数学人教A版必修二基础训练第三章专题强化练7直线方程中的对称及最值问题Word版含解析

专题强化练7直线方程中的对称及最值问题一、选择题1.(2021四川绵阳高二月考,)点A(1,2),B(3,1)关于直线l对称,那么直线l的方程是()x+2y-5=0x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=02.(2021河南洛阳高一上期末,)点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,那么a,b的值分别为(),312,-,0D.12,-3.(2021广东广州荔湾高二上期末,)在平面直角坐标系xOy中,点A(1-m,2m-1),点B(-2,1),直线l:ax+by=0.如果对任意的m∈R,点A到直线l的距离均为定值,那么点B关于直线l的对称点B1的坐标为()A.(0,2)B.25,115C.(2,3)D.25,34.(2021河南南阳高一上期末,)一束光线从点P(2,9)射向y轴上一点A,又从点A以y轴为镜面反射到x轴上一点B,最后从点B以x轴为镜面反射,该光线经过点Q(3,3),那么该光线从P点运行到Q点走过的路程为()A.37C.355.(2021北京普通高中高考数学仿真测试,)点A(-2,1)和点B关于直线l:x+y-1=0对称,斜率为k的直线m过点A且交l于点C,假设△ABC的面积为2,那么k的值为()或13C.二、填空题6.(2021上海中学高二上期中,)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(-2,0)重合,且点(2021,2021)与点(m,n)重合,那么n-m=.

7.(2021北京海淀高二期中,)唐代诗人李颀的诗?古参军行?开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.〞诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马〞问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系xOy中,设军营所在位置为B(-4,-4),假设将军从点A(-2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=2,那么“将军饮马〞的最短总路程为.

8.(2021山东临沂高二上期末,)如图,光线从P(a,0)(a>0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线又在Q点被x轴反射,假设反射光线恰与直线l平行,且b≥13,那么实数a的最小值是.

9.(2021湖北荆门高三联考,)在等腰直角三角形ABC中,点P是边AB上异于A、B的一点.光线从点P出发,经过BC、CA反射后又回到点P(如图).假设光线QR经过△ABC的重心,且|AB|=|AC|=4,那么|AP|=.

三、解答题10.(2021安徽黄山屯溪一中高二上期中,)某入射光线经过直线l1:3x-y+7=0和l2:2x+y+3=0的交点M,且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射.(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标;(2)求反射光线所在的直线l3的方程;(3)求与l3的距离为10的直线方程.11.(2021湖北黄冈高二月考,)直线l的方程为x+2y-1=0,A(1,4),B(3,2).(1)求直线AB的方程;(2)在直线l上求一点M,使得|AM|+|BM|最小;(3)在直线l上求一点N,使得||AN|-|BN||最大.专题强化练7直线方程中的对称及最值问题一、选择题1.B由题意得直线l是线段AB的垂直平分线.易得线段AB的中点为1+32,2+12,即2,32,直线AB的斜率k=2-11-3=-12,∴直线l的斜率kl=2,∴直线l的方程为y-32=2(x-2),即应选B.方法总结假设A,B两个点关于直线l对称,那么满足两个条件,一是线段AB的中点在直线l上,二是AB所在的直线与直线l垂直.2.B因为点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,所以直线AB与直线ax+y+b=0垂直,且线段AB的中点在直线ax+y+b=0上,易得直线AB的斜率为4-00-2=-2,线段AB的中点为那么有-2·(-3.B设A(x,y),那么x=1-m,y=2m-1,因为2x+y=2(1-m)+2m-1=1,所以点A在直线2x+y-1=0上,因为对任意的m∈R,点A到直线l的距离均为定值,所以直线l与直线2x+y-1=0平行,故-ab=-2,即2b=a,故直线l的方程为2x+y=0设点B关于直线l的对称点B1的坐标为(m,n),那么2解得m应选B.4.B如图,点P(2,9)关于y轴对称的点为P'(-2,9),点Q(3,3)关于x轴对称的点为Q'(3,-3),那么该光线从P点运行到Q点走过的路程为|P'Q'|=52+应选B.5.B设直线m的方程为y=k(x+2)+1,点A(-2,1)到直线l:x+y-1=0的距离d=|-2+1-1|2=2,故设点C到直线AB的距离为h,由S△ABC=12·22·h=2,得h=2所以|AC|=2,由x+C-2kk+1,3故-2kk+1+22+3k+1k+1-1解得k=0,应选B.二、填空题6.答案1解析设A(0,2),B(-2,0),所以折叠前线段AB的中点坐标为0-22,2+02,即(-1,A,B两点确定的直线的斜率k=1,所以折痕所在直线的斜率为-1,所以折痕所在直线的方程为y=-x,由点(0,2)和点(-2,0)关于直线y=-x对称,得到点(2021,2021)与点(m,n)也关于直线y=-x对称.那么m=-2021,n=-2021,所以n-m=1.故答案为1.7.答案10信息提取①直线x+y=2同侧有A,B两点;②在直线x+y=2上找一点P,使得|PA|+|PB|最短.数学建模此题以“将军饮马〞问题为背景,考查点关于直线的对称问题,作出辅助图形是解决此题的关键.解析如图,点A关于直线x+y=2的对称点为A',那么|A'B|即为“将军饮马〞的最短总路程.设A'(a,b),那么a-2那么|A'B|=(2+4)故“将军饮马〞的最短总路程为10.8.答案5解析设点P关于直线l的对称点为P'(m,n),直线l的斜截式方程为y=13x,所以0+n所以点P'45a,35a,根据直线的两点式方程得到直线P'Q的方程为y-03整理可得3ax-(4a-5b)y-3ab=0,因为反射光线恰与直线l平行,所以3a4a-5b=-13又因为b≥13,所以a≥5,那么a的最小值是5.故答案为5.9.答案4解析以A为原点,直线AB为x轴,直线AC为y轴建立平面直角坐标系,如下图,那么A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,那么D点坐标为43设P点坐标为(m,0),0<m<4,那么P点关于