控制系统的频域分析法

控制系统的频域分析法4.0概述

时域分析信号不只和时间有关，还和频率有关；则信号随着不同频率是如何变化？x(t)=50*sin(2*pi*50*t)+100*sin(2*pi*120*t);

时域分析时域内要解微分方程，而频域内变成了求解代数方程；系统响应性能不满足工程要求时，如何调整系统？系统无法解析建模时，如何研究系统性能？时间、频率和幅度的三维坐标

频域分析频域分析：以输入信号的频率为变量，在频域内研究系统结构参数与性能关系的一种方法。系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来；无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向。频域分析的优点：可由微分方程或传递函数求得，也易于实验分析;可方便设计出能有效抑制噪声的系统。教学重点：频率特性的基本概念，表达方法，频率特性的绘制，系统稳定性的判断及相对稳定性的衡量。教学难点：开环幅相频率特性图的画法，闭环频率特性的求法，频率特性和时间响应的关系1、理解频率特性的概念；熟练掌握Nyquist图和Bode图的一般绘制方法；熟记典型环节的频率特性曲线。2、熟练运用Nyquist判据判断系统的稳定性；熟练运用Bode图分析系统性能。3、掌握闭环频率特性的概念，频域中的性能指标，稳定裕度的概念。4、了解最小相位系统与非最小相位系统的概念；并能用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。5、掌握用频率特性实验法辩识系统的传递函数。教学目的：4.1频率特性的基本概念

频率特性当正弦输入xi(t)=Arsint

时，系统的输出？解：电路的传递函数为：设输入信号为：则系统输出为：

求出待定系数，拉氏逆变换、整理后有：

第一项是瞬态响应，随时间增加会衰减为0；第二项是稳态响应。

幅值比：

相位差：稳态响应频率响应当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。（稳定的系统对正弦输入的稳态响应）。系统的频率响应频率特性：在正弦信号作用下，线性系统输入量的频率由0变化到时，稳态输出量与输入量的振幅和相位差的变化规律。稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。

由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。频率特性与传递函数的关系为：

幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：实频特性虚频特性幅频特性相频特性下面来证明这种关系。

对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为xi(t)和xo(t)，系统的传递函数为G(s)。式中，为极点。若：则：频率特性和传递函数的关系拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当，即稳态时：式中，分别为：而

上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移动了。

和都是频率的函数。

频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。

输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。[结论]：当传递函数中的复变量s用代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。

到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数频率特性的求取方法一：由频率特性概念知，频率特性G(jω)是传递函数的一种特例，即将传递函数中的复变量s换成纯虚数jω就得到系统的频率特性。

G(jω)=G(s)例：已知系统的传递函数为，求频率特性。解：令s=jω得系统的频率特性或频率特性的求取方法二：根据系统的频率响应求取，稳态响应的幅值比、相位差。例：已知系统的传递函数为，求频率特性。幅值比：

相位差：频率特性幅频特性:相频特性:实频特性:虚频特性:幅频特性和相频特性随ω变化的曲线如图所示。频率特性的求取方法三：试验方法，在不知系统数学模型情况下，只有通过试验求取系统的频率特性。这正是频率特性的一个极为重要的作用。频率特性的物理意义频率特性与传递函数的关系:G（jω)=G(s)|s=jω

频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。(ω)大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。频率特性图奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频率特性图）

其中，U()、V()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：

在复平面上，随（0~）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。

易知，向量G(j)的长度等于A(j)（|G(j)|）；由正实轴方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()（G(j)）。

波德(Bode)图（对数频率特性图）

对数幅频特性图横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率(rad/s或Hz)纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20倍，即：L()=20logA()单位—分贝（dB）频率比dec(dB)

尼柯尔斯(Nichols)图（对数幅相特性图）L()—()图纵坐标：线性分度，频率特性的相角()

单位—

度()

对数相频特性图横坐标：与对数幅频特性图相同。

4.2典型环节的极坐标图(Nyquist)一、比例环节

传递函数： G(s)=K 频率特性： G(j)=K=Kej0实频特性： U()=K虚频特性：V()=0幅频特性： A()=K相频特性：()=0K0ReImNyquistDiagram二、惯性环节传递函数：

