中学数学老师如何教解题

中学数学老师如何教解题

学数学离不开解题，当遇到数学题时怎么想？作为老师，怎么和学生一起寻找解题思路，即寻找解题思路的教学是一个值得重视的课题。有些教师在给出一道数学题之后直接就解了，这样学生的思维没有得到激发，这种重“解题”轻“教学”的情况应该转变。在本文中，按照解题指导的顺序给出了与解题中5个步骤相对应的解题策略。一、先估后算策略在呈现一道题时，教师要教育学生不要急于运算或推理，第一步应该是先大致估计一下称为先估后算策略。先估后算的解题策略本质上是题目的“初步定向”，是审题的继续。经常运用先估后算策略进行教学，学生对问题的洞察力可以大大提高。譬如对一个直角三角形而言，如果已知两个独立的条件，基本量够了，问题确定，肯定可以用勾股定理和三角比的知识直接求出；如果只知道一个条件，条件不够，问题不确定，这时，应该用方程来解。先估后算大致包含了两个方面：·条件的估计判断题目条件是否多余或缺少？有没有矛盾？判断一个问题是否确定？是否可变？这里基本量分析很重要。例1已知，如图1，△ABC中，AM是BC上的中线，CN⊥AM，BC=2，沿AM将△CAN翻折到△AND，说出BD和BC的数量关系。有位老师这样想：因为MN是△BCD的中位线，所以比较BD和BC，只要比较MN和MC即可。又因为AM⊥CD，所以斜边MC＞MN，即BC＞BD。但是该资料提供的答案却说，。图1由此他想证明∠CBD=45°，找来找去，但始终没有结果。其实，想证明∠CBD=45°，就是证明∠CMN=45°，而这个角是中线AM和BC的夹角是一开始就固定下来的。题设里没有说它等于45°，而且也不会因为翻折等等而变成45°的。因此可断言：题目漏条件或者答案错，即基本量不足，问题可变，BC与BD的具体数量关系可变。·数量的估计——变化的依赖关系和变化的范围基本量不足，问题是可变的。这时要弄清楚问题中有哪些量？哪些量是固定的，哪些量是变的？哪些量是初始的，哪些量是跟着变的？还要弄清楚量的变化范围。譬如二次函数应用题，要把变化关系讲清楚，甚至“回到原始”。例2有材料50米，一面靠墙，围成一饲养厂，问：怎样围法，面积最大？图2例2有些老师重视解法：如图2，设宽为x，列式y=x(50-2x)，然后求这个函数的最大值。这样做在这类题目初次出现的时候，不是十分恰当。因为这个时候学生常常受到列方程的干扰，对列函数式很不适应。建议作如下的分析：当宽x=1米，长是50-2x=48米，此时面积是S=1×48=48平方米；当宽x=2米，长是50-2x=46米，此时面积是S=2×46=92平方米；……使学生懂得S随x变化而变化，既然变，就有可能取得最大。这样先估一估使得学生有了感受。长此以往，学生在审题时就会养成分清变量和常量，关注变量的变化范围的习惯，对数量的情况有一个预估，会有利于理解题意，促进解题的效率。二、模式识别策略在对问题作初步估计之后，接下去教师应该引导学生怎么思考。我们主张通法优先，所以第二步应该是模式识别。使用模式识别的解题策略，可以快速、有效地解答常规题，这在前面已经有例子说明，所以模式识别应该是解题的第一步。模式有好几种，有些模式在课本上已有清楚的表述，如一元一次方程的解法，有些则是自己归纳的解题模式，还有的是做过的范例。对于模式，不但要掌握解题步骤，更重要的是理解模式的灵魂——思想方法，而乱套模式，套错模式，是运用模式识别策略的大忌。三、“寻找优法”策略找到了通法，心里有了个底。这时候，应该再寻找有没有更好的解法。所以，第三步应该是“寻找优法”。在种种解法中，如果能够找到“一眼看穿”问题本质的解答，诸如特殊值法、排除法等问题就可以轻而易举地解决了，特别是选择题和填空题尽量“小题小做”。除了上面提到的特殊值法、排除法等等，下面几种思考问题的思路有利于“一眼看穿”。·凑值例3解方程。比较两边，应有x=1。这里采用“凑值法”得到解应该允许，但最好要引导学生补充理由：一次方程只有一个解，现在找到了一个就是原方程的解。例4解方程x(x+1)(x+2)(x+3)=24。解：x(x+1)(x+2)(x+3)=1×2×3×4，或x(x+1)(x+2)(x+3)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)，得。这个解法有点缺陷，但还是应该鼓励，特别作为选择题、填空题应该作为正确来评价。