成人高中高考专升本《高等数学二》复习总结计划学习教程

成人高考专升本《高等数学二》复习教程《高等数学二》复习教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数观点与性质2.极限3.连续

函数的基天性质（单一、有界、奇偶、周期）几类常有函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单一有界定理会用等价无量小和罗必达法例求极限函数连续（左、右连续）与中断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化除去零因子）3）变量替代法4）两个重要极限法5）用夹逼定理和单一有界定理求6）等价无量小量替代法7）洛必达法例与Taylor级数法8）其余（微积分性质，数列与级数的性质）成人高考专升本《高等数学二》复习教程1.limarctanxxlimarctanxx1（等价小量与洛必达）x0ln(12x3)x02x36sin6xxf(x)0，求lim6f(x)2.已知limx3x2x0x0sin6xxf(x)6cos6xf(x)xy'limx3lim3x2解：x0x0lim36sin6x2y'xy''216cos6x3y''xy'''6xlim6x0x02163y''(0)0y''(0)726lim6f(x)limy'limy''7236（洛必达）x0x2x02xx0222x3.lim(2x)x1（重要极限）x1x14.已知a、b为正常数，求lim(ax3bx)xx02(axbx33[ln(ax解：令t)x,lntbx)ln2]2xlimlntlimx3x(axlnabxlnb)3ln(ab)x0x0ab2（变量替代）t(ab)3/215.lim(cosx)ln(1x2)x011解：令ln(1x2)ln(cos)t(cosx),lntln(1x2)xlimlntlimtanx1te1/2（变量替代）x0x02x2x2f(t)dt6.设f'(x)连续，f(0)0,f'(0)0，求lim01xx0x2f(t)dt0（洛必达与微积分性质）7.已知f(x)ln(cosx)x2,x0a,x0在x=0连续，求a解：令limln(cos)/21/2（连续性的观点）ax0xx成人高考专升本《高等数学二》复习教程三、增补习题（作业）（xx）（xx或Taylor）（xx与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分2.微分中值定理3.应用

导数与微分的观点、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明有关问题会用导数求单一性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.yy(x)由xarctantdy2yty2et5决定，求dx2.yy(x)由ln(x2y)x3ysinx决定，求dy|x01dx解：两边微分得x=0时y'ycosxy，将x=0代入等式得y=13.yy(x)由2xyxy决定，则dy|x0(ln21)dx成人高考专升本《高等数学二》复习教程B.曲线切法线问题4.求对数螺线e在（，）（e/2,/2)处切线的直角坐标方程。xecos,(x,y)|(0,e/2),y'|1解：esin/2/2yye/2x5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内知足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0limf(1sinx)3f(1sinx)x0sinxsinxtf(1t)f(1)f(1t)f(1)lim[]t3tt04f'(1)8f'(1)2y2(x6)C.导数应用问题6.已知yf(x)对全部x知足xf''(x)2x[f'(x)]21ex，若f'(x0)0(x00)，求(x0,y0)点的性质。解：令xx0代入，f''(x0)ex010,x00ex0x0，故为极小值点。0,x007.yx3，求单一区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。1)2(x解：定义域x(,1)(1,)y'0驻点x0及x3y''0拐点x0；x1：铅垂；yx2：斜8.求函数y(x1)e/2arctanx的单一性与极值、渐进线。解：y'x2x2xe/2arctanx驻点x0与x1，1渐：ye(x2)与yx2D.幂级数睁开问题dxt)2dtsinx29.sin(xdx0成人高考专升本《高等数学二》复习教程sin(xt)2(xt)21(xt)6(1)n(xt)2(2n1)3!(2n1)!sin(xt)2dt1(xt)31(xt)7(1)n1(xt)4n133!7(4n1)(2n1)!x1x31x71)nx4n1(sin(xt)2033!7(4n1)(2n1)!dxt)2dtx21x6(1)nx2(2n1)sinx2sin(x1)!dx03!(2n或：xtud02(du)dx2dusinx2dxxsinusinudx010.求f(x)x2ln(1x)在x0处的n阶导数f(n)(0)解：x2ln(1x)2(xx2x3(1)n1xn2(n2)x23n2ox=x3x4x5(1)n1xnn)23n2o(xf(n)(0)(1)n1n!2nE.不等式的证明设x(0,1)，11.求证（1x)ln2(1x)x2，111x)11ln2ln(1x2证：1）令()(1x)ln2(1x)x2,g(0)0gxg'(x),g''(x),g'''(x)2ln(1x)0,g'(0)g''(0)0(1x)2x时g''(x)单一降落，g''(x)0,g'(x)单一降落(0,1)g'(x)0,g(x)单一降落，g(x)；得证。02）令h(x)11,x(0,1),h'(x)0,单一降落，得证。ln(1x)xF.中值定理问题1，1]拥有三阶连续导数，且f(1)0,f(1)1，12.设函数f(x)在[f'(0)0，求证：在（-1，1）上存在一点，使f'''()3成人高考专升本《高等数学二》复习教程证：f(x)f(0)f'(0)x1f''(0)x21f'''( )x32!3!此中(0,x),x[1,1]0f(1)f(0)1f''(0)1f'''(1)将x=1，x=-1代入有261f''(0)1f'''(1f(1)f(0)2)26两式相减：f'''(1)f'''(2)6[1，2]，f'''( )1[f'''(1)f'''(2)]3213.eab22bln2a4e，求证：lne2(ba)证：Lagrange:f(b)f(a)f'()ba令f(x)ln2ln2bln2a2lnx,ba令(t)lnt,'(t)1lnt0()(e2)ln2tt2e2ln2bln2a42(ba)（重点：结构函数）e三、增补习题（作业）1.曲线3.4.证明x>0时成人高考专升本《高等数学二》复习教程证：令g(1)g'(1)0，g''(1)20x(0,1),g'''0,g''2g''0x(0,1),g'0x(1,),g'''0,g''x(1,),g'g020第三讲不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分