频率特性： 相频特性：()=-arctgT幅频特性： 实频特性： 虚频特性： 注意到： 即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为1/2的一个圆。0ReIm1/21=0=45=1/TNyquistDiagramG(j)三、积分环节传递函数：

频率特性： 幅频特性：相频特性：()=-90°实频特性：虚频特性：0ReIm=0=积分环节的Nyquist图四、一阶微分环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性：()=arctg实频特性： 虚频特性：一阶微分环节的Nyquist图五、理想微分环节传递函数：

频率特性： 实频特性： 虚频特性： 幅频特性： 相频特性：()=90°理想微分环节的Nyquist图0ReIm=0=六、振荡环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性： 幅频特性： 相频特性：

=0时

=n时

=时NyquistDiagram=0==0.1=0.2=0.5=1=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10=0.3=n

=0时

=n时

=时

谐振现象

据振荡环节的幅频特性曲线可见，当

较小时，在

=n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值Mr对应的频率r称为谐振频率。A()出现峰值相当于其分母：取得极小值。令：解得：即：

显然r应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：谐振峰值：七、二阶微分环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性：

=0时

=1/T时

=时八、延迟环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性： 对数幅频特性： 01=0ReImNyquistDiagram频率特性：

G(j)=K=Kej0对数幅频特性： L()=20lgK对数相频特性： ()=04.3典型环节的Bode图一、比例环节

传递函数：

G(s)=K BodeDiagram(rad/sec)()L()/(dB)-20020406010-1100101102-180°-90°0°90°180°20lgK二、惯性环节传递函数：

低频段(

<<1/T)即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。对数相频特性：()=-arctgT对数幅频特性：

高频段(

>>1/T)

即高频段可近似为斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。-30-20-10010-90°-45°0°1/TL()/(dB)()BodeDiagram(rad/sec)实际幅频特性渐近线-20dB/dec

转折频率（＝

1/T)低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点＝

1/T，称为转折频率（截止频率）。在转折频率处，L()-3dB，()＝-45。

渐近线误差惯性环节具有低通滤波特性。-4-3-2-100.1110T转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线三、积分环节传递函数：对数幅频特性：对数相频特性：()=-90°-40-200200°-45°-90°-135°-180°0.1110100L()/(dB)()BodeDiagram(rad/sec)－20dB/dec对数相频特性：()=arctg四、一阶微分环节传递函数：对数幅频特性：010203090°45°0°1/TL()/(dB)()BodeDiagram(rad/sec)0.1/T10/T转折频率实际幅频特性渐近线20dB/dec五、理想微分环节传递函数：对数相频特性：()=90°对数幅频特性：-20020400°45°90°135°180°0.1110100L()/(dB)()BodeDiagram(rad/sec)20dB/dec六、振荡环节传递函数：

频率特性：

对数幅频特性

低频段(

<<n)即低频渐近线为0dB的水平线。

高频段(

>>n)即高频渐近线为斜率为-40dB/dec的直线。

两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。

对数相频特性 -180-135-90-4500.1110/n()/(deg)

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2

=0.3-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec

=0.3

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2渐近线BodeDiagram

渐近线误差分析 -8-40481216200.1110

=0.05

=0.10

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.35

=0.40

=0.80

=0.90

=1.00

=0.50

=0.60

=0.707/nError(dB)

由图可见，当

较小时，由于在

=n附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，

越小，误差越大。

当0.38<<0.7时，误差不超过3dB。因此，在此

范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。

准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。七、二阶微分环节

注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数(

＝1/n)，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于

0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称。传递函数： 八、延迟环节传递函数：-600-500-400-300-200-10000.1110

(rad/s)()/(deg)10L()/(dB)0-20-10

最小相位系统

传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性：4.4系统的开环频率特性图

一阶不稳定环节

NyquistDiagram1-10=0==0=ReIm惯性环节一阶不稳定环节BodeDiagram-20-15-10-50L()/(dB)-20dB/dec-180-135-90-450()/(deg)(rad/sec)1/T惯性环节一阶不稳定环节

