工程制图全套教程二

第2章

投影法基础

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教学提示：为将空间物体在图纸上表达出来，即将三维空间中的立体用二维平面上的图形来表示，工程中采用投影的方法来实现。投影法分为中心投影法和平行投影法，其中，平行投影法又分为正投影法和斜投影法两种。为了清楚地表达空间物体的真实形状和大小，在工程中一般采用正投影的方法获得一组图形来设计和表达工程对象，这一组图形称为三面投影(正面投影、侧面投影和水平投影)，在工程上又称为视图。有时，还需要用平行投影法获得立体感较强的轴测图来进行辅助性的观察和看图。本章主要介绍投影法的基本概念、三面投影的基本画法和常用轴测图的画法。教学要求：本章要求学生重点掌握正投影法和轴测投影的基本概念及投影规律，并学会应用正投影法获得物体的三面投影。●2.1投影法基础知识

●2.2三投影面体系与物体的三面投影

●2.3轴测图的基本概念本章内容2.1投影法基础知识

在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在墙壁或地面上出现了物体的影子，这是一种自然的投影现象。人们发现，空间物体在一个平面上留下了影子，该影子反映出物体一定形状。根据这种现象，人类总结了这种投影现象的几何关系，创造了投影法，解决了用平面图形来表达空间物体的问题。

1.投影法的基本概念假想用光线照射物体，使物体在平面上留下影子的方法就称为投影法。分别将光线、平面和影子抽象为投射线、投影面和投影，因此投影就是通过物体的投射线与投影面的交线。用工程理论的术语来描述，我们把一定条件下、一系列投射线通过表达对象与投影面交点的总和，称为图像。此图像也称为该表达对象在该投影面上的投影，而获得投影的方法称为投影法，如图2.1所示。投影法是平面上表示空间形体的基本方法，是画法几何及工程制图的基础。2.1.1投影法的基本概念

综上所述，投影法所具备的条件如下：

(1)投射中心以及从投射中心出发的投射线。

(2)不通过投射中心的投影面。

(3)表达对象(几何要素或物体)。

2.投影法的分类工程上常用的投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类，如图2.1所示。其中，平行投影法有正投影法和斜投影法之分。

1)中心投影法投射线从一点发出来的投影法称为中心投影法，用中心投影法得到中心投影，如图2.1(a)所示。中心投影一般用于表达较大的场景或目标，例如地貌、建筑物等，这种投影形成的图形称为透视图。透视图的立体感很强，常作为一种效果图，不注重于物体尺寸的表达，如图2.2所示。2.1投影法基础知识2.1.1投影法的基本概念(a)中心投影法(b)平行投影法图2.1投影法及其分类2.1投影法基础知识2)平行投影法 投射线互相平行的投影法称为平行投影法，如图2.1(b)所示。其中，投射线垂直于投影面时的平行投影法称为正投影法；图2.2透视图2.1投影法基础知识投射线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法。而用正投影法和斜投影法分别得到的投影称为正投影和斜投影。用正投影能直接和方便地表达空间物体的真实形状、大小和空间位置，所得到的图形广泛地用于工程图样，因此我们常将正投影简称为投影，如图2.3(b)所示。在用正投影法表达一个空间物体时，往往是将该物体的主要表面或主要轮廓线平行于投影面放置，这样得到的投影能够真实地反映物体在该投影方向上的形状和大小。但物体的一个投影不能唯一确定其各个方向的形状、大小和位置，因此工程上常常将物体置于一个多投影面体系，用一组正投影从各个方向来表达物体。如图2.3(b)所示的投影图就是用一组两面正投影来表达一个工程对象的投影图。如果将物体相对于投影面倾斜放置而采用正投影法、或者将物体正放而采用斜投影法，可以在同一投影面上表达物体3个方向的形状，这种投影称为轴测投影，如图2.3(c)所示。轴测投影的立体感强，直观性好、容易看懂，它对于人们理解和掌握物体的形状十分有利，但其尺寸的度量性却不如多面正投影图，因此在生产和设计中常作为辅助图样或商业广告。

