北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》复习同步练习题（含答案）

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》复习同步练习题（含答案）A组(基础题)1．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是()A．开口向上 B．与x轴只有一个交点 C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞0时，y随x的增大而增大2．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是()3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为_______；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为_______；(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为_______；4．将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_______；5．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_______；已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为_______；7．在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：x…－10123…y甲…63236…乙写错了常数项，列表如下：x…－10123…y乙…－2－12714…通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x_______时，y的值随x的值增大而增大；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．B组(中档题)8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①4a＋2b＋c＞0；②abc＞0；③b＜a＋c；④2c＜3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确的结论是_______．9．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为_______；10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：t01234567…h08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝eq\f(9,2)；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确的结论是_______．11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)的对称轴与x轴交于点P.(1)求点P的坐标(用含a的代数式表示)；(2)记函数y＝－x＋2(－1≤x≤2)的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．12．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为_______；(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？C组(综合题)13．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，抛物线y＝ax2＋bx＋c交y轴于点C(0，－eq\f(3,2))，交x轴正半轴于点D，抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，求点Q的坐标．参考答案1．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是(D)A．开口向上 B．与x轴只有一个交点 C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞0时，y随x的增大而增大2．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(C)3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝3；(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜1或x＞3；(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3．4．将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是(2，－5)．5．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是112m2.6．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为－5≤y≤4．7．在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：x…－10123…y甲…63236…乙写错了常数项，列表如下：x…－10123…y乙…－2－12714…通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＞－1时，y的值随x的值增大而增大；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由表格易得y甲＝x2－2x＋3，y乙＝x2＋2x－1.∵甲写错了一次项的系数，乙写错了常数项，∴a＝1，b＝2，c＝3.∴y＝x2＋2x＋3.(3)方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4－4(3－k)＞0.∴k＞2.B组(中档题)8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①4a＋2b＋c＞0；②abc＞0；③b＜a＋c；④2c＜3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确的结论是①④⑤．9．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为1．10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：t01234567…h08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝eq\f(9,2)；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确的结论是②③．11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)的对称轴与x轴交于点P.(1)求点P的坐标(用含a的代数式表示)；(2)记函数y＝－x＋2(－1≤x≤2)的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．解：(1)∵抛物线y＝ax2－2a2x的对称轴是直线x＝－eq\f(－2a2,2a)＝a，∴点P的坐标是(a，0)．(2)由题意可知图形M为线段AB，A(－1，3)，B(2，0)．当抛物线经过点A时，则a＋2a2＝3，解得a＝1或－eq\f(3,2)；当抛物线经过点B时，则4a－4a2＝0，解得a＝1或0(舍)，如图1，当a＝－eq\f(3,2)时，抛物线与图形M恰有一个公共点．如图2，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．结合函数的图象可知，当a≤－eq\f(3,2)或0＜a＜1或a＞1时，抛物线与图形M恰有一个公共点．12．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝－2x＋160；(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？解：(2)由题意，得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1250.∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大．又∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，w最大＝1200.故销售单价定为50元，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为1200元．(3)当w＝800时，(x－30)(－2x＋160)＝800，解得x1＝40，x2＝70.∵w≥800，∴结合二次函数w＝(x－30)(－2x＋160)图象可得40≤x≤70.∴每天的销售量y＝－2x＋160≥20.∴每天的销售量最少应为20件．C组(综合题)13．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，抛物线y＝ax2＋bx＋c交y轴于点C(0，－eq\f(3,2))，交x轴正半轴于点D，抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，求点Q的坐标．解：(1)把点B(4，m)代入y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)中，得m＝eq\f(5,2)，∴B(4，eq\f(5,2))．把点A(－1，0)，B(4，eq\f(5,2))，C(0，－eq\f(3,2))代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,16a＋4b＋c＝\f(5,2)，,c＝－\f(3,2).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－1，,c＝－\f(3,2).))∴抛物线的表达式为y＝eq\f(1,2)x2－x－eq\f(3,2).∵y＝eq\f(1,2)x2－x－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x－1)2－2，∴点M的坐标为(1，－2)．(2)如图1所示，过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P的坐标为(m，eq\f(1,2)m2－m－eq\f(3,2))，则H(m，eq\f(1,2)m＋eq\f(1,2))，∴PH＝eq\f(1,2)m＋eq\f(1,2)－(eq\f(1,2)m2－m－eq\f(3,2))＝－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2.∵点P为直线AB下方的抛物线上一动点，∴－1＜m＜4.∴S△PAB＝eq\f(1,2)×HP·(xB－xA)＝eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3,2)m＋2)×5＝－eq\f(5,4)(m－eq\f(3,2))2＋eq\f(125,16).∵－eq\f(5,4)＜0，∴当m＝eq\f(3,2)时，S△PAB最大，最大为eq\f(125,16)，此时点P(eq\f(3,2)，－eq\f(15,8))．(3)如图2所示，在y＝eq\f(1,2)x2－x－eq\f(3,2)中，令y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴D(3，0)．∵M(1，－2)，A(－1，0)，∴△AMD为等腰直角三角形．∵△QMN∽△MAD，∴△QNM为等腰直角三角形，且∠MQN＝90°，MQ＝NQ