掌握不定积分的观点、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分

理解定积分的观点与性质理解变上限制积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数均匀值二、题型与解法A.积分计算dxdxarcsinx2C1.2)2x(4x)4(x22.e2x(tanx1)2dxe2xsec2xdx2e2xtanxdxe2xtanxC3.设f(lnx)ln(1x)f(x)dxx，求解：f(x)dxln(1ex)dxexexln(1ex)(1exx)dxx(1ex)ln(1xC1ee)4.arctanx1arctanx|1limb1x)dx1x2dxx(1x24ln21b1x2成人高考专升本《高等数学二》复习教程B.积分性质1f(x)(x)并议论'(x)f(xt)dt,且lim，求x0x0在x0的连续性。xf(y)dy解：f(0)(0)0,yxt(x)0xxf(y)dyxf(x)A'(x)0'(0)lim'(0)A/2'(0)2x2x06.dxtf(x2t2)dtdxf(x2t2)d(t2x2)dx02dx0dx2f(y)d(y)xf(x2)2dx0C.积分的应用3ax27.设f(x)在[0，1]连续，在（0，1）上f(x)0，且xf'(x)f(x)，2f(x)与x=1,y=0所围面积S=2。求f(x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解：d(f(x))3af(x)3ax2cxf(x)dx2c4a1dxx220f(x)3ax2(41)xV'(1y2dx)'0a5208.曲线yx1，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。解：切线yx/2绕x轴旋转的表面积为2yds520曲线yx1绕x轴旋转的表面积为22yds(551)16总表面积为(1151)6三、增补习题（作业）1.成人高考专升本《高等数学二》复习教程2.3.第四讲向量代数、多元函数微分与空间分析几何一、理论要求1.向量代数理解向量的观点（单位向量、方向余弦、模）认识两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限观点，闭域性质理解偏导数、全微分观点能娴熟求偏导数、全微分娴熟掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4.空间分析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1.f(x)有二阶连续偏导，zf(exsiny)知足zxx''z'yy'e2xz，求f(x)解：f''f0f(u)c1euc2eu2.z1f(xy)y(xy)，求2zxxy3.yy(x),zz(x)由zxf(xy),F(x,y,z)0决定，求dz/dxB.空间几何问题xyza上随意点的切平面与三个坐标轴的截距之4.求和。解：x/x0y/y0z/z0ada5.曲面x22y23z221在点(1,2,2)处的法线方程。成人高考专升本《高等数学二》复习教程C.极值问题6.设zz(x,y)是由x26xy10y22yzz2180确立的函数，求zz(x,y)的极值点与极值。三、增补习题（作业）1.2.3.第五讲多元函数的积分一、理论要求1.重积分熟习二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）by2(x)adxf(x,y)dxdyy1(x)2r2()D1d)r1(

(x,y)dyf(r,)rdrby2(x)dyz2(x,y)dxy1(x)f(x,y,z)dzaz1(x,y)f(x,y,z)dxdydzz22(z)dr2(z,),z)rdrdz1(z)r1(z,f(r,Vz1)2()r2(,))r2sindrddr1(,f(r,,1( ))会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）zf(x,y)A1z'2xz'2ydxdyD2.曲线积分理解两类曲线积分的观点、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法L:yy(x)b1y'2xdxf(x,y(x))af(x,y)dlL:xx(t)f(x(t),y(t))x't2y't2dtLyy(t)L:rr()f(rcos,rsin)r2r'2d熟习Green公式，会用平面曲线积分与路径没关的条件3.曲面积分理解两类曲面积分的观点（质量、通量）、关系熟习Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分成人高考专升本《高等数学二》复习教程f(x,y,z)dSf(x,y,z(x,y))1z'2xz'2ydxdyS:zz(x,y)DxyGauss:EdSEdV(通量，散度）SVStokes:Fdr(F)dS(旋度）LS二、题型与解法重积分计算