2.1投影法基础知识

(c)轴测投影

(a)表达对象

(b)多面正投影

2.1投影法基础知识2.1.2平行投影的基本性质平行投影有如下基本性质：1)实形性当线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。如图2.4所示，直线DC、GH、JB和KA等均平行于V面，在V面上的投影反映实长，如。平面BCDGHJ平行于V面，在V面上的投影反映实形。2)积聚性当直线或平面图形平行于投射线时，其投影积聚成点或直线。在如图2.4所示中，直线AR、KQ等垂直于V面，在V面上的投影积聚成一点；平面EFML、FGHOM等垂直于V面，在V面上的投影积聚成一条线。2.1投影法基础知识图2.4平行投影的的投影特性性2.1投影法基础础知识3)类似性当当直线或平平面图形倾倾斜于投影影面时，直直线的投影影仍然是直直线，平面面图形的投投影是原图图形的类似似形，但直直线或平面面图形的投投影均小于于实长或实实形。像这这种原形与与投影间不不相等也不不相似，而而两者的边边数、凸凹凹、曲直、、平行关系系不变的性性质称为类类似性。在在图2.4中，平面四四边形ABJK、EFGD在V面上的投影影为类似的的四边形、、。。4)平行性如如果空间直直线平行，，则它们投投影仍然相相互平行。。在图2.4中，EF、GD相互平行，，它们在V面上的投影影、、仍仍然然相互平行行。5)从属性2.1投影法基础础知识2.1.2平行投影的的基本性质质几何元素的的空间从属属关系在投投影中不会会发生改变变：属于直直线的点的的投影必定定落在直线线的同面投投影上，属属于平面的的点和线的的投影必定定落在平面面的同面投投影上。如如图2.4所示，S点在直线KJ上，S点的投影一定在上上。。6)定比性(1)若空间直线线上一点把把该直线分分成两段，，则该两线线段之比，，必等于其其投影之比比。如图2.5(a)所示，点K在直线AB上，其投影影必在ab上(从属性)，且由于Aa//Kk//Bb，故有AK∶KB=ak∶kb。(2)空间平行线线段的长度度之比，等等于其投影影之比。如如图2.5(b)所示，分别别过F和G作fe和gh的平行线，，可得到两两个相互平平行的相似似三角形及及矩形，从从而得EF∶HG=ef∶hg。2.1投影法基础础知识2.1.2平行投影的的基本性质质(b)(a)图2.5平行投影的的定比性2.1投影法基础础知识从图2.6中的4个立体图的的投影情况况可知，当当从上往下下进行投影影时，它们们获得的投投影相同，，均为一对对同心圆。。这说明，，一个投影影不能唯一一地表达物物体的形状状，因此必必须建立一一个投影面面体系，将将物体同时时向几个投投影面进行行投影，用用多个投影影图来确切切地、完整整地表达空空间物体。。这种方法法获得的一一组投影称称为多面正正投影，亦亦简称为投投影。2.2三投影面体体系与物体体的三面投投影图2.6不同物体在在同一投影影面上的投投影相同2.2三投影面体体系与物体体的三面投投影2.2.1三投影面体体系我们知道，，笛卡儿直直角坐标系系将三维空空间分为8个象限(分角)，每个象限限的位置如如图2.7(a)所示。在国国家标准GB/T4458.1—2002中规定，我我国采用第第一分角投投影法(简称第一角角画法)绘制图样，，而国际上上有的国家家(如美国、日日本等)则采用第三三角投影法法(简称第三角角画法)。在第一分角角中，由正正立投影面面V、水平投影影面H和侧立投影影面W共3个相互垂直直的投影面面(分别简称为为V面、H面和W面)构成的投影影面体系称称为三投影影面体系，，如图2.7(b)所示。三投投影面两两两相交产生生的交线OX、OY、OZ，称为投影影轴，简称称为X轴、Y轴和Z轴。