由图可见，不稳定一阶环节的幅频特性与惯性环节相同，而相角绝对值大于惯性环节的相角绝对值。

该结论对其它与振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节幅频特性互为对应的不稳定环节也成立。=0=ReIm01振荡环节不稳定振荡环节NyquistDiagram/n-360-270-180-90010.110()/(deg)-40-200L()/(dB)BodeDiagram-40dB/dec不稳定振荡环节振荡环节不稳定振荡环节：BodeDiagram0459013518001020()/(deg)L()/(dB)1/T(rad/sec)20dB/dec不稳定一阶微分环节一阶微分环节1-10ReIm=0=0==NyquistDiagram一阶微分环节不稳定一阶微分环节不稳定一阶微分环节：ReIm0=01二阶微分环节不稳定二阶微分环节NyquistDiagram02040090180270360()/(deg)L()/(dB)10.110BodeDiagram40dB/dec二阶微分环节不稳定二阶微分环节不稳定二阶微分环节：

最小相位环节与最小相位系统

极点和零点全部位于s左半平面的环节，与其对应的具有相同幅频特性、在s右半平面具有零点或(和)极点的“不稳定”环节相比，相频特性的绝对值最小，因此，称其为最小相位环节，而相应的在s右半平面具有零点或(和)极点的“不稳定”环节称为非最小相位环节。延迟环节通常视为非最小相位环节。

极点和零点全部位于s左半平面系统称为最小相位系统。反之，称为非最小相位系统。

易知，最小相位系统的相角变化范围一定小于相应的非最小相位系统的相角变化范围。例如：-180-900901801/T11/T2()/(deg)Ga(s)Gb(s)Gc(s)(rad/sec)一般地，工程中稳定的系统都是最小相位系统。

系统开环Nyquist图的绘制

基本步骤

将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：

求系统的频率特性：即：

求A(0)、(0)；A()、()

补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根据A()、()的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。

示例解：

例1：已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环Nyquist图。

＝0：A(0)＝K

＝：

A()＝0(0)＝0°()＝－270°0ReImK=0＝解：

例2：已知系统的开环传递函数如下：绘制系统开环Nyquist图。

＝0：A(0)＝

＝：

A()＝0(0)＝－90°()＝－270°问题:如何求Nyquist图与实轴相交的交点?又：解得：-7-1.43＝＝0ReIm0

例3：已知系统的开环传递函数如下：绘制系统的开环Nyquist图。解：

＝0：A(0)＝(0)＝－180°

＝：

A()＝0()＝－180°T1<T2时：

()<－180°T1>T2时：

()>－180°ReIm＝0＝0＝0T1<T2T1>T2Nyquist图的一般形状考虑如下系统：0型系统（v=0）

＝0：A(0)＝K

＝：

A()＝0(0)＝0°()＝－(n－m)×90°ReIm＝0K＝n=1n=2n=3n=4只包含惯性环节的0型系统Nyquist图0I型系统（v=1）

＝0：

＝：(0)＝－90°()＝－(n－m)×90°A()＝0A(0)＝ReIm＝0＝n=2n=3n=40n=1II型系统（v=2）

＝：()＝－(n－m)×90°A()＝0

＝0：(0)＝－180°A(0)＝ReIm＝0＝n=2n=3n=40

开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。

n=m时，Nyquist曲线起自坐标轴上的某一有限远点，且止于坐标轴上的某一有限远点。

n>m时，Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为－(n－m)×90°。总结:

系统开环Bode图的绘制考虑系统：

例1已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环Bode图。解：易知系统开环包括了五个典型环节：转折频率：2=2rad/s转折频率：4=0.5rad/s转折频率：5=10rad/s开环对数幅频及相频特性为：BodeDiagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100()/(deg)L()/(dB)(rad/sec)L3L4L5L1L2()12345L()-20dB/dec-40-20-60245=10Bode图特点

最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为－20vdB/dec。

注意到最低频段的对数幅频特性可近似为：当＝1rad/s时，L()=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在＝1rad/s时的数值等于20lgK。如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。

