉、知觉形成印象（建立观念），在此基础上，运用比较、分析、综合、抽象、概括等方法，逐渐认识抽象出事物的本质属性和特征，并借助词语形成反映该事物的概念。如：自然数产生于计数。“数”与某具体的事物联系在一起，“5——五头羊，五个手指头”抽象出数量的共同特征。（5）数学概念：数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学是关于模式与秩序的科学。数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式，在数学中，每一数学概念通常用一个特有的名称或符号来表示。例如：“圆的概念”，反映了“平面内到定点的距离等于定长的点集”这一圆的本质属性；O表示以O为圆心的圆；sinx表示正弦函数；“方程”的概念，反映了“含有未知数的等式”这一方程的本质属性。数学概念的产生与发展有各种不同的途径：①从现实模型中直接反映得来：几何中的点、线、面、体——从物体的形状、位置、大小关系等概括出来；自然数——从手指数和其他单个事物排列次序抽象出来。②在一些相对具体的概念上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的：复数←实数←实数←有理数←自然数概念。③人们的思维加工，把客观事物理想化、纯粹化得来：直线的“直”和“可以无限延伸”。④数学内部需要产生——诸多“规定”：任何数乘以0的积为0；又例：为把正整幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂，以至实数指数幂，在数学中，产生了零指数，负整数指数，分数指数、无理数指数等概念。⑤根据理论上有存在的可能提出来的：自然数集，无穷远点，π。⑥在一定的数学对象的结构中产生出来，数学中许多概念，随着数学的发展而发展成为新的概念。例如：多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念，具有公共端点的两条射线所成的角的概念（静态）。发展成为射线绕它的端点旋转所成的角（动态）。关于几何量角的三角函数→实数的三角函数。总之，数学概念的产生和发展的途径是多方面的，有的数学概念的产生发展甚至是非常复杂的（如图论中“树”、“枝”，同伦，范畴，链，鞅论，测度，流形等等）。但，无论如何复杂，如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上（直接从客观事物的空间形式或数量关系、模式或秩序反映出来），或者在一定的理性认识基础上产生出来并逐步发展的。2、概念的内涵和外延——这是概念的逻辑特征概念的内涵和外延(ConnotationandExtentionofConcept)，是从质和量两个方面构成概念的。（1）内涵：是指概念所反映对象的本质属性的总和。又称内包即性质。例如：“人”的内涵是能思维、能制造工具，并使用工具进行劳动的动物。（2）外延：是指概念所反映对象的总和，或概念所指对象的范围。又称外包，表达数量，可看作一个集合。例如：“人”的外延是古今中外一切的人。二者异同点：都是主观对客观的一种认识，它们分别与客观对象本身和客观对象的特有属性、本质属性是有区别的。例如：△ABC的“顶点”概念其外延：A、B、C三点的集合，其内涵：包括点的性质和其中任一点同在这个三角形两边上这个性质。再例：自然数系中“偶数”概念。其外延：2、4、6、8、……2n、……等数组成的集合；其内涵：“能被2整除”这个性质。（3）数学概念的外延和内涵是在一定的数学科学体系中来认识的。例如：“角”的概念。在平面几何中，其内涵是指具有公共端点的两条射线所组成的图形。在平面三角中，其内涵是指一射线绕它的端点旋转而成的图形。其外延：任意大小的正角、负角、0o角。显见，二者的外延和内涵都是不同的。再如：方程的“解”与不等式的“解”的概念。“矩形与长方形”：同一概念可用不同词语表达，同一词语也可表达不同概念。用数学方法揭示逻辑中的概念问题，通常用集合的观点和符号来说明内涵、外延及概念间的关系。例：自然数中偶数的外延表示为。正方形的内涵：邻边相等，内角是直角的（平行四边形）；其外延：所有邻边相等，内角是直角的平行四边形构成的集合。一般地，集合表示一个概念的外延时，其中，就是这个概念的内涵。内涵严格限定了外延，外延完全确定了内涵。