2.2三投影面体体系与物体体的三面投投影图2.7投影体系2.2三投影面体体系与物体体的三面投投影如图2.8(a)所示，将物物体置于三三投影面体体系中，用用正投影法法分别向3个投影面投投影后，得得到了物体体的三面投投影。国家家标准规定定：正面投影是是对物体由由前向后进进行投影，，在正面上上所得到的的投影。水平投影是是对物体由由上向下进进行投影，，在水平面面上所得到到的投影。。侧面投影是是对物体由由左向右进进行投影，，在侧面上上所得到的的投影。如图2.8(b)和图2.8(c)所示，投影影后将物体体移开，V面保持不动动，将H面连同其投投影绕X轴向下旋转转90°，W面连同其投投影绕Z轴向右旋转转90°，使它们与与V面处于同一一平面上，，并约定投投影轴和投投影面的边边框略去不不画，从而而得到物体体的三面投投影，如图图2.8(d)所示。2.2.2三面投影的的形成2.2三投影面体体系与物体体的三面投投影2.2三投影面体体系与物体体的三面投投影图2.8三面投影的的形成2.2三投影面体体系与物体体的三面投投影上述投影过过程表明，，一旦物体体在投影面面体系中的的位置确定定，并规定定X、Y、Z轴方向分别别为物体的的长、宽、、高3个方向如图图2.9(a)所示，则空空间物体与与其平面投投影以及我我们所熟悉悉的空间直直角坐标系系就有了一一一对应的的关系。实际上，，我们还还可以这这样来理理解三面面投影的的形成过过程：所所谓物体体的正面面投影，，可看成成是令该该物体的的空间坐坐标值Y=0后获得的的平面投投影图，，即完成成了该物物体从三三维空间间向二维维平面的的转换。。因此正正面投影影仅反映映出物体体的长(X)和高(Z)方向的形形状和大大小；同同理，物物体的水水平投影影即是令令Z=0，而侧面面投影则则是令X=0，因此，，物体的的水平投投影仅反反映出物物体的长长(X)和宽(Y)，侧面投投影仅反反映出物物体的宽宽(Y)和高(Z)。2.2.3三面投影影的投影影规律2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影根据物体体与其三三面投影影的位置置和对应应关系，，可反映映出以下下几个特特点：(1)三面投影影之间的的位置配配置关系系是：水水平投影影在正面面投影的的正下方方，侧面面投影在在正面投投影的正正右方。。(2)三面投影影之间的的对应关关系是：：每个投投影反映映物体长长、宽、、高中的的两个方方向的大大小。正正面投影影和水平平投影同同时反映映物体的的“长””；正面面投影和和侧面投投影同时时反映物物体的““高”；；水平投投影和侧侧面投影影同时反反映物体体的“宽宽”。由由此而得得到以下下的三面面投影规规律(又称三等等关系)：①正面面投影与与水平投投影长对对正。②正面面投影与与侧面投投影高平平齐。③水平平投影与与侧面投投影宽相相等。(3)三面投影影与物体体6个方位的的关系是是：正面面投影反反映物体体的上、、下、左左、右4个方位；；水平投投影反映映物体的的前、后后、左、、右4个方位；；侧面投投影反映映物体的的上、下下、前、、后4个方位。。2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影图2.9三面投影影的投影影规律2.2三投影面面体系与与物体的的三面投投影多面正投投影图用用多个投投影图准准确地、、真实地地反映出出物体的的长、宽宽、高3个方向的的形状和和大小，，作图简简便，标标注尺寸寸也很方方便，广广泛地应应用于工工程设计计和制造造领域，，但这种种图样的的立体感感较差。。轴测图图是工程程中常采采用的另另一种图图样，它它是在单单一的投投影面上上同时反反映物体体的三维维方向的的表面形形状，立立体感强强，比较较符合人人们的视视觉习惯惯，但由由于它的的度量性性较差，，作图过过程也比比多面正正投影复复杂，因因而在工工程上仅仅作为辅辅助图样样或效果果图，用用以帮助助人们看看图和进进行空间间想象。。