2020-2021高中数学北师大版1学案：3.5.3对数函数的图像和性质含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学北师大版必修1学案：3.5.3对数函数的图像和性质含解析5．3对数函数的图像和性质知识点对数函数的图像和性质［填一填］［答一答］函数y＝logax（a>0且a≠1）的底数变化对图像位置有何影响？提示：图像如图：观察图像，总结变化规律：1．上下比较:在直线x＝1的右侧，a〉1时，a越大，图像越靠近x轴，0〈a〈1时，a越小，图像越靠近x轴．2．左右比较:比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．对数函数图像和性质的关系类型一对数函数的图像【例1】函数y＝log2x，y＝log5x，y＝lgx的图像如图所示．(1）说明哪个函数对应于哪个图像，并解释为什么；(3）从（2）的图中你发现了什么？【思路探究】解答本题要根据底数不同的对数函数图像的变化规律,确定三个图像与三个函数的对应性，再利用描点法画出（2)中的三个函数图像，最后观察图像得出结论．【解】(1）当底数全大于1时，在x＝1的右侧，底数越大的函数图像越在下方．所以，①对应函数y＝lgx，②对应函数y＝log5x，③对应函数y＝log2x.(2)列表:描点连成图为：规律方法1.画对数函数y＝logax的图像时，应抓住三个关键点(a,1)，(1，0），(eq\f（1,a)，－1)．2．对数函数的图像与指数函数的图像一样，除了用描点法作图外,还可以用图像的变换法作图,其变化规律完全相同．如图是对数函数y＝logax的图像，已知a值取eq\r（3），eq\f(4，3）,eq\f(3，5），eq\f（1,10),则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次是(A)A。eq\r（3)，eq\f(4,3)，eq\f(3，5）,eq\f（1,10）B。eq\r（3）,eq\f（4,3)，eq\f（1，10)，eq\f(3,5)C。eq\f（4,3），eq\r（3），eq\f(3，5），eq\f（1,10）D。eq\f（4,3)，eq\r(3)，eq\f（1，10），eq\f(3，5)解析:对于y＝logax,当a〉1时，图像上升；当0<a〈1时，图像下降．当a〉1时，a越大，在x轴上方图像向右越靠近x轴；当0〈a〈1时,a越小,在x轴下方图像向右越靠近x轴．类型二利用对数函数单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小:（1）log23。4，log28.5；（2）log0。33，log0。3π;(3）loga5.1，loga5。9(a〉0，且a≠1)；【思路探究】先观察对数的底数，再选择合适的方法比较．【解】(1）∵函数y＝log2x在(0,＋∞）上是单调增函数，且3.4〈8。5,∴log23。4〈log28。5。（2）∵函数y＝log0.3x在（0，＋∞)上是单调减函数,且3〈π，∴log0。33〉log0.3π.（3）底数都是a,需要讨论a的取值范围,再由函数的单调性判断大小．当a〉1时，y＝logax在(0，＋∞）上是增函数，且5。1〈5.9，∴loga5.1<loga5.9;当0<a〈1时，y＝logax在（0，＋∞）上是减函数,且5。1〈5。9，∴loga5。1>loga5.9.规律方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断，即当a〉1时，y＝logax在（0，＋∞)上是增函数,当0<a〈1时,y＝logax在（0，＋∞）上是减函数．（2）若底数为同一参数，则先对底数进行讨论,再按对数函数的单调性进行判断．（3）若底数不同，真数相同,则构造两个不同的对数函数，利用函数图像与底数的关系反映的规律进行比较．(4）若底数、真数都不相同，则常借助1，0，－1等中间量进行比较．比较下列各组中两个值的大小（1）ln0。3，ln2；（2）log23,log0.32；(3）logaπ，loga3.141；解:(1)（单调性法）因为y＝lnx在（0，＋∞)上是增函数，所以ln0。3<ln2.(2）(中间量法）因为log23>log21＝0，log0.32<0，所以log23>log0.32。(3)（分类讨论）当a>1时,函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ>loga3.141;当0<a〈1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ〈loga3.141。