（4）概念内涵与外延之间的关系——互相严格地限定/确定，一脉相承，又相依而变。“反变关系”：概念的内涵和外延是密切联系，相互制约的。如果概念A的内涵比概念B的内涵多，那么A的外延就比B的外延小，这就是概念的内涵与外延的反变关系。例如：“等腰△”其内涵比“三角形”概念内涵多。而“等腰△”的外延比“三角形”的外延小，少了那些没有两边相等的三角形。再如：“方程”比“整式方程”的内涵少（少了“两边都是关于未知数的整式”）；而前者比后者的外延大（多了那些两边不都是整式的方程）。“概念的限制”：据此，把一个概念的内涵增加（扩大），得到另一个外延较小（缩小）的概念，叫做概念的限制；“概念的概括”：把一个概念的内涵减少（缩小），得到另一个外延较大（扩大）的概念，叫做概念的概括。例如：在“四边形”的内涵中增加“两组对边平行”得到“平行四边形”；在“平行四边形”的内涵中增加“有一个角是直角”，得到“矩形”。这是概念限制。又如：在“一元二次方程”中去掉“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”，便得到“整式方程”；在“整式方程”的内涵中去掉“两边都是关于未知数的整式”，便得到“方程”。这就是概念的概括。概念的限制与概念的概括的过程正相反。利用它可使我们准确地选择概念，恰如其分地表示我们所要反映的事物。概念的内涵要用定义来揭示，外延常用分类加以明确。借助定义和分类，可以把单个的概念组成相互关联的概念体系。二、概念间的关系(RelationbetweenConcepts)逻辑上所说的概念间的关系，通常是指概念外延间的同异关系。在形式逻辑中，两个概念的外延之间。主要有以下几种关系：1、相容关系。如果两个概念的外延至少有一部分是重合的，则称二者具有相容关系。两外延交集是非空集合。A·A·B（1）全同关系——同一关系或者重合关系全同关系是指两个概念的外延完全重合。具有全同关系的概念，其外延虽然完全重合，但它们的内涵可以不同。例如：①数0是自然数集中最小数；又是正与负数的分界数；又是运算中两个相等数的差；等等。②在等腰△中：底边上的高线、中线及顶角的平分线的外延相同，但其内涵（性质）不同。③④“同一关系”的例：北京；中华人民共和国首都。非零自然数；正整数。等边△；正△。等边矩形；等角菱形。同一概念是从不同的方面反映同一事物的本质属性，因而同一概念的外延相同，但内涵不完全相同。研究全同关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、较全面的认识。A此外，在推理证明中，具有全同关系的概念（即同一概念）可以互相代换，使得论证简明。AB表示AB：A较大——属（上位）概念BB较小——种（下位）概念（2）从属关系（属种关系）设不是同一关系的两个概念甲、乙，其外延分别用A、B表示。如果甲概念的外延A完全包含乙概念的外延B，或者说。如果B概念是A概念外延的一部分而不是全部，种概念B的外延是属概念A的外延的真子集。例如：有理数的外延（属概念）整数的外延（种概念）。有属种关系的两个概念的关系，在外延、内涵数量上，互相制约。反比关系（反变关系）一个概念的内涵多→外延—小反比关系（反变关系）反之内涵少→外延—大Note：这里借用“反比”的意思只是表示概念的内涵与外延在数量方面相应的变化方向相反，并不意味其间数量成反比例关系。例如：四边形外延外延外延外延多出：两组对边平行；两组对边相等；对角线互相平分。多出：四个角是直角；对角线相等。多出：邻边相等；对角线相等且相互垂直平分。内涵内涵内涵四边形内涵属概念和种概念是相对的。同一个概念，相对于某一概念是属概念，相对于另一概念可以是种概念。例如：“有理数”是“整数”的属概念，也是“实数”的种概念；“等腰△”是“△”的种概念，也是“等边△”的属概念。“种差”的概念：种概念包含于属概念，种概念除具有属概念的内涵外，还具有本身特有的内涵，这特有的内涵被称为种概念的种差（“种差”概念在概念的定义中有重要作用）。BA属种关系又称从属关系。在数学中，属种关系是概念间比较重要的一种关系。这种关系，在研究概念的性质以及推理，证明中常用到。BA（3）交叉关系如果两概念外延，有且只有部分重合，那么两个概念具有交叉关系。例：方程组的解集；不等式组的解集；几何中轨迹交截法。交叉概念A和B外延的交集既是A外延的真子集，也是B的真子集，这个交集往往是另一个概念的外延。