1.I(x2y2)dV,为平面曲线y22z绕z轴旋转一周与z=8x0的围域。8(x2y2)dxdy解：Idz2y20x2z2.Ix2y2dxdy,D4a2x2y2D21yx围域。（Ia2()162x2y,1x2,0yxf(x,y)0,其余

dzd2zr2rdr1024820003为yaa2x2(a0)与，曲线、曲面积分

求f(x,y)dxdy,D:x2y22x(49/20)D4.I(exsinyb(xy))dx(excosyax)dyLL从A(2a,0)沿y2axx2至O(0,0)解：令L1从O沿y0至AI(ba)dxdy2a(bx)dx(2)a2ba30LL1L1D225.Ixdyydx,L为以(1,0)为中心，R(1)为半径的圆周正向。L4x2y2解：取包括(0,0)的正向LL1LL1

2xrcosL1:，yrsin0LL16.对空间x>0内随意圆滑有向闭曲面S，成人高考专升本《高等数学二》复习教程xf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy0，且f(x)在x>0有连续一S阶导数，limf(x)1,求f(x)。x0解：0FdSFdV(f(x)xf'(x)xf(x)e2x)dVsy'(11)y1e2xyex(ex1)xxx第六讲常微分方程一、理论要求1.一阶方程2.高阶方程

娴熟掌握可分别变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法会求y(n)f(x),y''f(x,y')(y'p(x)),y''f(y,y')(y'p(y))3.二阶线性常系数

y''py'q02pq012y1c1e1xc2e2x12y1(c1c2x)exiy1ex(c1cosy2f(x)Pn(x)ex1or21and2

(齐次)xc2sinx)Qn(x)exy2Qn(x)xex(非齐次)y2Qn(x)x2exf(x)ex(pi(x)cosxpj(x)sinx)iy2ex(qn(x)cosxrn(x)sinx(非齐iy2xex(qn(x)cosxrn(x)sinx(nmax(i,j)次)二、题型与解法A.微分方程求解1.求(3x22xyy2)dx(x22xy)dy0通解。（xy2x2yx3c)2.利用代换yu化简y''cosx2y'sinx3ycosxex并求通解。cosx成人高考专升本《高等数学二》复习教程（u''4uex,yc1cos2x2c2sinxex）cosx5cosx3.设yy(x)是上凸连续曲线，(x,y)处曲率为1，且过(0,1)处1y'2切线方程为y=x+1，求yy(x)及其极值。解：y''y'210yln|cos(x)|11ln2,ymax11ln2422三、增补习题（作业）已知函数在随意点处的增量。(）求的通解。（）求的通解。（）求的特解。（第七讲无量级数一、理论要求1.收敛性鉴别2.幂级数

级数敛散性质与必需条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式鉴别法交织级数鉴别法幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基天性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor

与

Maclaulin

睁开3.Fourier

级数

认识

Fourier

级数观点与

Dirichlet

收敛定理会求

[

l,l]的

Fourier

级数与

[0,l]

正余弦级数成人高考专升本《高等数学二》复习教程第八讲线性代数一、理论要求1.队列式2.矩阵

会用按行（列）睁开计算队列式几种矩阵（单位、数目、对角、三角、对称、反对称、逆、陪伴）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的队列式矩阵可逆的充要条件，会用陪伴矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆3.向量

理解并会计算矩阵的特点值与特点向量理解相像矩阵的观点、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相像对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特点值与特点向量的性质理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性有关、线性没关的鉴别理解并向量组的极大线性没关组和向量组的秩认识基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法认识规范正交基、正交矩阵的观点与性质4.线性方程组

理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型

二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法认识二次型的对应矩阵的正定性及其鉴别法第九讲概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率

认识样本空间（基本领件空间）的观点，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与散布

理解随机变量与散布的观点掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数散布，会求散布函数3.二维随机变量

理解二维失散、连续型随机变量的概率散布、边沿散布和条件散布理解随机变量的独立性及不有关观点掌握二维均匀散布、认识二维正态散布的概率密度成人高考专升本《高等数学二》复习教程会求两个随机变量简单函数的散布4.数字特点理解希望、方差、标准差、矩、协方差、有关系数的观点掌握常用散布函数的数字特点，会求随机变量的数学希望5.大数定理认识切比雪夫不等式，认识切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理认识隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理6.数理统计观点理解整体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩认识2散布、t散布、F散布的观点和性质，认识分位数的观点认识正态散布的常用抽样散布7.参数预计掌握矩预计与极大似然预计法认识无偏性、有效性与一致性的观点，会考证预计量的无偏性会求单个正态整体的均值和方差的置信区间8.假定查验掌握假定查验的基本步骤认识单个及两个正态整体的均值和方差的假定查验第十讲总结1.极限求解变量替代（1作对数替代），洛必达法例，其余（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替代）1.lim1[(xa)(x2a)...(x(n1)a)xa(几何级nnnnn2数)2.lim(2arccosx)1/xe/2(对数替代)x0tanx3.lim(2x)2x14.lim(3x)x216x(xnan)nan1(xa)5.lim(xa)2xa1cos2x,x06.f(x)x2lim( )4,x0，求fxx0xcostdt0(x0)x成人高考专升本《高等数学二》复习教程2.