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“中学数学解题思想方法”-平移法

山东省荣成市第五中学于颖秀

“中学数学解题思想方法”-平移法

所谓“平移法”就是通过点的平移或者线的平移得到图象的平移，从而使问题得到解决的方法，在高中数学中“平移法”是一种重要的解题方法：如平移变换是可用来化简函数解析式，以便于讨论函数图象的性质和画出函数图象的一种重要方法；用平移的方法将异面直线所成角转化为相交直线的夹角的问题；三角函数的平移变换，线性规划问题等等，借助平移可以使以上问题得到简化和解决。类型一：用平移的方法画函数的图象例1：画出下列函数的图象解析：

该函数图象可由函数

的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到如图所示：类型一：用平移的方法画函数的图象例2：（2017山东理10）已知当

时，函数

的图象与

的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：根据题意，由于m为正实数，

为二次函数，是将函数

的图象向右平移

个单位得到的，在区间

为减函数，

为增函数，函数

是将函数

的图象向上平移m个单位得到的，为增函数，类型一：用平移的方法画函数的图象例2：（2017山东理10）已知当

时，函数

的图象与

的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：分两种情况讨论：①当0<m≤1时，有

，在区间[0,1]上，函数

为减函数，其值域为

，函数

为增函数，其值域为

，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；类型一：用平移的方法画函数的图象例2：（2017山东理10）已知当

时，函数

的图象与

的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是

（A）

（B）

（C）

（D）

解析：②当m>1时，有

，函数

在区间

为减函数，在区间为增函数

，函数

为增函数，其值域为

，若两个函数的图象有1个交点则有

，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3

，综合可得m的取值范围是,本题选B。类型一：用平移的方法画函数的图象评析：函数图象的平移变换规则简记为：“左加右减，上加下减”，并注意左右的加减是对x而言，上下的加减是针对f(x)而言。类型二：立体几何中的“平移法”例：（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A． B．C． D．

分析：

【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．类型二：立体几何中的“平移法”例：（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A． B．C． D．

解析：

【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1所成角为MN和NP的夹角.可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，类型二：立体几何中的“平移法”例：（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A． B．C． D．

解析：

【解法一】△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣

）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP

；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP

；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为

．类型二：立体几何中的“平移法”例：（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A． B．C． D．

解析：

【解法二】如图所示，

补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD=，C1D=，∴BC12+BD2=C1D2，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D=．类型二：立体几何中的“平移法”评析：应用平移法计算两条异面直线所成角主要的方法：利用平行四边形的对边或三角形的中位线平移两条异面直线中的一条（或两条都平移）得到两条相交直线，构造三角形，解三角形，求出两相交直线的夹角，即可求得两条异面直线所成角。特别注意两异面直线所成角的范围是类型三：三角函数中的“平移法”例：（2016四川卷理3．）为了得到函数

的图象，只需把函数

的图象上所有的点（A）向左平行移动

个单位长度

（B）向右平行移动

个单位长度（C）向左平行移动

个单位长度

（D）向右平行移动

个单位长度解析：由题意，为得到函数

的图象，只需把函数

的图象上所有的点向右平移

个单位长度，故选D.类型三：三角函数中的“平移法”评析：本题考查三角函数图象的平移，在函数

的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种

的图象向左平移

个单位得

的图象，再把横坐标变为原来的

倍，纵坐标不变，得

的图象，另一种是把

的图象横坐标变为原来的

倍，纵坐标不变，得

的图象，再向左平移

个单位得

的图象．类型四：平移法在线性规划当中的应用（2016新课标Ⅲ13）若x，y满足约束条件,则z=x+y的最大值为_____________.解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z=x+y经过点A时，z取得最大值.由

得

，即

，则