以交叉概念A和B外延的交集为外延的概念，既具有A的内涵，又具有B的内涵。AB AB例：中学生；女学生女中学生；正数；整数正整数；矩形；菱形正方形。递增数列；有界数列递增有界数列正方形既是一组邻边相等的矩形，又是一个角是直角的菱形。2、不相容关系如果两概念的外延没有重合部分，则称为不相容关系或全异关系或排斥关系。它分为：（1）矛盾关系在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾关系。AB用集合符号表示之，设属概念的外延为集合C，它的两个种概念的外延分别为集合A和B。AB若AB=φ且A∪B=CC则A与B具有矛盾关系。例：男青年；女青年→{青年}有理数；无理数→{实数}直角△；斜△→{△}空集；非空集→{集合}.（2）反对关系（又称对立关系）AB在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立关系。AB若A∩B=φ且ABC，C则A与B具有反对关系。例：牛；马动物，质数；合数自然数，正弦函数；余切函数三角函数平行四边形；梯形四边形概念的全异关系（矛盾/反对）是数学中反证法、穷举法的依据（逻辑基础）之一，用处很多。两个概念间的矛盾关系和反对关系与它们的属概念有关。对于不同的属概念，两个种概念的关系可能不一样，对两个种概念的矛盾关系或反对关系，必要时应指出是对于那个属概念而言的。除以上各种关系外，概念之间还有一种并列关系。3、并列关系CB同一属概念的几个种概念之间的关系叫做并列关系。CBA概念的并列关系，可以是相容的，也可以不相容的。A概念A、B、C之间的相容并列关系可用图表示：例：小说家；诗人；剧作家；无穷数列；有界数列；递增数列；A2的倍数；3的倍数；5的倍数；7的倍数。ABC概念A、B、C之间的不相容并列关系，可用下图表示：BC例：红色；蓝色；蓝色；加；减；乘；除；正弦；余弦；正切；余切；正割；余割。并列关系多指三个或三个以上种概念之间的关系。[小结]数学中的概念很多，概念之间的关系也比较复杂。教学中我们可以利用欧拉图把这些关系直观地表示出来，便于学生掌握和理解。例如：四边形及其一系列种概念关系可如图所示：四边形四边形梯形平行四边形梯形平行四边形正方形等腰梯形直角梯形正方形等腰梯形直角梯形菱形矩形概念之间的关系可概括为：（）三、概念的定义和原始概念[问题的提出]：“是不是二次根式？”答曰：“不是。教材中把式子叫做二次根式，不具有的形式，所以不是二次根式。”又答曰：“是。把二次根式化为最简二次根式结果就是。是最简二次根式，还能不是二次根式吗？”两种回答观点相反，如何解释？这是一个与“二次根式”的定义有关的问题。1、什么是定义(Definition)定义是揭示概念内涵的逻辑方法。也即，通过指出概念所反映的事物的本质来明确概念的逻辑方法。例如：“方程”是“含有未知数的等式叫做方程”。“三角形”是“由三条线段首尾顺次连结所组成图形”。定义是由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。Ds--被定义项：就是其内涵被揭示的概念。Dp--定义项：就是用以揭示被定义概念内涵的概念。常用的定义联项：“是”、“叫做”、“称为”etc。例“Ds就是Dp”或“Dp叫做Ds”。平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。Ds联项Dp含有未知数的等式，叫做方程。Dp联项Ds在科学系统中，对于每一个数学概念都要给予确定的内容和含义，给概念下定义就是准确地揭示它的内涵。通常，当一个概念的内涵被揭示之后，就有了标准来确定哪些对象是属于或不属于这个概念的外延。即只要揭示了概念的内涵，也就确定（严格地限定）了它的外延。因此，概念的定义可以作为判别概念外延的标准。2、数学概念的定义方式数学概念繁多，其定义方式各不相同，中学数学教材根据学生年龄特点和知识水平，针对不同类型概念采用不同的定义方式。数学中常用的几种定义方式：（1）属概念加种差的定义方式中学数学中，有一系列概念属于同一类，这些概念之间的外延存在属种（从属）关系。在这一体系中，对某一概念有若干属概念，从最邻近的属概念出发来定义，即把被定义的概念归入另一个较为普遍的概念（属概念）是最常用的定义方式。所谓种差，是在同一个属概念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别，叫做这个种概念的种差（此有彼无的属性）。