2022-2023学年山西省运城市盐湖区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省运城市盐湖区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，集合则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合再由集合的交集运算可得答案.【详解】集合，集合，则故选：B．2．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为（

）A． B．1 C．2或 D．2【答案】A【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】∵是幂函数，∴，即，解得，或，又当时，单调递减，∴，当时，，不合题意，舍去；当，，符合题意，故．故选：A．3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用最小正周期为排除选项AC；利用在区间上单调递减排除选项D；选项B以为最小正周期，且在区间上单调递减，判断正确.【详解】选项A：最小正周期为.判断错误；选项B：最小正周期为，且在区间上单调递减.判断正确；选项C：最小正周期为.判断错误；选项D：在区间上单调递增.判断错误.故选：B4．已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．的值域为 B．若，则的值是C． D．的解集为【答案】C【分析】分段计算得到的值域为，A错误，分段计算得到，B错误，代入计算得到C正确，分段解不等式得到D错误，得到答案.【详解】当时，，；当时，，，故的值域为，A错误；当时，，解得；当时，，无解，B错误；，C正确；当时，，解得；当时，，解得，故解集为，D错误；故选：C5．已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质，三角函数的性质比较大小即可【详解】∵，，∴；∵，∴；∵，∴，∴，又，，∴，∴．综上可知．故选：B．6．地震里氏震级是对地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能力分别为和，则的值所在的区间为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数运算及幂函数的单调性即可求解.【详解】因为，所以，解得，，解得，所以,因为，且，所以的值所在的区间为.故选：C.7．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数，有，解得且，所以，函数的定义域为，因为，函数为奇函数，排除CD选项，当时，，则，排除B选项.故选：A.8．已知函数，对于，，且在区间上单调递减，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由时，函数取得最大值，可求得的表达式．由单调性可得的范围，从而得最大值．【详解】由题意：在时取得最大值，则，，又在区间上单调递减，则，且，，所以，得，所以的最大值为，故选：C．二、多选题9．下列选项中，正确的是（

）A．函数（且）的图象恒过定点B．若不等式的解集为，则C．若，，则，D．函数恰有1个零点．【答案】CD【分析】对A：根据指数函数的图象与性质即可求解；对B：根据一元二次不等式的解法即可求解；对C：由特称命题的否定为全称命题即可求解；对D：由函数零点存在定理即可求解.【详解】解：对A：函数（且）的图象恒过定点，故选项A错误；对B：若不等式的解集为，则，且和是方程的两根，所以，解得，所以，故选项B错误；对C：若，，则，，故选项C正确；对D：易知函数在上单调递增，又，，所以由函数零点存在定理可得存在唯一，使，所以选项D正确.故选：CD.10．已知实数a，b满足，则下列关系中恒成立的是（

）．A．B．C．D．，【答案】ACD【分析】根据双勾函数性质判断A，根据指数函数判断B，根据对数函数性质判断C，根据三角函数性质判断D.【详解】因为，所以，所以，对于A，双勾函数在单调递增，所以，即，A正确；对于B，指数函数在上单调递减，所以，B错误；对于C，，C正确；对于D，，因为，所以，所以，所以，D正确，故选:ACD.11．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（

）．A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的最小正周期为2C．函数的单调增区间为，D．函数的图象没有对称轴【答案】ABD【分析】根据图象的平移变换可得，根据正切函数的对称中心可求A，根据周期公式可求B，利用正切函数的单调性可求C，根据正切函数不是轴对称图形可求D.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，令解得，当时，所以函数的图象关于点成中心对称，A正确；函数的最小正周期为，B正确；令解得，所以函数的单调增区间为，，C错误；正切函数不是轴对称图形，D正确，故选:ABD.12．已知函数，若有四个不同的解且，则有

