天津高考试题理数解析版

2012年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理科）名师简评该套试卷整体上来说与早年对比，比较安稳，试题中没有偏题和怪题，在考察了基础知识的基础上，还考察了同学们灵巧运用所学知识的解决问题的能力。题目没有好多汉字的试题，都是比较简洁型的。可是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，此外其他试题保持了早年的风格，入题简单，比较好下手，可是做出来其实不是很简单。整体上试题由梯度，由易到难，并且大多数试题合适同学们来解答表现了双基，考察了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。本试卷分为第I卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟I卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数z=7i=3i（A）2i（Ｂ）2i（Ｃ）2i（Ｄ）2i１．B【命题企图】本试题主要考察了复数的观点以及复数的加、减、乘、除四则运算.【分析】z=7i=(7i)(3i)=217i3i1=2i3i(3i)(3i)10（２）设R，则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的（A）充分而不用要条件（Ｂ）必需而不充分条件（Ｃ）充分必需条件（Ｄ）既不充分也不用要条件．A【命题企图】本试题主要考察了三角函数的奇偶性的判断以及充分条件与必需条件的判断.【分析】∵=0f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数，反之不可立，∴“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的充分而不用要条件.（３）阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（A）1（Ｂ）1（Ｃ）3（Ｄ）93．C【命题企图】本试题主要考察了算法框图的读取，并能依据已给的算法程序进行运算.【解析】根据图给的算法程序可知：第一次x=4，第二次x=1，则输出x=21+1=3.（4）函数f(x)=2x+x32在区间(0,1)内的零点个数是（A）0（Ｂ）1（Ｃ）2（Ｄ）34．B【命题企图】本试题主要考察了函数与方程思想，函数的零点的观点，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【分析】解法1：由于f(0)=1+02=1，f(1)=2+232=8，即f(0)f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断，故f(x)在(0,1)内的零点个数是1.解法2：设y1=2x，y2=2x3，在同一坐标系中作出两函数的图像如下图：可知B正确.425102（5）在(2x21)5的二项睁开式中，x的系数为x（A）10（Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-405．D6【命题企图】本试题主要考察了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式剖析项的系数.【分析】∵Tr+1=C5r(2x2)5-r(x1)r=25-r(1)rC5rx10-3r，∴103r=1，即r=3，∴x的系数为40.8（6）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（A）7（Ｂ）7（Ｃ）7（Ｄ）24252525256．A【命题企图】本试题主要考察了正弦定理、三角函数中的二倍角公式.考察学生剖析、转变与计算等能力.【解析】∵8b=5c，由正弦定理得8sinB=5sinC，又∵C=2B，∴，所以8siBn=5sBin8sinB=10sinBcosB，易知sinB0，∴cosB=4，cosC=cos2B=2cos2B1=7.5253（7）已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q知足AP=AB，AQ=(1)AC，R，若BQCP=，则=2（A）1（Ｂ）12（Ｃ）110（Ｄ）3222222．A【命题企图】本试题以等边三角形为载体，主要考察了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数目积的综合运用.【分析】∵BQ=AQAB=(1)ACAB，CP=APAC=ABAC，又∵BQ3，且|AB|=A|C|<AB,AC>=600ABAC=|AB||AC|cos600=2，∴233[(1AC)AB](ABC)，=2+(21)AB2所以A|AB|AC+(1)|AC|=，224+22(31，解)得+1.4(1)=22BPCQA（8）设m，nR，若直线(m1)x+(n1)y2=0与圆(x1)2+(y1)2=1相切，则m+n的取值范围是（A）[13,1+3]（Ｂ）(,13][1+3,+)（Ｃ）[222,2+22]（Ｄ）(,222][2+22,+)．D【命题企图】本试题主要考察了直线与圆的地点关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(m1)x+(n1)y2=与0圆(x1)2+(y1)2=1相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d=|(m1)+(n1)2|=1，所以mnmn1(mn)2，设t=mn，(m1)2+(n1)22则1t2t+1，解得t(,222][2+22,+).4二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.（9）某地域有小学150所，中学75所，大学25所.现采纳分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校正学生进行视力调査，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校.9．18，9【命题企图】本试题主要考察了统计中的分层抽样的观点以及样本获得的方法与计算.【分析】∵分层抽样也叫按比率抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取1507530=18，中学中抽取30=9.250250（10）―个几何体的三视图如下图(单位：m)，则该几何体的体积为m3.10．18+9【命题企图】本试题主要考察了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：V=361+24(3)3=18+9m3.32（11）已知集合A={xR||x+2|<3}，集合B={xR|(xm)(x2,)且AB=(1,n)，则m=,n=.11．1，1【命题企图】本试题主要考察了会合的交集的运算及其运算性质，同时考察绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类议论思想.【分析】∵A={xR||x+2|<3}={x||5<x<1},又∵AB=(1,n)，画数轴可知m=1，n=1.（12）己知抛物线的参数方程为x=2pt2,（t为参数），此中p>0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点My=2pt,作的垂线，垂足为E，若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=.12．2【命题企图】本试题主要考察了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【分析】∵x=2pt2,可得抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，∴焦点F(p,0)，∵点M的横坐标是3，则y=2pt,2M(3,6p)，所以点E(p,6p)，EF2=(pp)2+(06p)2222由抛物线得几何性质得MF=p+3，∵EF=MF，∴p2+6p=1p2+3p+9，解得p=2.24（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延伸线订交于点D,过点C作BD的平行线与圆订交于点Ｅ，与AB订交于点F，AF=3，FB=1，EF=3，则线段CD的长为.2413．3【命题企图】本试题主要考察了平面几何中直线与圆的地点关系，订交弦定理，切割线定理，相像三角形的观点、判断与性质.【分析】∵，，3AFFB=EFFCFC=2BDCEAF=3FB=1，由订交弦定理得，所以，又∵2∥，∴AF=FC，BD=ABFC=42=8，设CD=x，则AD=4x，再由切割线定理得BD2=CDAD，即ABBDAF33x4x=(8)2，解得x=4，故CD=4.333（14）已知函数y=|x21|的图象与函数y=kx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是.x114．(0,1)(1,4)【命题企图】本试题主要考察了函数的图像及其性质，利用函数图像确立两函数的交点，进而确立参数的取值范围.【分析】∵函数y=kx2的图像直线恒过定点B(0,2)，且A(1,2+22)，C(1,0)，D(1,2)，∴kAB==0，=0+2=2，kBD=2+2=4，由图像可知k10kBC(0,1)(1,4).140102DCO5102AB4三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6（15）（本小题满分13分）已知函数8(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；10