其公式为“被定义概念”=“属概念”+“种差”。定义1o：两组对边分别平行的四边形叫做平等四边形。定义2o：只含有一个未知数而且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。这种定义方式的优点在于能用已经定义的概念来定义它的种概念。用种差来揭示被定义的概念的特有性质。定义既准确，又明瞭，还有助于揭示概念间的各种关系，把概念系统化。例如“四边形”+“两组对边分别平行”=“平行四边形”；“平行四边形”+“有一个角是直角”=“矩形”；“矩形”+“邻边相等”=“正方形”。四边形、平行四边形、矩形、正方形之间的从属关系，以及平行四边形与非平行四边形的四边形，矩形与非矩形的平行四边形，正方形与非正方形的矩形等之间的矛盾关系，以及其内涵的差异都能够从它们的定义看得很清楚。在同一个属概念里，一种概念与其他种概念的本质属性相差可能不只是一个。只要能把这个种概念和其他种概念区别开来，定义时，可选用其中一个或几个本质属性作为“种差”。例如用“四边形”作属概念，选择不同的种差，可给出平行四边形下面几组定义：1o、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；2o、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形；3o、两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；4o、对角线互相平分的四边形叫做平行四边形；还有其他“种差”：5o、。在同一教材体系中，一个概念只能采用一个定义。也许是为了和“平行四边形”这个名称协调一致，一般选用第1o定义。其他定义都被表述为一个性质定理或判定定理。例如定义4o被“分解”为：平行四边形性质定理：平行四边形的对角线互相平分。平行四边形判定定理：对角线互相平行的四边形是平行四边形。在教学中，为培养学生抽象能力，把某些教材适当改变是有好处的。比如，可以改变逐个讲解平行四边形的定义，判定和性质定理的办法。而是让这生观察图形或模型，从而得出平行四边形的全部本质属性（种差）。然后，让学生自行分析应当以哪一组本质属性作定义，又以哪一组属性作为基础的性质定理，最后，完成定义和定理的准确叙述，并用出相应的证明。——上例是所谓用发现法进行教学（或数学化教学）的典型例子。在平面几何中，多边形、四边形、平行四边形、矩形、正方形；在立体几何中，几何体、棱柱、直棱柱、正棱柱、正四棱柱；在代数中，代数式，有理代数式、整式、单项式；还有映射，函数，初等函数，有理函数，有理整函数，一次函数都属于这一类。教学中，根据这类概念的特性，除了讲清概念本身外，还要把该概念放置在这一体系中从发展的观点出发阐明概念之间的关系。（2）发生定义方式发生式定义其实是“种差加属”定义方式的特殊形式。其基础不是事物的存在，而是它的产生和形成过程。它即是把只属于被定义概念，而不属于其他任何事物的发生或形成的特有属性作为种差的定义。例如1o、在平面上射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角。2o、把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫做代数式。3o、平面内一个点绕着一个定点做等距离运动所成的封闭曲线叫做图。4o、一个圆沿着一定直线滚动时，圆周上的一定点的轨迹叫做摆线。立体几何中有关旋转体的概念（如图柱、圆锥、圆台等）；解析几何中，椭圆、双曲线、抛物线、渐近线，摆线等都是采用发生定义的。这些定义方式的共同特点：把被定义概念的属概念（不一定是最邻近的）加上被定义的概念的发生过程，即把概念的发生过程作为种差。有的概念虽然是发生式定义，但未必能明显地写成“属十种差”的形式。如：排列、组合、某事件的概率。例如“排列”定义为：“从n个不同元素中，任取个，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。采用发生式定义的概念，在教学中必须紧紧抓住概念形成的过程和条件，并认真研究这些条件，才能切实掌握这类概念。即现时强调知识的发生过程。（3）揭示外延的定义方式用直接指明外延的方法定义概念，称为外延定义。