对惯性环节，斜率下降20dB/dec；振荡环节，下降40dB/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升40dB/dec。Bode图绘制步骤

将开环传递函数表示为典型环节的串联：

确定各环节的转折频率：并由小到大标示在对数频率轴上。

计算20lgK，在＝1rad/s处找到纵坐标等于

20lgK的点，过该点作斜率等于-20vdB/dec

的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线。

向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率。

对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。

相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。

例2已知系统的开环传递函数如下：试绘制系统的开环Bode图。解：开环增益K＝100，20lgK＝40各环节转折频率分别为：(rad/sec)BodeDiagram-80-60-40-200204060-180-135-90-4504590()/(deg)L()/(dB)0.22201000-200-20-40

传递函数的实验确定法

基本思路

对待测系统，在感兴趣的频率范围内施加正弦激励信号，测量足够多频率上系统输出与输入的幅值比和相位差，绘制Bode图。

根据Bode图的渐近线确定转折频率及各典型环节，得到系统的传递函数。

由Bode图求系统的传递函数

确定对数幅频特性的渐近线。用斜率为

0dB/dec、20dB/dec、40dB/dec的直线逼近实验曲线。

根据低频段渐近线的斜率，确定系统包含的积分（或微分）环节的个数。

根据低频段渐近线或其延长线在

＝1

rad/s的分贝值，确定系统增益。注意到系统低频段渐近线可近似为：若系统含有积分环节，则该渐近线或其延长线与0dB线(频率轴)的交点为：

即也可由该交点处的频率数值获得系统增益。

若系统不含积分环节，低频渐近线为20lgKdB的水平线，K值可由该水平渐近线获得。

根据渐近线转折频率处斜率的变化，确定对应的环节。若

=1时，斜率变化20dB/dec，则对应环节为：若

=2时，斜率变化40dB/dec，则对应环节为：二阶环节的阻尼比

根据实验曲线在转折频率处的峰值与的关系确定。

获得系统的频率特性函数或传递函数。

根据实验测得的相频特性曲线校验获得的传递函数。若为最小相位系统，两相频特性应大致相符，并且在很低和很高频段上严格相符。

若高频末端，由计算得到的相位滞后比实验得到的相位滞后小180°，则传递函数中一定有一个零点位于右半s平面。

若高频末端，由计算得到的相位滞后与实验得到的相位滞后相差一个恒定的变化率，则系统必存在延迟环节。例3：已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示。求系统的传递函数。-200-20-40200.1120(rad/s)L()解：系统低频段斜率为－20dB/dec，v=1。

注意到，(lg0.1，20)和(lg1，20lgK)两点位于斜率为－20dB/dec的直线上。由：-200-20-40200.1120(rad/s)L()系统存在三个转折频率：0.1、1和20rad/s。对应的典型环节分别为：综上所述，系统传递函数为：-200-20-40200.1120(rad/s)L()(rad/sec)BodeDiagram-80-60-40-200204060L()/(dB)0.110500-20-40-20示例0-20-40-20试验曲线精确曲线

几点说明

通常幅值测量比相位测量准确；测量所用的正弦信号要求无谐波或波形畸变；频率范围由待测系统的时间常数决定，时常数大的系统，频率范围通常在0.001~1000Hz左右。

合适的正弦信号输入幅值；

测量装置需有足够带宽，且不失真；

可利用线性系统的叠加特性在线测量。例1：已知系统幅频特性如图，求传递函数解：①写传递函数比例、积分、惯性、一阶微分低频直线斜率为-20dB/dec,故系统包含一个积分环节低频段直线坐标〉0dB,存在比例环节惯性环节转折频率一阶微分环节转折频率内容回顾③求k∴k=8②求时间常数Nyquist稳定判据G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)4.6频域稳定性判据开环传递函数闭环传递函数令辅助函数：其中，Db(s)为闭环特征多项式。即：=0=ReIm0F(j)G(j)H(j)-11