f(x)=sin(2x+)+sin(2x)+2cos2x1，xR.3312f(x)在区间[,]上的最大值和最小值.（Ⅱ）求函数44【命题企图】本试题主要考察了【参照答案】（1）f(x)=sin(2x+)+sin(2x)+2cos2x12sin2xcoscos2x2sin(2x)33342函数f(x)的最小正周期为T2（2）x2x32)11f(x)2444sin(2x4424当2x(x)时，f(x)max2，当2x(x)时，f(x)min1428444【评论】该试题重点在于将已知的函数表达式化为质进行解题即可.

y=Asin(x+)的数学模型，再依据此三角模型的图像与性（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增添兴趣性，商定：每个人经过掷一枚质地平均的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（Ⅲ）用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|XY|，求随机变量的散布列与数学希望E.【命题企图】本试题主要考察了【参照答案】（1）每个人参加甲游戏的概率为p12，参加乙游戏的概率为1p33这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为C42p2(1p)2827（2）XB(4,p)P(Xk)C4kpk(1p)4k(k0,1,2,3,4)，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1P(X3)P(X4)9（3）可取0,2,4P(0)PX(2)827P(2)P(X1)P(X403)81P(4)P(X0)P(X174)81随机变量的散布列为024P84017278181E0824041714827

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81【评论】应用性问题是高考命题的一个重要考点，最近几年来都经过概率问题来考察，且常考常新,关于此类考题，要注意仔细审题，从数学与实质生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转变为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，所以对概率型应用性问题，理解是基础，转变是重点.（17）（本小题满分

13分）如图，在四棱锥

PABCD中，

PA丄平面

ABCD，

PAC丄

AD，

AB丄

BC，

BAC

45，PA=AD=2，

AC=1.(Ⅰ)证明：

PC丄

AD；（Ⅱ）求二面角

APC

D的正弦值；（Ⅲ）设

E为棱

PA上的点，知足异面直线

BE与CD所成的角为

300，BACAE的长.【命题企图】本试题主要考察了【参照答案】（1）以AD,AC,AP为x,y,z正半轴方向，成立空间直角左侧系Axyz则D(2,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,2)（lbylfx）22PC(0,1,2),AD(2,0,0)PCAD0PCAD（2）PC(0,1,2),CD(2,1,0)，设平面PCD的法向量n(x,y,z)nPC0y2z0y2zn(1,2,1)则02xy0x取z1nCDzAD(2,0,0)是平面PAC的法向量cosAD,nADn6sinAD,n30ADn66得：二面角APCD的正弦值为306（3）设AEh[0,2]；则AE(0,0,2)，BE111,0)(,,h),CD(2,22cosBE,CDBECD33h10102h02即AEBECD1021010【评论】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平常练习的试题相像，但底面是非特别的四边形，向来线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的地点是不确立的，需要学生根据已知条件进行确立，这样说来就有难度，所以最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列,且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10.(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式；(Ⅱ)记Tnanb1an1b2an2b3a1bn；证明：Tn+12=2an+10bn(nN+).【命题企图】本试题主要考察了【参照答案】（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q；则a4b42723d2q327d3S4b4104a16d2q310q2得：an3n1,bn2n（2）Tnanb1an1b2an2b3a1bnn2n1a22an2na2an2a1(a12n1)an3n1n32n3522n1n1n2n1cncn1222Tn2n[c(1c2)c(2c3)cn(cn1)n]c21cn()102n2(3n5)10bn2an12Tn1210bn2an【评论】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学概括法证明，给学生思想空间留有余地，切合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆x2+y2=1(a>b>0)的左、右极点分别为A,B，点P在椭圆上且异于a2b2A,B两点，O为坐标原点.1（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；2（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明：直线OP的斜率k知足|k|>3.【命题企图】本试题主要考察了【参照答案】（1）取P(0,b)，A(a,0),B(a,0)；则kAPkBPb(b)1a22b2aa22a2b21e2e222a（2）设P(acos,bsin)(02)；则线段OP的中点Q(acos,bsin)22|AP|=O|A|AQOPkAQk1kAQbsinbsinakAQcos2akAQ2aacos2ak222a123k3bakkk3【评论】（20）（本小题满分14分）已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，此中a>0.