普通概念的外延定义普通概念是指反映某一类对象的概念，它们所映的每一个对象都具有共同属性。如一次函数、数列、复数、三角形等。中学数学中，实数、有理数概念都是用外延定义。如：整数和分数统称有理数；有理数和无理数统称实数；整式和分式统称有理式；锐角△和钝角△合称为斜△；三角函数是正弦函数、余弦函数…的总称。单独概念的外延定义（或称约定式定义）单独概念是反映某一个特定对象的概念，它的外延只含有一个对象。如自然对数底e和圆周率π就是单独概念。数学中根据内部发展规律的需要对单独概念作特殊规定，如零指数概念定义为，使同底数幂的除法法则，在被除式的指数与除式的指数相等时也能适用；零阶乘概念定义为0！=1。这时，他们的内涵与外延统一起来。再如定义“负指数”规定：；“象的式子叫做二次根式”；Cn0=1；φ表示空集，N（自然数集），Z（整数集），R（实数集），C（复数集）。（4）其他定义方式·关系定义：又称相关概念的定义方式，它是以事物间的关系作为“种差”的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性。例如“偶数”的定义是：“能被2整除的整数叫偶数”，这是一个关于偶数的关系定义；在几何中，研究几何元素间的位置关系，如平行、垂直、相交等；大于直角而小于平面的角叫钝角；b(b≠0)整除a,就是c,使a=bc,(a、b、c、Z)。在代数中，数与数，数与式，式与式等关系，如：运算关系，即对加、减、乘、除等运算概念的定义；函数关系，即对各种函数关系的定义；其他关系，如最大公约数，互度数，同类项等。·公理化定义方式用若干条公理给概念下定义，称为公理定义方式。例如1891年意大利数学家皮亚诺（G.Peano,1858-1932）提出了用公理来定义自然数，成为数的概念的理论基础。（i）“1”是自然数；（ii）“1”不是任何自然数的后继数；（iii）每个自然数a，都只有一个后继数a’；（iv）如果a=b，那么a’=b’；（v）任意一个自然数的集合，如果含有1，并且假定：含有n，也一定含有n的后继数n’，那么这个集合含有所有的自然数（归纳公理）。这些公理中用到不定义概念“直接后继”，简称“后继”，用’表示；还有“1”，“集合”，“自然数”，“含有”等概念为前提。关于自然数集扩充：从公理集合论观点，用集合“无究公理”作为基础，自然数可如下归纳定义：（参见：张锦文《集合论浅说》，1984，科学出版社）0=（空集是0）1={}（0的后继）2={、{}}（1的后继）3={、{}、{、{}}}（2的后继）……一般地，若自然数n已经定义，则n的后继n+1定义为：所有自然数的集合称为自然数集，记为。按此定义，自然数0，1，2，…，n…都是集合，而且前面的集合总是后面集合的元素：因此，用属于关系“”来定义自然数的序“<”，是很方便的。这样，自然数的理论就完全建立在集合论基础之上，能够用集合论语言来统一表述。值得指出的是：皮亚诺公理化定义的自然数与集合论定义的自然数是等价的。建立如下一一对序f：f：，并且这两集合是序同构的。在欧氏几何的构成过程中，由于希尔伯特的贡献，建立了近代公理体系，使欧氏几何理论基础完整而严格。在希氏的公理体系中，间接地定义了点、直线、平面，同时定义了它们之间的若干关系。公理化定义是一种严格的定义方式，有着重要的理论和应用价值，但考虑到量力性原则，中学教材中没有直接使用公理定义。·递归定义方式（一般适用于与自然数的性质有直接关系的对象）在算术理论中，“两个自然数的和”定义为：对于任意两个自然数m，n，有且只有一个自然数m+n与之对应，且满足下列条件：（i）对任意自然数m，有m+1=m’；（ii）对任意两个自然数m，n有m+n’=(m+n)’；则称m+n为m与n的和。这种定义叫做递归定义。例如正整数指数幂可以用递归定义：（i）a1=a（ao=1(a≠0)）（ii）ak+1=ak.a（k为正整数）中学数学教材中幂的定义：实数a(a≠0)的n次幂：恰当使用递归定义，可把一类概念中省略号“…”的含义确切地表述出来，从而显得更加严谨。例的意义是a1+a2+…+an。但这里“…”意思不明确。如1+4+9+…第四项可理解为16（an=n2），也可理解为22（an+1=2an+an-1）。但以递归定义就确定了：满足：（i）f(1)=a1（ii）f(n+1)=f(n)+an+1（nN）（5）原始概念在一门科学体系中，总要给概念下定义，既用已知的概念来定义新的概念，这就构成一个概念序列。