《常微分方程》题库及

《常微分方程》题库及答案一．求解下列方程1．求方程2．求方程

dyax

cosxdyysinx0之通解;dxytanx1之通解；cosx(x21)dy2xy03．解初值问题

dx；y(0)14．求方程xdyy(xy)lnxy之通解；dxx5．求方程dy1y2dxxy的通解；x3y求方程(x33xy2)dx(y33x2y)dy0的通解；7．求由以sinx,cosx为基本解组的线性齐次方程；xx8．求方程y(dy)2xdyx2的通解及奇解；dxdx2x1(dy(t))2dt9．求方程2xy(x)的通解；0dt10.求方程(sin2xx)dx(ysin2x)dy0的通解；yy211．求由以x,xlnx为基本解组的线性齐次方程；12．求方程d2y2y2(dy2的通解.dx21y)dx13.求方程dyylny之通解。dx求方程(x2y2)dy2xy之通解。dx求方程2xydx(x2y2)dy0之通解。16.求方程dyexy之通解。dx17.求方程eydx(2yxey)dy0之通解。18.求方程y'ytanxsecx之通解。二．第1页共9页dye2xyax1．解初值问题y(1)0dx2yzxdt2.求如下微分方程组之通解：dyxyz.dtdzxzdtdyxy2dx3.求出初值问题的逐次近似解y0,y1y2：y(0)0.4.求出微分方程M(x.y)dxN(x.y)dy0有形如(x2y2)的积分因子的充要条件。用李雅普诺夫函数法议论方程平衡点（0．0）之稳定性：dxxxydtydy.xyx2y3dtdx2x3yx2cosydt6.用一次近似法议论方程平衡点（0．0）的稳定性：dy.xyy2(xy)dt7.求方程的通解：dy23dy10yxcos2xx2e5x（特解不必求出，仅给出特解形式，要说明原因）。dx2dxdxyzxdt8.求方程组之通解：dyyz.xdtdzy2xdty1(x),y2(x):dyxy29.求充分值问题的逐次近似解dx.y(0)0第2页共9页dx3x2y10.求列如下方程组的奇点种类：dt.dy4yxdt11.分别用一次近似法和李雅普诺夫函数法议论如下方程组平衡点（0.0）的稳定性:dxxy(xy)(x2y2)dtdyxy(xy)(x2y2)dtdyx2y212.已知初值问题dx其中D:x1,y2.y(0)0,1)．求近似解y1,y2；2)．给出真解与第二次近似解的误差估计.dxdt

yz.求如下方程组的通解：

dyxyzdtdzdt

yz.14.设f(x)在0,上连续且有界，求证：方程dyyf(x)的所有解均在0,上有界.dx15.已知方程(x1)d2yxdyy0有特解yex.求方程(x1)d2yxdyy(x1)2ex之dx2dxdx2dx通解.216．已知方程x(x1)dy2xdyy0dx2dx有一线性函数的特解，试确定的值，并求出通解.求方程dy2xy4x之通解。dx18.求二阶微分方程的通解：已知方程(x1)y''xy'y0的一个解y1x,试求其通解.19.求微分方程组的近似解:利用逐次逼近法求方程dyy2x2适合初值条件y(0)1的近似解。dx求方程dyyxy5之通解。dx21.已知方程(1lnx)y''1y'1y0的一个解y1lnx,试求其通解.xx2dx22.求下列微分方程组的通解:dtdydt

2xy3x4y第3页共9页《常微分方程》作业参照答案一．求解下列方程1．yccosx2．通解为：yccosxsinx3．dy2xdxdyd(x21)ylnx21cx21x21y(0)c1yln|x21|14．y'y(1y)ln(1y)令uyyxuxxxxdyuxduu(1u)ln(1u)dxdx故xdu(1u)ln(1u)dxdudxdln(1u)dx(1u)ln(1u)xln(1u)xlnln(1u)lnxlncln(1u)cx1uecx1yecxyx(ecx1)x可分别变量方程，通解为(1x2)(1y2)cx2.6．齐次方程，通解为sin2y2y4lnxc.xx7．全微分方程，通解为x46x2y2y4c.8．d2y2dyy0.dx2xdx9.解为3y(x3)x.10.通解为sin2xx2y2c.y211．方程为d2y1dy1y0.dx2xdxx212．通解为ytan(c1xc2).通解为通解为