上式表明，在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一个单位，便得到G(j)H(j)的轨迹。开环极点闭环极点F(j)的轨迹是否包围坐标原点的问题转变为

G(j)H(j)的轨迹是否包围(-1，j0)点的问题。

闭环系统稳定的充要条件为：系统开环Nyquist曲线逆时针包围(-1，j0)点圈数N

等于q/2，其中q为位于右半s平面的开环特征根个数。此即为Nyquist稳定判据。

例1：已知系统开环传递函数应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。解：由：解得：由：解得Nyquist曲线与负实轴交点为：20-1.587-10ReIm=0=

由图可见，开环Nyquist曲线顺时针包围(-1，j0)点一圈，即N＝-1：

而开环特征根全部位于左半s平面，即q＝0，由Nyquist判据知，系统闭环不稳定。例2：已知系统开环传递函数应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。解：当K>1时，N=1/2=q/2，系统闭环稳定。当K<1时，N=0

q/2，系统闭环不稳定。当K=1时，系统临界稳定。一个右极点q=1ReIm0=0=-1-KNyquist图

若系统开环传递函数含有积分环节，那么开环特征方程就会出现零根。处理零根对判断系统稳定性具有重要意义。如何处理零根？

开环含有积分环节时Nyquist判据的处理

用半径

0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面。

开环含有积分环节时Nyquist判据的处理0–0+0ReIm避开零根的封闭曲线–+ReImj避开在虚轴上的根的封闭曲线

=0

0+，一个零根的幅值为，相角为π/2。

即按常规方法作出由0+

变化时的Nyquist曲线后，从G(j0)开始，以的半径顺时针补画v90°的圆弧(辅助线)得到完整的Nyquist曲线。其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。==00=0+ReImI型系统=0=Re0=0+ImII型系统=0=Re0=0+ImIII型系统

例1：单位反馈系统的开环传递函数为应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。

开环Nyquist曲线不包围(-1,j0)点，而q=0，因此，系统闭环稳定。解：=0=0=0+ReIm

例2：已知系统的开环传递函数为应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。解：＝0：

A(0)＝(0)＝－270°＝：

A()＝0()＝－270°注意到：

即T1<T2时，Nyquist曲线位于第二象限。

T1>T2时，Nyquist曲线位于第一象限。

T1<T2T1>T2=0=0=0+ReIm=0=0+-1

由图可见，Nyquist曲线顺时针包围(-1,j0)点半次，而q＝1，系统闭环不稳定。-10ReIm==0q=2包围（-1，j0）点周数多时，怎么办？引入“穿越”的概念Nyquist判据中“穿越”的概念

穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0)点左边实轴时的情况。

正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1~-

段实轴(相角增加)。

负穿越：增大时，Nyquist曲线由下而上穿过-1~-

段实轴。负穿越相当于Nyquist曲线反向包围(-1,j0)点一圈。-10ReIm==0q=2-++-1++–0ReIm==0q=2Nyquist稳定判据：当由0变化到时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于q/2时（q为系统开环右极点数），闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。

系统闭环稳定。考虑开环附加延迟环节的系统可见延迟环节不改变原系统的幅频特性，仅对相频特性有影响。

滞后系统的Nyquist稳定性分析Euler公式

例：单位反馈系统的开环传递函数利用Nyquist判据确定系统闭环稳定时K的范围。解：令Q()=0，即：解得满足上式的最小正值为：j=3.431rad/s从而，Nyquist曲线与负实轴的交点为：令P(j)=－1，得临界稳定时，-2-101234567-5-4-3-2-101

=3.431

=06.935

=9.53=

由图可见，对于不带延迟环节的一阶系统，对所有K值，闭环系统都稳定，而带有0.5秒延迟的一阶系统，当K>6.935时，闭环系统不稳定。显然，延迟环节不利于系统稳定。利用Bode图判断系统稳定性Bode图与Nyquist图的对应关系：1Nyquist图上的单位圆

—Bode图幅频特性上的0dB线单位圆外L(ω)>0dB2Nyquist图上的负实轴

—Bode图相频特性上的-1800线ws/rad00)(wφ-1800_+)(LwdBws/