《统计》考点解析

《统计》考点解析【考纲解读】1.理解取有限个值的离散型随机变量均值.方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.方差，并能解决一些实际问题．2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．3.了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．【知识网络构建】【重点知识整合】1．随机抽样(1)简单随机抽样；(2)分层抽样；(3)系统抽样．2．统计图表频率分布表.频率分布直方图.茎叶图．3．样本特征数(1)众数；(2)中位数；(3)平均数；(4)方差；(5)标准差．4．变量的相关性与最小二乘法【难点探究】难点一随机抽样例1.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【变式探究】(1)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数分别为()A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9(2)从2022名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2022人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2022人中，每人入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为eq\f(50,2022)D．都相等，且为eq\f(50,2022)(2)设个体为a，a入选必须同时具备不被剔除和按照系统抽样能够入选，a不被剔除的概率是1－eq\f(12,2022)＝eq\f(2000,2022)，a按照系统抽样入选的概率是eq\f(50,2000)，这两个事件同时发生则a被入选，故个体a入选的概率是eq\f(2000,2022)×eq\f(50,2000)＝eq\f(50,2022).难点二频率分布直方图的应用例2.某市教育行政部门为了对2022届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中抽取1000名学生学业水平考试数学成绩作为为样本进行统计，已知该样本中的每个值都是[40,100]中的整数，且在[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]上的频率分布直方图如图19－1所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小可能值为a，最大可能值为b.(1)求a，b的值；(2)从这1000名学生中任取1人，试根据直方图估计其成绩位于[a，b]中的概率(假设各小组数据平均分布在相应区间内的所有整数上)．【点评】频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．【变式探究】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数412423210(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，t＜94，,2，94≤t＜102，,4，t≥102.))从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为，，，因此P(X＝－2)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，即X的分布列为X－224PX的数学期望E(X)＝－2×＋2×＋4×＝.难点三统计案例例4.某种设备的使用年限x和维修费用y(万元)，有以下的统计数据：x3456y34(1)画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)估计使用年限为10年，维修费用是多少？【分析】(1)根据对应值组成点的坐标，画出各点即可；(2)直接套用求回归直线系数的公式，求出eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))；(3)根据求出的回归直线方程，求x＝10时对应的y值，即使用年限为10年时，维修费用的估计值．【解答】(1)散点图如图：【方法规律】1．计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算，值得注意的是三组数表中给出的数据均是有重复性的，要根据这个重复性简化计算．方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．2．注意确定性思维和统计思维的差异，确定性思维作出的是完全确定的.百分之百的结论，但统计思维作出的是带有随机性的.不能完全确定的结论，在解题中忽视了这两种思维方式作出结论的差异，就可能对统计计算的结果作出错误的解释．【高考试题举例】1.【2022高考真题上海理17】设，，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（）A．B．C．D．与的大小关系与的取值有关2.【2022高考真题陕西理6】从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】B.【解析】根据平均数的概念易计算出，又，故选B.3.【2022高考真题山东理4】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为（A）7（B）9（C）10（D）154.【2022高考真题江西理9】样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则n,m的大小关系为A．B．C．D．不能确定5.【2022高考真题湖南理4】设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=，则下列结论中不正确的是与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（，）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg6.【2022高考真题安徽理5】甲.乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【答案】C【解析】，甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为．7.【2022高考真题天津理9】某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取________所学校.8.【2022高考江苏2】（5分）某学校高一.高二.高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．9．(2022年高考陕西卷理科9)设，，，是变量x和y的n个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（A）x和y相关系数为直线l的斜率（B）x和y的相关系数在0到1之间（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同（D）直线过点10.(2022年高考四川卷理科1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[，2[,4[，23．5)9[,18[，1l[，12[．7[,3根据样本的频率分布估计，数据落在[，的概率约是(