2.3轴测图的的基本概概念2.2.3三面投影影的投影影规律对同一物物体分别别采用三三面投影影和轴测测投影绘绘制的两两种图形形，如图图2.10所示。2.3.1轴测图的的基本知知识图2.10多面正投投影图与与轴测图图2.3轴测图的的基本概概念1.轴测图的的形成和和投影特特性用平行投投影法将将物体连连同确定定物体空空间位置置的直角角坐标系系一起投投射到单单一影面面，所得得的投影影图称为为轴测图图，如图图2.11(a)所示。图2.11轴测图的的形成和和投影特特性2.3轴测图的的基本概概念由于轴测测图是用用平行投投影法得得到的，，因此具具有以下下投影特特性：(1)空间相互互平行的的直线，，它们的的轴测投投影互相相平行。。(2)空间立体体上凡是是与坐标标轴平行行的直线线，在其其轴测图图中也必必与与轴测测轴互相相平行。。(3)空间立体体上两平平行线段段或同一一直线上上的两线线段长度度之比，，在轴测测图上保保持不变变。2.轴测图的的基本术术语轴测图的的基本参参数如图图2.11所示。(1)轴测投影影面：轴轴测图中中的投影影面称为为轴测投投影面。。它是一一个单一一的投影影面。一一般用大大写的拉拉丁字母母表示，，如图中中的P面。(2)点的轴测测投影：：过空间间点的投投射线与与轴测投投影面的的交点称称为该点点的轴测测投影。。本章中中约定，，用带有有下角标标1的大写拉拉丁字母母表示，，如A1、B1等。2.3轴测图的的基本概概念2.3.1轴测图的的基本知知识(3)轴测轴：：确定空空间物体体的坐标标轴OX、OY、OZ在P面上的投投影称为为轴测投投影轴，，简称轴轴测轴，，记为O1X1、O1Y1、O1Z1。(4)轴间角：：轴测轴轴之间的的夹角称称为轴间间角，记记为∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠Z1O1X1。(5)轴向伸缩缩系数：：由于形形体上3个坐标轴轴对轴测测投影面面的倾斜斜角度不不同，所所以在轴轴测图上上各条轴轴线长度度的变化化程度也也不一样样，因此此把轴测测轴上的的线段与与空间坐坐标轴上上对应线线段的长长度比，，称为轴轴向伸缩缩系数。。如图2.11(b)所示，设设A点为单位位坐标(u，u，u)，则经过过投影后后，A点轴测投投影A1的坐标为为(i，j，k)，则X，Y，Z轴的伸缩缩系数为为：，，2.3轴测图的的基本概概念画轴测图图时，只只要首先先按轴间间角的大大小画出出轴测轴轴，然后后按相应应的轴向向伸缩系系数沿轴轴向测量量就可画画出轴测测图。因因此，““轴测””的含义义就是沿沿轴向测测量的意意思。3.轴测图的的分类1)根据投射射方向与与轴测投投影面的的相互位位置分类类根据投射射方向与与轴测投投影面的的相互位位置，轴轴测图可可分为以以下两大大类。(1)正轴测图图：投射射方向垂垂直于轴轴测投影影面，如如图2.12(a)所示。(2)斜轴测图图：投射射方向倾倾斜于轴轴测投影影面，如如图2.12(b)所示。2.3轴测图的的基本概概念图2.12轴测图的的分类2.3轴测图的的基本概概念2)根据选定定的不同同轴向伸伸缩系数数分类在每一类类轴测图图中，根根据选定定的不同同轴向伸伸缩系数数，轴测测图又可可分为以以下3种。(1)正(或斜)等轴测图图的轴向向伸缩系系数p=q=r。(2)正(或斜)二轴测图图的轴向向伸缩系系数p=rq。(3)正(或斜)二轴测图图的轴向向伸缩系系数prq。3)勾画立体体草图为了作图图方便，，工程上上常用正正等测图图和斜二二轴测图图来勾画画立体草草图。(1)正等测图图。