综上所得，当a〉1时，logaπ>loga3.141;当0〈a〈1时，logaπ〈loga3.141。类型三对数函数单调性【解】规律方法1.求复合函数单调区间应按下列步骤完成:(1)求出函数的定义域；(2）将复合函数分解为基本初等函数；（3)分别确定各个基本初等函数的单调性；（4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间．2．求单调区间要注意定义域．函数f（x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))（x2－2x－3)的单调递增区间为（－∞，－1）．解析:函数的定义域为｛x|x>3或x<－1}，令t＝x2－2x－3，因为y＝logeq\s\do8（\f（1，2)）t在(0，＋∞)上单调递减,t＝x2－2x－3在（－∞，－1)上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增,所以由复合函数的单调性可知函数f(x）的单调递增区间为(－∞，－1）．类型四函数奇偶性判定【例4】判断下列函数的奇偶性：(1）f（x)＝lg(4＋x)＋lg（4－x）；（2)f（x)＝lg（x＋eq\r(x2＋1）)；(3）f(x)＝logaeq\f（b－x,b＋x)（a〉0且a≠1，b〉0）；(4)f（x）＝eq\f(lg4－x2，｜x＋2｜－2)。【思路探究】从奇偶函数的定义出发给予判别．【解】(1）由f(x）＝lg（4＋x)＋lg(4－x）,知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋x>0，，4－x〉0。)）∴－4<x<4.又f（－x)＝lg(4－x）＋lg（4＋x)＝f（x），∴f（x）为（－4，4）上的偶函数．（2)由f(x)＝lg(x＋eq\r(x2＋1)），知x＋eq\r（x2＋1)>x＋｜x|≥0，∴定义域为R。又∵f(－x)＝lg（－x＋eq\r(x2＋1))＝lg（x＋eq\r（x2＋1)）－1＝－lg（x＋eq\r（x2＋1))＝－f（x）,∴f(x)为奇函数．（3)由f(x)＝logaeq\f（b－x,b＋x)，知eq\f（b－x,b＋x）〉0，∴－b<x<b(b>0）．又∵f(－x）＝logaeq\f(b＋x，b－x)＝loga(eq\f（b－x，b＋x)）－1＝－f(x)，∴函数f(x）为奇函数．（4）由f（x)＝eq\f(lg4－x2,|x＋2｜－2），知x满足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4－x2>0,,｜x＋2｜－2≠0.））∴－2〈x〈2且x≠0.故f（x)的定义域为｛x｜－2<x<2且x≠0｝．故f(x）＝eq\f(lg4－x2,x＋2－2）＝eq\f（lg4－x2，x）（－2〈x〈2且x≠0）．又∵f（－x)＝eq\f（lg4－x2，－x）＝－eq\f(lg4－x2，x)＝－f（x),∴f（x）为奇函数．规律方法判断函数的奇偶性关键是：①求定义域，定义域必须关于原点对称;②变形过程中，要注意分子、分母有理化，或计算f（－x)±f(x）＝0.若f（x）＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x，1＋x)＋a）)（a∈R)是奇函数，则常数a的值为－1。解析：∵f（x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2x,1＋x)＋a))(a∈R),∴f（－x）＝lgeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（2x，1－x）＋a)），∵f（x)＋f(－x）＝0，∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2x，1＋x)＋a））eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(－2x,1－x)＋a））＝1.化简得－（a2＋4a＋3)x2＝1－a2∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2＋4a＋3＝0，,1－a2＝0,)）解得a＝－1。——规范解答-—对数函数的综合应用【例5】已知f(x)＝logaeq\f（1＋x，1－x)（a〉0，a≠1）．