在这个序列中总有一些概念是不能引用其他概念来定义的，这就是不定义的原始概念（或称描述性定义概念）。如点、直线、平面、集合、对应、长度、面积等概念。因为没有比它们更高的属概念，所以不能用属加种差的方法来下定义。在中学数学中，常常用比较和描述的方法揭示这类原始概念的基本特征，以代替定义，通常称为描述性定义。在近代数学中，一般却通过公理化方法，来阐明原始概念的本质属性，通常也称为公理定义或隐定义。由于原始概念一般是直观描述，或具体说明（事例）。在教学中，应从具体，形象入手，再概括成概念，从概括中阐明它的本质属性。3、定义的规划：（1）定义必须相称即由定义确定的处延与被定义概念的外延必须是相等的，不能扩大也不能缩小。它们是同一关系。例如无理数定义为：“带根号的数是无理数”或“无限小数是无理数”是不相称的。这里，“无理数”与“带根号的数”是交叉关系。再如梯形定义为：“有一组对边平行的四边形叫梯形”。这也是不相称的。有一组对边平行的四边形不但包含梯形，而且还包含平行四边形。这种定义概念的外延大于被定义概念外延的逻辑错误叫做“定义过宽”。下面定义都犯了此错误：“不相交的两条直线叫做平行线”。再如无理数的下述定义：“开不尽的方根叫做无理数”。这种定义概念的外延小于被定义概念外延的逻辑错误叫做“定义过窄”，下述定义犯此错误：“正数的正的平方根叫做算术根”。“大于180o且小于270o的角叫做第四象限角”。讨论开始提出的问题：“是不是二次根式？”教材中二次根式的定义是：“式子叫做二次根式。”不具有的形式，根据上述定义，不是二次根式。但是，在研究二次根式的化简和运算时，习惯上都把象这样的式子也称为二次根式。这样，上述定义就有“定义过窄”之嫌。为解决这一问题，教材在引入“最简二次根式”之前，用“注”的形式做了如下补充规定：“为了方便，我们把形如的式子也叫做二次根式”。有了这个补充规定，我们可以说“是二次根式了”。（2）定义不能是循环的即定义要用已知概念，不要出现循环定义或同语反复。定义概念不能直接或间接地包括被定义概念。例用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直。例把幂定义为：“乘方运算的结果叫做幂”，又把乘方定义为：“求幂的运算叫做乘方”。这是循环定义。定义概念“求幂的运算”间接地包括了被定义概念“乘方”。（3）定义要简明、确切（即要求：不含糊，不比喻，不罗嗦，不含推出属性）例如说矩形象方凳子面那样的图形；象满月一样的图形叫作圆。在属种定义中若不取最邻近的属，容易造成重叠罗嗦或遗漏。有时定义形式似乎简明，但在逻辑上也能是罗嗦，如：“菱形是四边相等的平行四边形”。其中，含有推出属性，因只要一组邻边相等即可。再如“有一角是直角，其他两个角是锐角的三角形叫做直角三角形”。其中，“其他两个角是锐角”可由“有一个角是直角推出来”。（4）定义一般不用否定形式某些概念的特有属性就是缺乏某个属性例外。如平行线定义。构造数学定义系统，还要遵循如下准则：①定义要有序列性；②定义要有稳定性和合理性；③定义要具有存在性和唯一性；④定义要具有前后一贯性。四、概念的分类（源于拉丁语classis——种类，facio——划分）。1、何谓分类(partition)把一个属概念分为若干个全异种概念的逻辑方法来提示概念的外延以及概念间的各种关系，这就是分类。（有书上介绍又分为划分和分类，认为分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性所进行的划分。在此，我们不加区分统称分类。）按照集合论的术语，即把事物集合划分为不相交的子集。分类是系统化方法之一。按集合论的观点来分析，概念划分，实质上就是按照某种属性S，把母项的外延集合A，分成若干个满足下列条件的非空子集A1，A2，…An：概念的分类，要以概念所反映的事物的属性或特征为标准。同一概念可以用不同的标准进行不同的分类。一般按概念的自然特征来划分。如：多边形按边数分为三边形、四边形、五边形……例“三角形”的分类以“角的大小”为标准，分类为：以“边的大小“为标准，分类为：任何分类都包含划分的母项、子项和根据三要素。其中：母项——被划分的概念；子项——划分所得各概念；根据——划分标准。2．分类的基本方法划分有一次划分和多次划分之分。·一次划分是对被划分概念只划分一次。如：三角形分为锐角△，Rt△,钝角△三类。