等腰三角形性质定理和判定定理

创作时间：二零二一年六月三十天一.本周教课内容：之答禄夫天创作创作时间：二零二一年六月三十天等腰三角形的性质和判断.教课目的：（一）知识与技术：1）掌握等腰三角形的性质定理和判断定理,并会灵巧运用.2）能用上述结论进行剖析与说理,进行初步的逻辑思想训练,形成必定的推理能力.（二）感情态度与价值观：经过等腰三角形性质定理和判断定理的证明表现数学的应用价值.三.要点、难点：要点是等腰三角形的性质定理和判断定理难点是利用定理解决实质问题四.教课过程：（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理11）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边平等角”）2）符号语言：如图,在△ABC中,由于AB=AC,因此∠B=∠C3）证明：取BC的中点D,连结AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等.知识点2：等腰三角形性质定理21）文字语言：等腰三角形的顶角均分线,底边上的中线,底边上的高,相互重合（简称“三线合一”）2）符号语言：∵AB=AC∵AB=AC∵AB=AC∠1=∠2AD⊥BCBD=DC创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天∴AD⊥BC,BD=DC∴∠1=∠2∴∠1=∠2BD=DCAD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等,线段相等或垂直.说明：在等腰三角形中常常增添协助线,固然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线相互重合,怎样增添要依据具体状况来定,作时只作一条,再依据性质得出另两条”.知识3：等腰三角形的判断定理（1）文字语言：假如一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角平等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等.说明：①本定理的证明还有其余证明方法（如作顶角的平分线）.②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用界说2、利用定理.【模典范题剖析】基础知识应用题：例1.如图,已知P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=AP=AQ=QC,求∠BAC的度数.解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的界说）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边平等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此类题的步伐以下：（1）利用等边平等角依据已知角的度数求另一个角的度数.创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天2）利用三角形内角和定理,确立等量关系,借助等式或方程求解.例2.已知：如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E、F分别为AB,BC,AC上的点,且BD=CE,∠DEF=∠B.求证：△DEF是等腰三角形.证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中BDE=∠FEC中（已证）BD=CE（已知）B=∠C（已知）∴△BED≌△CFE（ASA）∴DE=EF（全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形界说）综合应用题：例3.已知：如图,AC和BD订交于点O,AB∥CD,OA=OB,求证：OC=OD证明：∵AB∥CD（已知）∴∠A=∠C,∠B=∠D（两直线平行,内错角相等）OA=OB（已知）∴∠A=∠B（等边平等角）∴∠C=∠D（等量代换）OC=OD（等角平等边）例4.如图,在四边形ABDC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,试判断DC与AC的地点关系,并证明你的结论.证法一：证明：作DE⊥AB于EDA=DBDE⊥ABAE=BE=∵AB=2ACAE=AC在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD∴∠C=∠AED=90°创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天∴DC与AC的地点关系为：DC⊥AC证法二：证明：延伸AC到F,使CF=AC,连结DFAB=2AC,AF=2AC∴AB=AF在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD∴DF=DBDA=DBDA=DF又∵AC=CFDC⊥AF说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB,进而抵达解决问题的目的.例5.求证：等腰三角形两腰上的中线相等解：已知：以下图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的中线求证：BD=CE证明：∵BD,CE是△ABC的中线∴AE=AB,AD=AC∵AB=AC∴AE=AD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）说明：这是一个证明文字表达的几何命题的题目,做这种题时第一要分清题设,结论,画出草图,联合图形写出：已知、求证、而后再证明.例6.如图,点C为线段AB上的一点,△ACM,△BCN是等边三角形,AN,MC订交于点E,CN与BM订交于点F.1）求证AN=BM2）求证△CEF为等边三角形证明：（1）∵△ACM,△CBN是等边三角形AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠NCB=60°∴∠ACN=∠BCM=120°创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天在△ACN和△MCB中∴△ACN≌MCB（SAS）AN=BM2）由（1）中△ACN≌△MCB∴∠ANC=∠MBC在△CEN和△CFB中∴△CEN≌△CFB（ASA）CE＝CF又∵∠ECF＝60°∴△CEF为等边三角形例7.下边是数学讲堂的一个学习片断,阅读后,请回答下边的问题：学习等腰三角形相关内容后,苏老师请同学们沟通议论这样一个问题：“已知,等腰三角形ABC的角A即是30°,请你求出其余两角.”同学们经片晌的思虑与沟通后,李明举手讲：“其余两角30°和120°,”卫华同学说：“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了分歧的见解1）若是你也在讲堂中,你的建议怎样？为何？2）经过上边数学识题的议论,你有什么感觉？（用一句话示意）解略【模拟试题】（答题时间：25分钟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为（）A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°2.如图,△ABC中AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为（）A.30°B.36°C.95°D.70°3.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE订交于F,若BF=AC,那么∠ABC的大年夜小是（）A.40°B.45°C.50°D.60°创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天聪颖的小明用含有30°角的两个完整同样的三角板拼成以下图的图案,并发现图中有等腰三角形,请你帮他找出两个等腰三角形：.如图,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,获得一个四边形,则∠1+∠2=度.在△ABC中,AB=AC,AB边的垂直均分线与AC所在直线订交所得的锐角为40°,则底角∠B的大年夜小为.如图,已知△ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且△DEF是等边三角形1）除已知相等的边之外,请你猜想还有哪些相等的线段,并证明你的猜想是正确的.2）你所证明相等的线段能够经过怎么样的改动相互获取？写出改动过程.【试题谜底】1.D2.B3.