·整体思维在研究某些问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大思考问题的视角，将所研究的对象看做一个整体。通过研究问题的整体形式、整体结构和对问题作种种整体处理后，达到顺利、简洁处理问题的目的。像这种从整体观点出发研究问题的心理活动过程，在心理学上叫做“整体思维”。例5一天小明带着小狗和小红从相距1000米的两地同时出发，相向而行，小明每分钟走45米，小红每分钟走55米，小狗每分钟跑150米，在小明和小红相向而行的过程中，小狗不停地在两人间来回跑，问到两人相遇时，小狗一共跑了多少米的路？这是历史上非常有名的苏步青问题。大多数学生看到这个问题时，首先想到的是解决这个问题要先知道小狗来回跑了多少次，每个来回分别跑了多少米，这是抓了细节。这样一来问题就很有难度了。其实这里只需求出两人要几分钟能相遇，即1000÷(45+55)=10（分钟），再考虑从两人出发的时候起，直到相遇为止，一直在两人之间奔跑，从未停过，整整跑了10分钟。狗每小时跑150米，所以它一共奔跑了150×10=1500（米）。·对称·黑箱方法在系统科学里，通常把内部构造和机理不能直接观察的事物或系统称为黑箱；虽不清楚全部的结构和机理，但有部分机理还是知道的问题称为“灰箱”。“黑箱方法”是系统科学中认识事物的一种方法。其基本思想是：不去研究它的内部构造和机理，而是通过考察外部输入黑箱和黑箱输出的反馈信息的变化关系，来探索问题的结果。对于灰箱，也是通过输入输出的信息变化来研究，但可借助于问题的部分已知机理。中学数学里遇到的其实多为“灰箱”。四、条件结论分析策略如果某个数学题没有通法、优法，特别是“一眼看穿”的方法没有找到，接下去应该怎么办？这时候要老老实实地、仔细地分析条件结论。这是第四步常用双向分析策略，差异分析策略等方法。·双向分析策略所谓双向分析就是从条件伸展和由结论倒溯相结合从而找到中间环节，最后接通整个解题串的问题分析方法，这是优秀教师常用的方法。图3追溯结论成立：证AE=FD，是证明两线段相等，能够证得它的可以是①三角形中，等角对等边；②全等三角形对应边相等；③如果两线段都等于第三条线段，则这两线段相等……容易看出由于AE、FD不在同一个三角形中，也不在有可能全等的两个三角形中，所以上游命题①和②，可能没有用。考虑利用上游命题③，即找第三条线段过渡。从图上看，这个第三条线段，可锁定EF。现在的问题转化为证AE=EF，EF=FD。可以看到，条件伸展和结论追溯，联系在一起，容易得到证法。·差异分析策略双向分析法是侧重于分析条件、结论之间的逻辑关系，罗增儒教授提出的差异分析法则是侧重分析条件、结论之间的差异，具体地说，是通过注意条件与结论之间的异同，并不断减少它们之间的差异，来完成解题的思考方法。下面的例子取自罗教授的著作《中学数学解题的理论和实践》（广西教育出版社）。例9如果a、b、c为互相不相等的实数，且满足关系式那么a的取值范围是＿＿。条件是关于a、b、c的两个等式，结论是关于a的一个不等式，目标差有三点：1)条件式两个式子，结果是一个式子的差异，作出的反应，应该合并条件（加减乘除等）；2)条件中有三个字母，结果只有一个字母的差异，作出反应应该消元；3)条件是等式，结论是不等式的差异，作出反应应该对等式放缩，得出不等式。五、变更问题策略如果分析条件、结论还不能找到解法，那么就需要第五步变更问题。变更问题可以变更整个问题，也可以单独变更条件或单独变更结论。下面通过几个具体的例子来认识变更问题的主要类型：·表示形式的转换不少专家认为问题表征在解题中有重要的作用。当一个问题的表示形式不容易理解或不容易导出思路时，教师就应该设法换一种表示方式，或许解题的思路就此找到了。·问题转化例10已知x≥1，求动点与点B(1，0)的距离的最小值。这是一个几何问题，如果转化为AB是x的函数，设法求其最小值，那就是代数问题了。例11若不等式恰好有一个实数值为解，求实数p的值。这是一个不等式的问题，如果转化为：抛物线在两直线y=0，y=1之间（不含y=0，但含y=1）恰有一个对应的x值，那就是函数问题了。·逻辑转换“司马光砸缸”的故事传诵千古，要从水缸中救人必须使人离开水，司马光的机智就在于换了一种思维，一时无法让人离开缸和水就先砸缸让水离开缸，则同样也实现了人离开水的目标。数学解题教学时，同样也可以这样来转换思维，通过研究原命题的逆命题或否命题，根据这些命题与原命题的关系和本质联系，最终解决问题。例12有