·多次划分是把划分后所得的子项作为母项，再进行划分，直到满足需要为止。如：（1）二分法：把一个概念分为两个具有矛盾关系的种概念的分类方法。即把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类，把恰好缺乏这个属性的对象作为另一类。这就是二分法。例：在科研中，为集中注意概念的某些属性，采用二分法分类是有好处的。概念一贯地分为两个相矛盾的种概念，直到不必再分为止。优点是规则易守。例：二分法划分之实例：平行四边行（参见李永新本P.113）（2）一般的划分方法把属概念，根据本质属性或特征的不同，分为几个具有全异关系的种概念，使得划分的结果比较稳定。·注意区别分类和分解：分解是把一个事物由整体分成若干部分。分解后的每一部分一般不再具有原来事物的本质属性。因此，不能说某一部分是原事物。例如：树可分解为树根、枝、干、叶等。其中任何一部分不再具有树的本质属性。说“树叶是树”是错误的。分类则是把一个属概念分为n个全异（不相容）种概念，即把一类事物分为n个小类。分类后的每一个小类仍具有原事物的本质属性。例如把对数分为首数和尾数，这是分解，而不是分类。首数是对数的一部分，它不具有对数的本质属性；由对数可唯一确定真数，但只由首数却不能确定真数，不能说“首数是对数”。同理，分数分为分子和分母；把函数分为自变量，对应关系等，都不是分类，而是分解。3、分类的规则（基本要求）（1）分类应当是相称的——分类的主要标准。即要求分类：不遗漏，不重复（包含二重含义：子项互不相容，子项穷尽母项）。分类所得的各个全异的种概念的外延的总和，应等于被分类概念的外延。这样，被分类概念的每一个对象都应落到一个且仅一个种概念内。即划分后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。在对数学概念分类时“种概念外延总和小于被分类概念的外延”。（即分类不全）的错误比较多。例如：实数分为正实数、负实数（缺少{0}）产生错误的原因之一，就是只对一些比较主要的种概念重点进行了研究，其余的没有专门的名称，更没有对它进行专门的研究。因此，分类时容易把这部分遗漏。再如把平行四边形和三角形分为：这种分类是不相称的。因为正方形也是菱形，等边三角形也是等腰三角形。同一对象可能落到两类内，而且漏掉了不等边的平行四边形。（2）分类要用同一个确定的根据——按同一标准进行一个概念的一次分类应自始至终按同一标准进行。否则易引起混乱，导致分类错误。不能达到准确揭示外延的目的。例如“三角形”分成五类。其中不等边△，等边△与锐角△都有相容关系，违反（1）Note：违反了（2），就违反（1）。如果想按两个标准对一个概念进行分类，可先按一个标准对这个概念进行分类，得到若干种概念。然后，再对每个种概念按另一个标准分类。例如对“三角形”，先按角的大小分类，再继续按边的大小分类，则可化划分为七类：按按角分按边分锐角△直角△钝角△不等边△底边与腰不等的等腰△等边△（3）分类一般不应当越级，即要求把属概念分为最邻近的种概念。（即以邻近的种概念作为子项）例如实数分为有理数和无理数。但把实数分为：就越级了。越级分类可把概念的系统搞乱。4、分类在数学中的应用在中学数学中，从定义概念、证明定理、解答问题到总结系统复习，各个环节都用到分类这一逻辑方法，另外，分类思想也是中学数学教育中重要的思想方法。（1）定义概念中的分类（2）证明定理、推导公式中的分类（3）解答问题，讨论问题中的分类（4）总结复习中的分类五、教学概念数学的基本要求及其教法探讨(一)概念教学的基本要求1、概念教学的重要性可概括为，概念不清，寸步难行。概念学习是数学学习的核心。2、概念教学基本要求掌握概念的内涵与处延，及其表达式（包括定义、名词、符号）和有关概念间的关系，在数学知识体系中不断加深扩大认识，使之成为系统的知识，并用来解决数学问题。即要求：理解、记忆、系统、会用。（1）在体系中掌握概念（同化与顺序学习）（2）概念引入（从需要/类比/纵向横向比较/复习旧课引入）（3）概念的形成（这是学生掌握概念的典型方式，概念的形成过程实际上是思维过程）例立几中如何建立“直线和平面垂直”的概念，具体通过：（曹本P.280）10提出比较对象20明确课题（引入）30观察、归纳、猜想40进一步揭露矛盾50对比、排除非本质属性60再由实际启发—实验、比较70进一步分析80得出结论经过这八个步骤，完成了“直线和平面垂直”概念的引