（

）A． B．C． D．的最小值为【答案】ABD【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC选项，再通过判断B选项，最后结合单调性判断D选项.【详解】由题意，当时，：当0<时，：当时，，作出函数f(x)的图象，如图所示，易知f(x)与直线有四个交点，分别为（-2，1），（0，1），（，1），（4，1），因为有四个不同的解且，所以故C错误；且A正确；，又，所以，即，B正确；所以，且，构造函数，且，可知g(x)在（1，4]上单调递减，且，所以的最小值为—．D正确．故选：ABD．三、填空题13．已知，，且，则的最大值是__________．【答案】【分析】利用基本不等式及对数的运算，结合对数函数的单调性即可求解.【详解】因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以.由对数函数可知，在上单调递增，因为，所以，所以的最大值为0.故答案为：.14．已知函数，则____________.【答案】2【分析】构造一个奇函数，利用奇函数的性质求解．【详解】设，则，为奇函数，所以．所以，．故答案为：2．15．已知定义在R上的偶函数满足：，对，，当时，，且，则不等式在上的解集为______．【答案】【解析】先分析得到函数在上单调递减，周期，再得到当时，，即得解.【详解】因为对，，当时，，所以在上单调递减，而，由偶函数得当时，；又可得周期，因为，所以当时，；于是的解集为．故答案为：【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解.16．关于函数有下述结论：①是偶函数；②函数是周期函数，且最小正周期为；③函数在区间上单调递减；④函数在有3个零点；⑤函数的最大值为2．其中所有正确结论的编号是__________．【答案】①③④⑤【分析】利用函数奇偶性的概念即可判断①；由判断②；由，去掉绝对值，得，再根据正弦函数的单调性可判断③；由函数是偶函数，则只需要考虑上的零点个数，，再根据正弦函数的零点即可判断④；由函数是偶函数，则考虑的情况即可，写出分段函数解析式即可判断⑤．【详解】解：①函数的定义域为R，又，∴函数是偶函数，故①正确；②当时，，时，，故最小正周期不为，故②错误；③当时，，在上单调递减，故③正确；④∵函数是偶函数，∴只需要考虑上的零点个数，此时，在上有2个零点，为，∴在有3个零点，为，故④正确；⑤∵函数是偶函数，∴考虑的情况即可，当时，，∴的最大值为2，故⑤正确．故答案为：①③④⑤四、解答题17．计算下列各式的值(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；（2）利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦公式，结合两角差的正弦公式的逆用即可求解.【详解】（1）原式.（2）原式.18．求值：(1)已知，，，求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出、，利用平方关系可得、，由利用两角差的余弦展开式可得答案；（2）由两边平方可得，求出的范围，由平方关系求出，再利用计算可得答案..【详解】（1）因为，所以，因为，，所以，，所以，因为，所以；（2）因为，，所以，所以，又由，解得，或舍去，所以，所以，则.19．已知函数图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）求函数在，上的单调递减区间.【答案】（1），；（2）单调递减区间为，.【分析】（1）由最高点坐标求得，由周期求得；（2）利用正弦函数的单调性求减区间．【详解】解：（1）函数图象上最高点的纵坐标为2，，.且图象上相邻两个最高点的距离为，，.（2）对于，令，求得，故函数的单调减区间为，，，再结合，，可得函数在，上的单调递减区间为，.20．已知函数且.（1）试判断函数的奇偶性；（2）当时，求函数的值域；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）偶函数；（2）；（3）.【解析】（1）先求得函数的定义域为R，再由，可判断函数是奇偶性；（2）由，所以，以及对数函数的单调性可得函数的值域；（3）对任意，恒成立，等价于，分，和，分别求得函数的最值，可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为且，所以其定义域为R，又，所以函数是偶函数；（2）当时，，因为，所以，所以函数的值域为；（3）对任意，恒成立，等价于，当，因为，所以，所以，解得，当，因为，所以，所以函数无最小值，所以此时实数不存在，综上得：实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立.21．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.（1）设，求三角形木块面积；（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.【答案】（1）；（2）,的面积最大值为【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，所以,，所以；（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以可只分析时的情况，，，所以，令，，故，，，，，，函数在单调递增，所以当时，的面积最大，最大值为.【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力.22．已知奇函数和偶函数满足．(1)求和的解析式；(2)存在，，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)