数学人教A版必修4学案1.3第1课时　诱导公式二三四Word版含解析【高考】

1.3三角函数的诱导公式第1课时诱导公式二、三、四Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？Xeq\o(\s\up7(新知导学),\s\do5(inzhidaoxue))1．诱导公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于__原点__对称公式sin(π＋α)＝__－sinα__cos(π＋α)＝__－cosα__tan(π＋α)＝__tanα__2.诱导公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于__x轴__对称公式sin(－α)＝__－sinα__cos(－α)＝__cosα__tan(－α)＝－tanα3.诱导公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于__y轴__对称公式sin(π－α)＝__sinα__cos(π－α)＝__－cosα__tan(π－α)＝__－tanα__特别提醒：1.公式一～的角α是任意角．2．公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα.3．诱导公式的作用(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题．(2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数．(3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．Yeq\o(\s\up7(预习自测),\s\do5(uxizice))1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)三角函数诱导公式中的角α应为锐角．(×)(2)存在角α，使sin(π＋α)＝sinα，cos(π－α)＝cosα.(√)(3)当α是第三象限角时，tan(－α)＝tanα.(×)(4)tan(α－π)＝tanα.(√)(5)若α，β满足α＋β＝π，则sinα＝sinβ且tanα＝tanβ.(×)2．若sin(π＋α)＝eq\f(1,3)，则sinα等于(B)A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．3 D．－33．计算sin(－eq\f(π,3))的值为(C)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)4．tan690°的值为(A)A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)Heq\o(\s\up7(互动探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命题方向1⇨利用诱导公式解决给角求值问题典例1求下列各三角函数值：(1)sineq\f(16,3)π；(2)cos(－765°)；(3)tan(－750°)．[思路分析]用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求值．[解析](1)sineq\f(16π,3)＝sin(4π＋eq\f(4π,3))＝sineq\f(4π,3)＝sin(π＋eq\f(π,3))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).(2)cos(－765°)＝cos765°＝cos(2×360°＋45°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).(3)tan(－750°)＝－tan750°＝－tan(2×360°＋30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).『规律总结』利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：(1)“负化正”——用公式一或三来转化．(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．〔跟踪练习1〕求下列三角函数值：(1)sin960°；(2)cos(－eq\f(43π,6))．[解析](1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)cos(－eq\f(43π,6))＝coseq\f(43π,6)＝cos(eq\f(7π,6)＋6π)＝coseq\f(7π,6)＝cos(eq\f(π,6)＋π)＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).命题方向2⇨三角函数式的化简问题典例2化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)eq\f(sin2α＋πcosπ＋α,tanπ－αcos3－α－πtan－α－2π).[思路分析]先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．[解析](1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·eq\f(sinα,cosα)＝sin2α.(2)原式＝eq\f(－sinα2·－cosα,－tanα·－cosα3·－tanα)＝eq\f(－sin2αcosα,－tan2α·cos3α)＝1.『规律总结』利用诱导公式一～四化简应注意的问题：(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．(2)化简时函数名不发生改变，但一定要注意函数的符号有没有改变．(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．〔跟踪练习2〕化简：(1)eq\f(cosπ＋αcos3π－αtanπ＋α,sinπ＋αcos－α－π)；(2)eq\f(sin540°＋α·cos－α,tanα－180°).[解析](1)原式＝eq\f(－cosαcosπ－αtanα,－sinαcosπ＋α)＝eq\f(－cosα－cosαtanα,－sinα－cosα)＝eq\f(cosα,sinα)·eq\f(sinα,cosα)＝1.(2)原式＝eq\f(sin360°＋180°＋α·cosα,－tan180°－α)＝eq\f(sin180°＋α·cosα,tanα)＝eq\f(－sinα·cosα,\f(sinα,cosα))＝－cos2α.Xeq\o(\s\up7(学科核心素养),\s\do5(uekehexinsuyang))整体思想的应用在利用诱导公式进行运算求解时，无论α是否真的是锐角，我们都要把α看作是锐角，这就是作题时需要具备的“整体”思想.典例3(1)已知cos(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(\r(3),3)，求cos(eq\f(5π,6)＋α)－sin2(α－eq\f(π,6))的值；(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[思路分析]1.eq\f(π,6)－α与eq\f(5π,6)＋α、α－eq\f(π,6)存在什么关系？用eq\f(π,6)－α表示其他角．2．α－75°与105°＋α之间存在什么关系？用α－75°表示105°＋α.[解析](1)∵cos(eq\f(5π,6)＋α)＝cos[π－(eq\f(π,6)－α)]＝－cos(eq\f(π,6)－α)＝－eq\f(\r(3),3)，sin2(α－eq\f(π,6))＝sin2[－(eq\f(π,6)－α)]＝1－cos2(eq\f(π,6)－α)＝1－(eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(2,3)，∴cos(eq\f(5π,6)＋α)－sin2(α－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\f(2,3)＝－eq\f(2＋\r(3),3).(2)∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限，∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2α－75°)＝－eq\r(1－－\f(1,3)2)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3).『规律总结』解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键，使用诱导公式时要用到“整体”思想．〔跟踪练习3〕已知sin(eq\f(π,3)－α)＝eq\f(1,2)，求cos2(α－eq\f(π,3))·sin(eq\f(2π,3)＋α)的值．[解析]cos2(α－eq\f(π,3))·sin(eq\f(2π,3)＋α)＝cos2[－(eq\f(π,3)－α)]·sin[π－(eq\f(π,3)－α)]＝[1－sin2(eq\f(π,3)－α)]·sin(eq\f(π,3)－α)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).Yeq\o(\s\up7(易混易错警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))对诱导公式理解不透致错典例4设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝____________.[错解]因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－cosθ，故填－cosθ.[错因分析]上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．[正解]cosθ视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填cosθ.〔跟踪练习4〕如果cosα＝eq\f(1,3)，且α是第四象限角，则sin(α＋π)＝__eq\f(2\r(2),3)__.[解析]由诱导公式二知，sin(α＋π)＝－sinα，∵α是第四象限角，∴sinα＝eq\f(－2\r(2),3)∴sin(α＋π)＝eq\f(2\r(2),3).Keq\o(\s\up7(课堂达标验收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．计算cos(－600°)＝(D)A．eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)2．若cos(π－α)＝－eq\f(1,2)，则cos(－2π－α)的值为(A)A．eq