（1）求f（x)的定义域；(2）判断f（x）的奇偶性并给予证明;（3）求使f（x）>0的x的取值范围．【审题】抓信息，找思路(1）审条件：一个解析式：函数f（x）的解析式已知；一个范围：a的范围已知．(2)建联系:无论是求定义域、判断奇偶性，还是解不等式f(x）〉0,都要与函数f（x）的解析式建立联系．（3）找思路：先通过寻求使对数式有意义的自变量可确定函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义可判断奇偶性;最后根据a的不同取值范围分情况讨论建立不等关系,寻找满足条件的自变量．【解析】（1）函数定义域满足eq\f(1＋x，1－x)〉0，即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1＋x〉0,,1－x〉0））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1＋x〈0，,1－x<0,)）解得－1〈x<1，所以函数f(x)的定义域为（－1，1)．（2)因为函数f(x)的定义域为（－1，1）,关于原点对称．又因为f（－x）＝logaeq\f(1－x，1＋x）＝loga(eq\f(1＋x，1－x)）－1＝－logaeq\f(1＋x，1－x）＝－f(x)，所以f（x)为奇函数．（3）当a>1时,由logaeq\f(1＋x,1－x）>0可得eq\f(1＋x,1－x）>1，由（1)可知，x∈(－1，1)，所以1－x〉0，解得0<x<1，即当a〉1，x∈(0,1)时，有f(x)〉0.当0〈a〈1时,由logaeq\f（1＋x,1－x）>0可得0<eq\f(1＋x，1－x）<1,由(1）可知，x∈(－1，1)，所以1－x>0，所以解得－1<x〈0，当0<a<1，x∈(－1,0)时,有f（x）>0。综上所述，当0〈a<1时,所求x的取值范围是(－1,0)；当a〉1时，所求x的取值范围是（0，1）．【点评】1.注重挖掘隐含条件，有效简化运算过程在处理一些问题时，要仔细读题,挖掘其中的隐含条件，如本例中根据（1）中的定义域对自变量x的限制条件,在求解（3）中不等式的时候可以有效减少运算量，直接转化为整式不等式求解．2．分类讨论的意识不可丢在解决含有参变量的数学问题时,要适时根据参变量的不同范围进行分情况研究，像本例中由于对数式的底数a的范围不确定，因此要分两种不同的情况求解．已知f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x，1＋x).(1)求f（x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性．解：（1）函数定义域满足eq\f（1－x,1＋x）>0，解得－1〈x〈1，所以f(x)的定义域为(－1，1)．(2）由(1)可知函数定义域关于原点对称,又因为f（x）＋f(－x）＝－x＋log2eq\f（1－x,1＋x)＋x＋log2eq\f（1＋x，1－x)＝log2(eq\f（1－x，1＋x)·eq\f(1＋x，1－x)）＝log21＝0,所以f（－x)＝－f（x),所以f(x)为奇函数．一、选择题1．函数y＝logax的图像如图所示,则实数a可能取的值是(D）A。eq\f(1，10) B。eq\f（1，5)C.eq\f(4，7） D．10解析：由图像得函数y＝logax在（0，＋∞)上是增函数,则a>1。2．函数f(x）＝lg（4－x2)的定义域为(B）A．[－2，2] B．（－2，2）C．［0,2] D．（0，2)解析:由4－x2>0,得x2<4,即｜x｜<2，所以－2<x〈2，因此，函数f(x)＝lg(4－x2)的定义域为（－2，2）．3．函数y＝log（a2－1）x在（0，＋∞)内是减函数，则a的取值范围是(D)A．｜a|>1 B．｜a|〈eq\r（2）C．a〉eq\r（2) D．1<|a|〈eq\r(2)解析:∵函数为减函数，∴a2－1∈（0，1）,∴1<a2<2,∴1〈|a|<eq\r（2），故选D。二、填空题4．设f（x)是定义在R上的奇函数，若当x≥0时,f（x）＝log3（1＋x)，则f（－2)＝－1。解析：设x〈0，则－x>0,所以f（－x）＝log3（1－x)，又f（－x）＝－f(x),所以f(x)＝－log3(1－x)(x〈0）．所以f(－2)＝－log33＝－1。5．已知函数f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（log2\f（1,x＋2)x>0，3xx≤0）），则f［f(2)］的值为eq\f(1，9）。解析：f（2）＝log2eq