lnyCexCyy2x2xy2)dyC,即3x2yy3C15.方程的通积分为2xydx(y00第4页共9页16.通解为eyexCxyy2C.17.方程的通积分为eydx2ydyC,即xey0018.方程通解为ysinxCcosx二．1．通解为：ey1e2xc2x0132.通解为：yc11etc20c32e2tz2113.y(0)y00y11x2y21x21x522204.uMuNuMMuuNNuyxyyxx令x2y2uudu2yudu2xyduxduuM2yduuN2xdu2(yx)duuNM故满定充要条件的表达式为：yduxduduxyNMxy(x2y2)yx5.v1(x2y2)2dv()(x2s2)∠0x2s20∴（0.0）渐近稳定dtdx2x3y6.一次近似方程为：dt210特点方程为：dyxydt3＜0P＝1＞0Re(1)0则（0.0）局部渐过稳定.∴2),Re(07.2310012,25y1*(AoxA1)cos2x(B0xB1)sin2x为y"3y'10yxcos2x之特解,±2不是特点根第5页共9页a5是特点方程的单根y2x(cox2c1xc2)e5x故其通解为：yc1e2xc2e5xy1y28.特点根为：11.21.32211所属的特点向量为：35121所属的特点向量为：11131所属的特点向量为：γ01x111通解为：yc13etc21etc30e2tz5119.y(0):yo0y11x2y21x21x5222010.特点方程为：27100p70g1000故(0.0)为稳定结点11.dx1.一次近似方程为：dtdydt

yy2220Re(1)0Re(2)0∴（0.0）为局部渐近稳定2.v1(x2y2).dvl( )(x2y2)(x2y21)2dt故x2y21dv0故（0.0）局部渐近稳定.dt12.第6页共9页xx1x3,1.y00,y1y0f(x,y0)dxx2dx003xx1x6)dx1x31x7.y2y0f(x,y1)dx(x20093632.f(x,y)x2y2,Mmaxf(x,y)5,(x,y)Dmaxfmax24,b22yhmina,min1,.(x,y)Dy(x,y)DLm55则y2(x)y(x)542(2)364.12357501113.系数阵为111,特点方程为det(AE)(12)0.011AE的初等因子为,(1)2，通解为x2101yc11c20etc310tet.z110114.证：设M0,s.t.f(x)M(x0,)..则x0,，有xy(x)y0Mexesdsy0M(1e(x0x))y0M.x0y(x)C(0,x0),M0,s.t.y(x)M,x0,x0.令KmaxM,y0M,y(x)K,x0,.15.通解为yc1ex12)x.c2x(xxe216．2,特解为y1xyc1xc2(1x22xlnx).,通解为17.解:先解齐次方程dy2xy.,通解为yCex2.dx用常数变易法,令非齐次方程通解为yC(x)ex2.代入原方程,化简后可得C'(x)4xex2,积分得到第7页共9页C(x)2ex2C.代回后即得原方程通解为y2Cex2.注:在求解线性方程时,即能够直接套用公式求解,也能够用常数变异法推出,但我们鼓励使用常数变异法.解由通解公式yC*yCy1ep(x)dxdx此处y1x,p(x)x所以18..:11y12,x1.xdxxCe)C*xCexyC*y1Cy112ex1dxx(C*C1xC2exy1xx02( )2)dx2)d1x319.解0(x)1,1(x)10(1(11x,5分032(x)112( )2)d16)d1x42x51x7((1223241xx2xx003396156320.解:显然y0是方程的解.当y0时,两端同除以y5,得1dy1x.令1z,代入有y5dxy4y4dzx,z4dx它的解为zx1Ce4x.于是原方程的解为41x1Ce4x及y0.y44C*y1Cy11p(x)dxdx,y1121.解:由通解公式y2elnx,p(x),y1x(1lnx)1p(x)dxdxyC*y1dxy1C*12ex(1lnx)dxCy112eCy1(lnx)y1C*Clnx21dxy1(C1C21)C1lnxC2x(lnx)lnx22.解:方程组的系数阵为21A.特