当三根坐坐标轴与与轴测投投影面倾倾斜的角角度相同同时，用用正投影影法得到到的投影影图称为为正等测测图，简简称正等等测。由由于空间间坐标轴轴OX、OY、OZ对轴测投投影面的的倾角相相等，可可计算出出其轴间间角，其其中O1Z1轴规定画画成铅垂垂方向，，如图2.13(a)所示2.3轴测图的的基本概概念根据三根根坐标轴轴与轴测测投影面面倾斜的的角度相相同，由由理论计计算可知知：三根根轴的轴轴向伸缩缩系数为为p=q=r=0.82，但为了了作图方方便，通通常用简简化伸缩缩系数““1”。用此轴轴向伸缩缩系数画画出的图图形其形形状不变变，但比比实物的的实际轴轴测图放放大1.22倍，如图图2.13(b)所示。图2.13正等测图图的轴间间角和轴轴向伸缩缩系数2.3轴测图的的基本概概念(2)斜二等轴轴测图。。如果使XOZ坐标面平平行于轴轴测投影影面，采采用斜投投影法，，得到的的轴测图图称为斜斜二等轴轴图，简简称斜二二测。由由于XOZ坐标面平平行于轴轴测投影影面，在在这个坐坐标面的的轴测投投影反映映实形，，因此斜斜二等轴轴测图的的轴间角角是：∠∠Z1O1X1=90°°，这两根根轴的轴轴向伸缩缩系数为为p=r=1；O1Y1与水平线线成45°，即∠X1O1Y1=Y1O1Z1=135°，其轴向伸缩缩系数一般取取为q=0.5。如图图2.14(a)所示。由如图2.14(b)所示的斜二测测图可知：平平行于XOZ坐标面的圆的的斜二等轴测测投影反映实实形，作图十十分简便。但但平行于XOY，YOZ两个坐标面的的圆的斜二测测投影将变形形为椭圆，这这些椭圆的短短轴不与相应应的轴测轴平平行，且作图图较繁。因此此，斜二等轴轴测图一般用用来表达只在在一个方向上上互相平行的的平面内有圆圆或圆弧的立立体，这时只只要把这些平平面选为平行行于XOZ坐标面即可。。2.3轴测图的基本本概念图2.14斜二测图的轴轴间角和轴向向伸缩系数2.3轴测图的基本本概念1.用坐标法绘制制直线AB的轴测投影轴测图的基本本作图方法一一般采用坐标标法。作轴测测图时，首先先应选择好轴轴测图的种类类，即确定好好轴间角和轴轴向伸缩系数数。为使表达达清晰及作图图方便，通常常将轴测轴Z1画成垂直方向向，再根据轴轴间角画出另另两个轴测轴轴和和。。已知A(30，50，10)，B(0，10，40)。轴间角2.3.2轴测图的基本本作图方法，轴向伸缩系系数作图步骤如下下：(1)根据轴间角，，画出轴测轴轴如图2.15(a)所示。(2)在轴轴上，取，，在轴轴上取取。。过点点作作直线平平行于，过点点作直直线平行于，，两直线线相交于a点。过a点作直线平平行于，，且=10。得到点，如图2.15(b)所示。2.3轴测图的基本本概念(3)在Y1轴上取。过点作直线平行于，且。得到点。连接两点，即得直直线AB的轴测投影。。(a)(b)图2.15直线的轴测投投影2.3轴测图的基本本概念2.平行于各坐标标面的圆的轴轴测图在工程零件中中常见的一类类基本立体是是回转体，如如圆柱、圆锥锥、圆球等。。回转体的轴轴测图主要涉涉及到垂直于于回转轴的圆圆的轴测图。。圆的轴测投投影一般情况况下会变形为为椭圆。对应应各种不同类类型的轴测图图，椭圆的长长短轴的比例例会不一样，，与相应轴测测轴的夹角也也会因此而不不一样。本节节仅介绍平行行于各坐标面面的圆的正等等测和斜二测测。1)平行于各坐标标面的圆的正正等测平行于坐标面面的圆的正等等测图(如图2.16所示)，可采用坐标标法绘制(绘图步骤如图图2.17所示)，这种作图方方法虽然较为为精确，但很很繁琐，对于于参考图形或或效果图来说说也没有必要要。工程上常常用几何上推推导出的一种种近似画法(仅适用于正等等测图)来绘制。即将将正等测图中中的椭圆近似似看成是四段段圆弧相切而而成。作图时时只要找到这这四段圆弧的的圆心和切点点，即可画出出，因此称这这种近似画